课时提升练(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2022·广东高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值等于( )A．7B.8 C．10 D．11【解析】 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y＝－2x＋z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.【答案】 C2．如果点(1，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为( )A．2B．1C．3D．0【解析】 由题意知(6－8b＋1)(3－4b＋5)＜0，即(b－2)＜0，∴＜b＜2，∴b应取的整数为1.【答案】 B3．(2022·郑州模拟)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )A．(1－，2)B．(0,2)C．(－1,2)D．(0,1＋)【解析】 如图，根据题意得C(1＋，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y6\n取范围的边界值，即－(1＋)＋2<z<－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．【答案】 A4．(2022·北京高考)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.【答案】 C5．(2022·安徽高考)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或－1B．2或C．2或1D．2或－1【解析】 如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.【答案】 D6．在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是( )A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]【解析】 由得，则交点为B(4－s,2s－4)，6\ny＋2x＝4与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为C′(0,4)，x＋y＝s与y轴的交点为C(0，s)．作出当s＝3和s＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示． (1) (2)当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7≤zmax＜8；当4≤s≤5时，可行域是△OAC′及其内部，此时，zmax＝8.综上所述，可得目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是[7,8]．【答案】 D二、填空题7．(2022·浙江高考)若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．【解析】 作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3.所以1≤x＋y≤3.【答案】 [1,3]8．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.6\n画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax＝300×3＋400×2＝1700.故最大利润是1700元．【答案】 17009．(2022·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.【答案】 三、解答题10．设x，y满足约束条件(1)求z＝2x－y的最大值．(2)若z＝，求z的取值范围．6\n【解】 (1)作出可行域如图阴影部分．作直线2x－y＝0，并向右平移，当平移至直线过点B时，z＝2x－y取最大值．而由得B(3,3)．∴zmax＝2×3－3＝3.(2)z＝表示可行域内的点到原点的距离，观察可行域知，可行域内的点A和点C到原点的距离分别为最大和最小．又由得A(1,1)．由得C(3,4)．故|OA|＝＝，|OC|＝＝5.∴z的取值范围为[，5]．11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解】 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为整理得目标函数为ω＝2x＋3y＋300.作出可行域．如图所示：初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，ω有最大值．由得最优解为A(50,50)，所以ωmax＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．6\n12．已知实数x、y满足试求z＝的最大值和最小值．【解】 由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.6
