延边州2013年高考复习质量检测理科数学数学（理）试题头说明本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页，共150分。其中第II卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。5．做选考题前，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据x1,x2,…,xn的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体积公式球的表面积、体积公式，其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷(选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。1．已知全集为U=R，，，则右图中阴影部分表示的集合为A．B．C．D．2．已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2A．B．C．D．3．下列命题正确的有①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；-12-\n②命题:“”的否定:“”；③设随机变量服从正态分布N(0,1),若，则；④回归直线一定过样本点的中心（）。A．1个B.2个C.3个D.4个4．在中，点P在BC上，且，Q是AC的中点，以P为坐标原点建立平面直角坐标系，若，则A．（6，－21）B．（2，－7）C．（－2，-7）D．（－6，21）5．在右边的程序框图中，当程序结束运行时，的值为A．5B．7C．9D．116．在中，分别为角的对边，且，则最大内角为A．B． C．D．7．已知抛物线（p>0）的准线与圆相切，则p的值为A．10B．6C．D．8．已知等差数列的公差和等比数列的公比都是，且，，，则和的值分别为A．B．C．D．9．关于函数的四个结论：P1：最大值为；P2：最小正周期为；P3：单调递增区间为Z；P4：图象的对称中心为Z。其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为-12-\nA．＋1B．＋1C．D．11．已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，是正三角形。，则棱锥P—ABC的体积为A．B．C．D．12．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上。13．若，则的值为。14．若，则方程有实数解的概率为。15．设函数，且方程在区间和上各有一解，则的取值范围用区间表示为________________。16．对于三次函数给出定义：设是函数-12-\n的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算=______。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）数列满足。（Ⅰ）求及数列的通项公式；（Ⅱ）设，求。18．（本小题满分12分）在某届世界大学生夏季运动会期间，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图（单位：cm）:若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。19．（本小题满分12分）如图所示，和是边长为2的正三角形，且平面平面，平面，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面和平面所成的二面角的余弦值。20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为。-12-\n（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，直线与交于点.试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。21.（本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）若,求函数的单调区间并比较与的大小关系（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；（Ⅲ）求证：。请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时必须用2B铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑，请勿多涂、漏涂。22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若AC=3，求的值。23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线。（Ⅰ）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（Ⅱ）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值。24．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知和是任意非零实数。-12-\n（Ⅰ）求的最小值;（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围。延边州2013年高考复习质量检测理科数学参考答案及评分标准一、选择题1．A；2．A；3．C；4．D；5．D；6．B；7．C；8．D；9．C；10．A；11．B；12．Ｂ二、填空题13．1；14．；15．；16．2012三、解答题17．解：（Ⅰ）……….1分………………….2分一般时得既所以数列是首项为2，公比为2/3的等比数列所以……………….４分时得既所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以………….6分综上可知：………….８分（Ⅱ）=-12-\n==………………….12分18．解：（Ⅰ）根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人……….1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是………….2分所以选中的“高个子”有12*=2人，“非高个子”有18*=3人用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”，则因此至少有一人是“高个子”的概率是……………………6分（Ⅱ）依题意，一共有12个高个子，其中有男8人，女4人，则的取值为0，1，2，3所以；；因此X的分布列如下……………10分X0123P14/5528/5512/551/55所以………………12分19．（Ⅰ）证明：取的中点为，连结ＡＦ，ＥＦ∵△ＢＣＥ正三角形，∴ＥＦＢＣ，又平面ＡＢＣ平面ＢＣＥ，且交线为ＢＣ，∴ＥＦ⊥平面ＡＢＣ，又ＡＤ⊥平面ＡＢＣ∴ＡＤ∥ＥＦ，∴共面，又易知在正三角形ＡＢＣ中，ＡＦ⊥ＢＣ，∴平面，又平面故；．．．．．．．．．．４分（Ⅱ）由（Ⅰ）知Ｂ在平面的射影为，-12-\n故与平面所成角为，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ２＝ＡＢ２＋ＡＤ２，求得ＢＤ＝４，在Ｒｔ△ＢＤＦ中，sin∠BDF=．．．．．．．８分；（Ⅲ）设平面和平面所成的二面角为，又知△ＢＤＥ在平面ＡＢＣ上的射影为△ＢＡＦ所以．．．．．．．．．．．．．１２分。注：方法不唯一，只要过程，结论正确给分。向量法（Ⅰ）取的中点为，连结ＡＦ，ＥＦ∵△ＢＣＥ正三角形，∴ＥＦＢＣ，又平面ＡＢＣ平面ＢＣＥ，且交线为ＢＣ，∴ＥＦ⊥平面ＡＢＣ，又易知在正三角形ＡＢＣ中，ＡＦ⊥ＢＣ∴ＣＢ、ＡＦ、ＦＥ所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：则求得F（０，０，０），D（０，，），A（０，，０），B（１，０，０），C（－１，０，０），E（０，０，）∴，，∴∴．．．．．．．．．．．４分（Ⅱ）由（Ⅰ）共面，平面，所以，平面ＡＤＥ的一个法向量就是，可求得，，设与平面所成角为，则………….8分（Ⅲ）设平面ＢＤＥ的一个法向量为，由（Ⅰ）知平面ＡＢＣ的一个法向量为，由得令z=1,解得x=,y=1,,设平面ＡＢＣ与平面ＢＤＥ所成角为-12-\n则．．．．．．．．．．．１２分注：建系方法不唯一，只要有三线垂直证明及建系说明，坐标正确，运算无误，结论准确，可给满分。20．（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得解得 所以，即椭圆的方程为．．．．．．．．．４分（Ⅱ）由题意，知直线为：．取得，直线的方程是直线的方程是交点为若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为．．．．．．．．６分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．事实上，由，得即，记，则．．．．．．８分设与交于点由得设与交于点由得．．．．．．１０分，∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上．．．．．．．．．１２分解法二：（Ⅰ）同解法一．．．．．．．．．．．．．．．４分（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为-12-\n取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．．．６分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上事实上，由，得即，记，则．．．．．．．８分的方程是的方程是消去得……………………………………①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证……②．．．．．．１０分∵∴②式恒成立．这说明，当变化时，点恒在定直线上．．．．．．．．．．．１２分解法三：（Ⅰ）同解法一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分（Ⅱ）由，得即．记，则．．．．．．．．．．６分的方程是的方程是由得．．．．．．．．．８分即．．．．．．．．．１０分．这说明，当变化时，点恒在定直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分注：还可有其他方法，只要过程严密，结论正确都给分-12-\n21.解：（Ⅰ）当时，解得；解得-所以，的单调增区间为，减区间为可知，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）∵∴得，∴，∴．．．．．．．．4分∵在区间上总不是单调函数，且∴．．．．．6分由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（Ⅲ）证明如下：由（1）可知当时，即，∴对一切成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∵，则有，∴．．．．．．．．．11分．．．．．．．．．12分（也可用数学归纳法证明，只要过程严密，灵活给分）22．(Ⅰ)证明：，～，又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ)解：～，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.解(Ⅰ)由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分∵曲线的直角坐标方程为：，-12-\n∴曲线的参数方程为：.………………5分--6(Ⅱ)设点P的坐标，则点P到直线的距离为：，………………7分∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-，此时.…………10分24.解：（I）对于任意非零实数a和b恒成立，当且仅当时取等号，的最小值等于4。…………5分（II）恒成立，故不大于的最小值…………7分由（I）可知的最小值等于4。实数x的取值范围即为不等式的解。可用分类讨论法；数性结合法；图像法等方法，只要过程严密，结论正确即可解不等式得…………10分-12-
