资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（文史财经类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回．参考公式：球的表面积公式（其中R表示球的半径），球的体积公式（其中R表示球的半径）．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={3，5}，则（A）{1，2，4，5}（B）{1，5}（C）{2，4}（D）{2，5}2．函数的图象大致是3．下列命题为真命题的是（A）若为真命题，则为真命题（B）“”是“”的充分不必要条件（C）命题“若，则”的否命题为：“若，则”（D）命题p：，，则：，4．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（A）若l∥m，mα，则l∥α（B）若l∥α，mα，则l∥m（C）若l⊥α，mα，则l⊥m（D）若l⊥m，l⊥α，则m∥α5．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（A）（B）（C）（D）6．式子（A）4（B）6（C）8（D）10-8-\n7.实数x，y满足不等式组则的最大值为（A）2（B）1（C）（D）08．下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）9．执行右图所示的程序框图（其中表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（A）4（B）5（C）7（D）910．已知定义在上的函数则（A）函数的值域为（B）关于x的方程（）有2n＋4个不相等的实数根（C）当时，函数的图象与x轴围成的面积为2（D）存在实数，使得不等式成立-8-\n第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若，则________．12．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于．13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为.14．观察以下各等式：，，．试写出能反映上述各等式一般规律的一个等式．15．如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①；②；③；④；⑤．其中终点落在阴影区域内的向量的序号是_____________（写出满足条件的所有向量的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且△ABC的面积为，求a＋b的值.幸福指数评分值频数频率[50，60]1(60，70]6(70，80](80，90]3(90，100]217．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到右图所示的频率分布表：（Ⅰ）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；（Ⅱ）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加“幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．-8-\n18．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，∠BAC=90°，平面ABC，D、E分别为、的中点，点在棱上，且.（Ⅰ）求证：EF∥平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:31，若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，（）．（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，若恒成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）已知椭圆C：()经过与两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足．求证：为定值．21．（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若函数在上有三个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设函数，如果对任意的,，都有成立，求实数a的取值范围．资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（文史财经类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1－5.CABCB；6－10.DADCC.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．3；12．17；13．；14．；15．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解析（Ⅰ）由及正弦定理，-8-\n得（），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴．6分（Ⅱ）∵，，∴△ABC的面积，∴．①8分由余弦定理，，即．②10分由①×3＋②，得，故．12分17．解析（Ⅰ）频率分布表：幸福指数评分值频数频率[50，60]10.05(60，70]60.30(70，80]80.40(80，90]30.15(90，100]20.103分频率分布直方图：3分（Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A1，A2，A3，（90，100]的2人分别是B1，B2，则全部基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2）共10个，其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率．12分18．（Ⅰ）证明：取的中点M，，为的中点，又为的中点，∴，在三棱柱中，分别为的中点，，且，则四边形A1DBM为平行四边形，，，又平面，平面，-8-\n平面．6分（Ⅱ）设上存在一点，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰31，则．，，即，所以符合要求的点存在．12分19．解析（Ⅰ）由，得（），两式相减得，即，2分∴，则（），4分由，又，得，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列．则，∴，6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由题意得，则有，即，∴，10分而对于时单调递减，则的最大值为，故．12分20．解析（Ⅰ）将与代入椭圆C的方程，得解得，．∴椭圆的方程为．6分（Ⅱ）由，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时-8-\n．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为（），则直线OM的方程为，设，，由解得，，∴，同理，所以，故为定值．13分21．解析（Ⅰ），由时，解得或；由时，解得．故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．4分（Ⅱ）令，则，∴，由（Ⅰ）知，当函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．函数在处取得极大值，在处取得极小值，由函数在上有三个零点，则有：即解得，故实数a的取值范围是．9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数在上单调递减，在上单调递增，而，，故函数在区间上的最大值．∴只需当时，恒成立即可，即等价于恒成立，所以，记，所以，，可知，当时，，，则，∴在上单调递增；-8-\n当时，，，则，∴在上单调递减；故当时，函数在区间上取得最大值，所以，故实数a的取值范围是．14分-8-
