第七章 不等式第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.[2021陕西百校联考]已知实数x,y满足约束条件x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤1,则z=3x+2y的最小值为( )A.4B.5C.6D.92.[2021黑龙江省六校阶段联考]设实数x,y满足约束条件y≥0,4x-y≥0,x+y≤5,则z=x+2y+5的最大值为( )A.14B.10C.9D.73.[2021南昌市高三测试]已知x,y满足约束条件x≤2,y≤2,x+y-3≥0,z=y-x,则zmax-zmin=( )A.0B.1C.2D.44.[2021洛阳市统考]若x,y满足约束条件3x-y+3≥0,x+y-3≤0,3x-5y-9≤0,则z=2x-2y的最大值为( )A.32B.16C.8D.45.[2021大同市调研测试]已知变量x,y满足x-2y+4≥0,x-2≤0,x+y-2≥0,则y+1x+2的取值范围是( )A.[12,32]B.[14,12]C.[14,23]D.[14,32]6.[2020洛阳市第一次联考]已知x,y满足条件x≥0,y≤x,2x+y+k≤0(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( )A.-16B.-6C.-83D.67.[2021江西红色七校联考]已知实数x,y满足约束条件x+y≥4,x-y≥0,x≤4,则(x+1)2+y2的最小值为 . 8.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知实数x,y满足x-2y+1≥0,x+y-1≥0,x<2,则z=2x-y的取值范围是 . 9.[2020南昌市测试]已知二元一次不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x+2y-2≥0表示的平面区域为D,命题p:点(0,1)在区域D内;命题q:点(1,1)在区域D内.则下列命题中,真命题是( )\nA.p∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)10.[2020惠州市二调]设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足y≥x-1,y≥1-x,y≤1.则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.[2020广东六校联考]已知点A(2,1),O是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足:2x-y≤0,x-2y+3≥0,y≥0,设z=OP·OA,则z的最大值是( )A.-6B.1C.2D.412.[2020南昌市重点中学模拟]记不等式组x≥1,x+y-5≥0,x-2y+1≤0的解集为D,若∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y恒成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,8]13.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知x,y满足约束条件x-1≥0,x-y≤0,x+y-m≤0,若yx+1的最大值为2,则m的值为( )A.4B.5C.8D.914.[2020云南三模][双空题]某校同时提供A,B两类线上选修课程:A类选修课每次观看线上直播40分钟,并完成课后作业20分钟,可获得积分5分;B类选修课每次观看线上直播30分钟,并完成课后作业30分钟,可获得积分4分.每周开设2次选修课程,共开设20周,每次均为独立内容,每次只能选择A类、B类课程中的一类学习.当选择A类课程20次,B类课程20次时,可获得总积分 分.如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟,课后作业总时间不得少于900分钟,则通过线上选修课的学习,最多可以获得总积分 分. 答案第七章 不等式第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.A 解法一 作出不等式组表示的平面区域如图D7-2-11中阴影部分所示,作出直线3x+2y=0并平移,由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(0,2)时,z=3x+2y取得最小值,即zmin=3×0+2×2=4,故选A.\n解法二 由x+y-2=0,x-y+2=0,得x=0,y=2,此时z=4;由x+y-2=0,x=1,得x=1,y=1,此时z=5;由x-y+2=0,x=1,得x=1,y=3,此时z=9.综上所述,z=3x+2y的最小值为4,故选A.图D7-2-112.A 作出可行域如图D7-2-12中阴影部分所示.作出直线x+2y=0,平行移动直线x+2y=0,当平移到过点A时,z=x+2y+5取得最大值.联立方程得4x-y=0,x+y=5,得A(1,4),将A(1,4)代入目标函数z=x+2y+5,则zmax=1+2×4+5=14,故选A.图D7-2-123.C 画出可行域如图D7-2-13中阴影部分所示,作出直线y=x并平移,由图可知,目标函数z=y-x在点(1,2)处取得最大值,zmax=2-1=1,在点(2,1)处取得最小值,zmin=1-2=-1.所以zmax-zmin=1-(-1)=2.故选C.图D7-2-134.B 解法一 令u=x-2y.作出不等式组表示的平面区域如图D7-2-14中阴影部分所示,作出直线x-2y=0并平移,由图知,当目标函数u=x-2y的图象经过点A(-2,-3)时,u取得最大值,即umax=-2-2×(-3)=4.