第七章 不等式第三讲 基本不等式1.[2020上海,13,5分]下列不等式恒成立的是( )A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2|ab|D.a+b≤2|ab|2.[2021河南八市名校联考]“x+4x≥4”是“x≥12”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.[2021贵阳市四校第二次联考]若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为( )A.2B.9C.4D.224.[2021安徽省阜阳市二模]若a,b为正实数,且12a+b+1a+2b=1,则a+b的最小值为( )A.23B.43C.2D.45.[2021山东新高考模拟]已知1<m<43,则2m-1+34-3m的最小值是( )A.32+9B.3+6C.62+9D.126.[易错题]已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最大值是( )A.63B.233C.433D.-4337.[2021湖南益阳市模拟]《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图7-3-1所示的图形,点F在半圆O上,点C在半径OB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b2≥ab(a>0,b>0)B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)C.2aba+b≤ab(a>0,b>0)图7-3-1D.a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)8.[2021东莞市东华高级中学第二次联考][双空题]设x,y为正数,若x+y2=1,则1x+2y的最小值是 ,此时x= . 9.[2021安徽示范高中名校联考]已知x,y∈R,且满足4x+y+2xy+1=0,则x2+y2+x+4y的最小值为 . \n10.[2021江西南昌二中模拟]已知a>1,b>1,且1a-1+1b-1=1.若不等式a+4b≥-x2+4x+16-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)11.[2021江苏模拟]已知正数x,y,z满足(x+2y)(y+z)=4yz,且z≤3x,则3x2+2y23xy的取值范围是 . 12.[2021云南师大附中模拟]已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得am·an=16a12,则1m+9n的最小值为 . 13.[2021杭州市学军中学模拟]已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当abc取最大值时,3a+1b-12c的最大值为 . 14.[2020湖南湘潭模拟]某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a-0.8x%)(a>0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.答案第七章 不等式第三讲 基本不等式1.B 对于A,C,当a=0,b=-1时,a2+b2>2ab,a+b<-2|ab|,故A,C错误;对于D,当a=3,b=1时,a+b=4>2|3×1|=2|ab|,故D错误;对于B,因为a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a|·|b|=2|ab|≥-2ab,所以B正确.故选B.\n2.B 当x+4x≥4时,得x>0,充分性不成立;当x≥12时,由基本不等式可得x+4x≥2x·4x=4,当且仅当x=2时取等号,必要性成立.故“x+4x≥4”是“x≥12”的必要不充分条件.故选B.3.C 因为log2x+log4y=1,所以x>0,y>0且log2(xy)=1,所以xy=2,所以x2+y≥2x2y=4,当且仅当x2=y=2,即x=2,y=2时等号成立,故选C.4.B 由已知可得a+b=13(3a+3b)=13[(2a+b)+(a+2b)]=13[(2a+b)+(a+2b)]·(12a+b+1a+2b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)≥13(2+22a+ba+2b·a+2b2a+b)=43,当且仅当2a+ba+2b=a+2b2a+b,即a=b=23时取等号,所以a+b的最小值为43.故选B.5.C ∵1<m<43,∴m-1>0,4-3m>0,2m-1+34-3m=(63m-3+34-3m)[(3m-3)+(4-3m)]=9+6(4-3m)3m-3+3(3m-3)4-3m≥9+62,当且仅当6(4-3m)3m-3=3(3m-3)4-3m,又1<m<43,故m=5-23时,取等号.故选C.6.D ∵不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),∴在方程x2-4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+ax1x2=4a+13a.∵a<0,∴-(4a+13a)≥24a×13a=433,当且仅当4a=13a,即a=-36时等号成立.∴4a+13a≤-433,故x1+x2+ax1x2的最大值为-433.故选D.7.D 由题图可知:OF=12AB=a+b2,OC=a-b2.在Rt△OCF中,由勾股定理可得CF=(a+b2)2+(a-b2)2=a2+b22.∵CF≥OF,∴a+b2≤a2+b22(a>0,b>0),故选D.8.4 12 因为x+y2=1,x>0,y>0,所以1x+2y=(1x+2y)(x+y2)=2+y2x+2xy≥2+2y2x×2xy=4,当且仅当y2x=2xy,即x=12,y=1时等号成立,所以1x+2y的最小值为4,此时x=12.9.-134 因为4x+y+2xy+1=0,所以2x(y+2)+y+1=0,即2x(y+2)+(y+2)-1=0,即(2x+1)(y+2)=1,即(x+12)(y+2)=12.所以x2+y2+x+4y=(x+12)2+(y+2)2-174≥2(x+12)(y+2)-174=-134,当且仅当x+12=y+2时取“=”,即x=-1-22,y=-4-22或x=-1+22,y=-4+22时取“=”,所以x2+y2+x+4y的最小值为-134.10.D 由于a-1>0,b-1>0,a+4b=a-1+4(b-1)+5=[(a-1)+4(b-1)](1a-1+1b-1)+5=10+4(b-1)a-1+a-1b-1≥10+24(b-1)a-1·a-1b-1=10+4=14,当且仅当a-1b-1=4(b-1)a-1,即a=4,b=52时等号成立.又a+4b≥-x2+4x+16-m对任意实数x恒成立,即-x2+4x+16-m≤(a+4b)min=14,即-x2+4x+16-m≤14对任意实数x恒成立.即-x2+4x+2-m≤0对任意实数x恒成立,又二次函数y=-x2+4x+2-m开口向下.故只需Δ≤0即可,即Δ=42-4×(-1)×(2-m)≤0,解得m≥6.故选D.\n11.[263,53] 由(x+2y)(y+z)=4yz,得xy+2y2+xz=2yz,z=xy+2y22y-x≤3x.又x,y,z为正数,所以2y-x>0,xy+2y2≤6xy-3x2,所以3x2+2y2≤5xy.因为3x2+2y2≥26xy,当且仅当3x=2y时等号成立,所以3x2+2y23xy≤5xy3xy=53,3x2+2y23xy≥26xy3xy=263,所以3x2+2y23xy的取值范围为[263,53].12.114 设正项等比数列{an}的公比为q,且q>0,由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,即q2-q-2=0,解得q=2.由am·an=16a12,得qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,得m+n=6.1m+9n=m+n6(1m+9n)=16(1+nm+9mn+9)≥10+2nm×9mn6=83,当且仅当nm=9mn,m+n=6,即m=32,n=92时取等号,因为m,n为正整数,所以等号不成立,所以1m+9n>83.验证可得当m=2,n=4时,1m+9n取得最小值,最小值为114.13.1 因为a2-2ab+9b2-c=0,a2+9b2≥6ab,当且仅当a=3b时等号成立,所以6ab-2ab-c≤0,即4ab≤c,所以abc≤14,所以当abc取最大值时,c=12b2.所以3a+1b-12c=2b-1b2=-(1b-1)2+1≤1,所以3a+1b-12c的最大值为1.14.(1)由题意得10(1000-x)(1+0.4x%)≥10×1000,即x2-750x≤0,又x>0,所以0<x≤750,即最多调整出750名员工从事第三产业.(2)易知调整出的员工创造的年总利润为10(a-x125)x万元,剩余员工创造的年总利润为10(1000-x)(1+x250)万元,则10(a-x125)x≤10(1000-x)(1+x250),化简得ax≤x2250+1000+3x,即a≤x250+1000x+3对任意的x∈(0,750]恒成立.易知x250+1000x≥2x250·1000x=4,当且仅当x250=1000x,即x=500时等号成立,则x250+1000x+3≥7,所以a≤7,又a>0,所以0<a≤7,故a的取值范围是{a|0<a≤7}.
