第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲 函数的图象练好题·考点自测1.下列说法正确的是( )A.若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同D.函数y=f(1-x)的图象可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到2.[2020天津,3,5分]函数y=4xx2+1的图象大致为( )3.[2018全国卷Ⅲ,7,5分][文]下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)4.[新课标全国Ⅰ,5分][文]设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )A.-1B.1C.2D.4拓展变式1.[2020山东临沂4月模拟]已知函数f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4].当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为( )\n 2.(1)[2016全国卷Ⅱ,12,5分]已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=( )A.0B.mC.2mD.4m(2)函数f(x)=lgx-sinx在(0,+∞)上的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4答案第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲 函数的图象1.A 由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=-x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f[-(x+1)]=f(-x-1)的图象,故D错误.2.A 解法一 令f(x)=4xx2+1,显然f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数,排除C,D,由f(1)>0,排除B,故选A.解法二 令f(x)=4xx2+1,由f(1)>0,f(-1)<0,结合选项可知A正确.3.B 解法一 设所求函数图象上任意一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数y=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.解法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图象上,也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除选项A,C,D,选B.4.C 设(x,y)是函数y=f(x)图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,可知点(-y,-x)在y=2x+a的图象上,即-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,故选C.1.(1)C 因为f(x)=12x2-2x+1=12(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=4时,f(x)取得最大值,f(x)max=12×(4-2)2-1=1.\n由此可得a=4,b=1,所以g(x)=4|x+1|.于是可先作y=4x的图象,再将图象在y轴左侧的部分删去,保留图象在y轴上及y轴右侧的部分,并将y轴右侧的部分翻折到y轴左侧,得到y=4|x|的图象,最后将y=4|x|的图象向左平移1个单位长度,即得g(x)=4|x+1|的图象,对照选项可知,C符合.故选C.2.(1)B 因为f(x)+f(-x)=2,y=x+1x=1+1x,所以函数y=f(x)与y=x+1x的图象都关于点(0,1)对称,所以∑i=1mxi=0,∑i=1myi=m2×2=m,所以∑i=1m(xi+yi)=m,故选B.(2)C 函数f(x)=lgx-sinx的零点个数即函数y=lgx的图象和函数y=sinx的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出函数y=lgx和y=sinx的图象如图D2-6-1所示.显然,函数y=lgx的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为3,故选C.图D2-6-1