又函数f(u)=2u在定义域内单调递增,所以zmax=(2x-2y)max=24=16,故选B.\n图D7-2-14解法二 由3x-y+3=0,3x-5y-9=0,得x=-2,y=-3,此时z=24=16;由3x-y+3=0,x+y-3=0,得x=0,y=3,此时z=2-6=164;由3x-5y-9=0,x+y-3=0,得x=3,y=0,此时z=23=8.所以z=2x-2y的最大值为16,故选B.5.D 画出不等式组表示的平面区域,如图D7-2-15中阴影部分所示,则y+1x+2的几何意义为过P(x,y)与A(-2,-1)两点的直线的斜率.从图中可知当点P(x,y)为点B(2,0)时,y+1x+2的值最小,为14;当点P(x,y)为点D(0,2)时,y+1x+2的值最大,为32.所以y+1x+2的取值范围为[14,32],故选D.图D7-2-156.B 解法一 由题意易知k<0,在平面直角坐标系中,画出x,y满足的不等式组所表示的平面区域,如图D7-2-16中阴影部分所示,目标函数z=x+3y可变形为y=-13x+13z,由图可知,当直线y=-13x+13z经过阴影区域中的点A时,截距最大.由y=x,2x+y+k=0,得x=y=-k3,即A(-k3,-k3),则zmax=-k3+3×(-k3)=-4k3=8,解得k=-6.故所求实数k的值为-6.故选B.解法二 由于目标函数z=x+3y的最大值为8,所以直线y=x与直线8=x+3y的交点(2,2)在直线2x+y+k=0上,将x=2,y=2代入2x+y+k=0,得k=-6.故所求实数k的值为-6.故选B.\n图D7-2-167.13 作出可行域如图D7-2-17中阴影部分所示,(x+1)2+y2的几何意义为可行域内的点(x,y)到定点P(-1,0)的距离,由图知,点P(-1,0)与点M(2,2)之间的距离最小,所以((x+1)2+y2)min=(2+1)2+22=13.图D7-2-178.[0,5) 画出不等式组表示的平面区域如图D7-2-18中阴影部分所示,作出直线2x-y=0,平移可知直线2x-y=z过点C时z最小,由x-2y+1=0,x+y-1=0,解得x=13,y=23,即C(13,23),所以zmin=2×13-23=0.由x+y-1=0,x=2,解得x=2,y=-1,即B(2,-1),将直线2x-y=0往右下方平移的过程中,z的值逐渐增大,所以zmax<2×2-(-1)=5.所以z的取值范围是[0,5).图D7-2-189.C 平面区域D如图D7-2-19中的阴影部分所示.由图知点(0,1)不在区域D内,故p为假命题;点(1,1)在区域D内,故q为真命题.所以(¬p)∧q是真命题.故选C.图D7-2-19\n10.A (x-1)2+(y-1)2≤2表示的是以(1,1)为圆心,2为半径的圆及圆的内部区域,如图D7-2-20所示.不等式组y≥x-1,y≥1-x,y≤1表示的平面区域为图D7-2-20中的阴影部分.所以p不能推出q,q能推出p,所以p是q的必要不充分条件,故选A.图D7-2-2011.D 解法一 由题意,作出可行域,如图D7-2-21中阴影部分所示.z=OP·OA=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,可知当直线2x+y=z过点C时,z取得最大值.由2x-y=0,x-2y+3=0,得x=1,y=2,即C(1,2),则z的最大值是4,故选D.解法二 由题意,作出可行域,如图D7-2-21中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=OP·OA=2x+y,易知目标函数z=2x+y的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入z=2x+y,对应z的值分别为0,4,-6,故z的最大值是4,故选D.图D7-2-2112.C 不等式组x≥1,x+y-5≥0,x-2y+1≤0表示的平面区域如图D7-2-22中阴影部分所示,设z=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,由图知目标函数z=2x+y取得最小值的最优解为(1,4),所以目标函数z=2x+y的最小值为6.因为∀(x,y)∈D,不等式a≤2x+y恒成立,所以a≤6,故选C.图D7-2-2213.B 由题意知x≥1,y≥x,则m≥x+y≥2,作出满足约束条件的平面区域如图D7-2-23中阴影部分所示.显然yx+1表示定点P(-1,0)与平面区域内的点(x,y)连线所在直线的斜率,由图可知,当直线经过平面区域的顶点A(1,m-1)时,直线的斜率取得最大值,为(m-1)-01-(-1)=2,解得m=5.故选B.\n图D7-2-2314.180 190 根据题意知,当选择A类课程20次,B类课程20次时,可获得总积分5×20+4×20=180(分).设学生选择A类选修课x(x∈N)次,B类选修课y(y∈N)次,则x,y所满足的约束条件为40x+30y≥1200,20x+30y≥900,x+y≤40,x∈N,y∈N,即4x+3y≥120,2x+3y≥90,x+y≤40,x∈N,y∈N,总积分为z=5x+4y.图D7-2-24作出约束条件对应的可行域,如图D7-2-24中的阴影部分中的整点所示.由x+y=40,2x+3y=90,解得x=30,y=10,可得M(30,10),平移直线5x+4y=0,当直线z=5x+4y经过可行域的顶点M时,直线z=5x+4y在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,即zmax=5×30+4×10=190.因此,通过线上选修课的学习,最多可以获得总积分190分.
