专题升级训练1 集合与常用逻辑用语(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，，则A∩B＝( )．A．(－1,2]B．(－1,4)C．(0,2]D．(2,4)2．集合＝( )．A．B．C．D．3．“a＞1”是“＜1”成立的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，使sinx＋cosx＝，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④綈p是真命题．其中正确的是( )．A．①④B．②③C．③④D．②④5．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是( )．A．3B．4C．8D．96．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )．A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m.则上述命题中正确的是( )．A．①②B．②③C．②④D．③④8．若数列{an}满足＝p(p为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等方比数列．已知甲：{an}是等方比数列，乙：{an}为等比数列，则命题甲是命题乙的( )．A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．若M＝{x∈Z|－1}，则集合M的真子集的个数为__________．10．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则a的取值范围是__________．11．一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)＝(x∈R-4-\n)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f(x)的值域为；②若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；③若规定f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，则fn(x)＝对任意n∈N*恒成立．你认为上述三个命题中正确的是__________．12．已知命题p：“对于任意的实数x，存在实数m，使得4x－2x＋1＋m＝0”，且命题p是假命题，则实数m的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)求(∁RA)∩B；(3)如果A∩C≠，求a的取值范围．14．(本小题满分10分)已知p：≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＜0)，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围．15．(本小题满分12分)(1)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；(2)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．16．(本小题满分12分)已知a＞1，命题p：a(x－2)＋1＞0，命题q：(x－1)2＞a(x－2)＋1＞0.若命题p，q同时成立，求x的取值范围．-4-\n参考答案一、选择题1．C 解析：由题意知A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|－1＜x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤2}，故选C.2．D 解析：y＝sincos＝sin，其周期为6，则n只需取1,2,3,4,5,6即可，故选D.3．A 解析：由＜1得a＞1或a＜0，故选A.4．D 解析：由题意知p假q真，故②④正确，选D.5．B 解析：由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此一共有4个元素，故选B.6．C 解析：P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，故选C.7．B 解析：对于①少了m，n是相交直线的条件，故①错．由于平行于同一条直线的两直线平行，则直线n∥l，又l⊥α，则有n⊥α，即②正确．因为垂直于同一个平面的两直线平行，即直线n∥m，则有l∥n，即③正确．在④中直线l，m也可以相交或异面．故选B.8．C 解析：{an}是等方比数列，不能推出{an}为等比数列，例如：数列1，－1，－1,1，…是等方比数列，但不是等比数列．若{an}为等比数列，则＝q(q为常数，n∈N*)，从而＝q2(q2为常数，n∈N*)，则{an}是等方比数列，故选C.二、填空题9．7 解析：M＝{x∈Z|≥－1}＝{x∈Z|0＜x≤3}＝{1,2,3}，集合M中有3个元素，它有7个真子集．10．－8≤a≤0 解析：由题意得：x为任意的实数，都有ax2－ax－2≤0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由得－8≤a＜0，∴－8≤a≤0.11．②③ 解析：|f(x)|＝＜1，则f(x)的值域为(－1,1)，故①错．因为f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，且此时－1＜f(x)＜0；在区间[0，＋∞)上也是增函数，且此时0≤f(x)＜1；则当x1≠x2时，若x1，x2同号，显然有f(x1)≠f(x2)，若x1，x2(x1＜x2)异号，则f(x1)＜0，而f(x2)≥0，也有f(x1)≠f(x2)，则②正确．对于③，当n＝1时，显然有f1(x)＝成立．假设n＝k(k∈N*)时结论成立，则有fk(x)＝，则当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝f(fk(x))＝＝，则n＝k＋1时结论也成立，综合知fn(x)＝，故③正确．12．m＞1 解析：设t＝2x＞0，则f(t)＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t在区间(0,1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数，则对于任意的实数x，有－4x＋2x＋1≤1，则命题p-4-\n是真命题时，有m＝－4x＋2x＋1≤1.从而命题p是假命题时，实数m的取值范围为m＞1.三、解答题13．解：(1)因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)因为A＝{x|3≤x＜7}，所以∁RA＝{x|x＜3或x≥7}．所以(∁RA)∩B＝{x|x＜3或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(3)如图，当a＞3时，A∩C≠.14．解：由≥0，得－2≤x＜10，即p：－2≤x＜10；由x2－2x＋1－m2≤0(m＜0)，得[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]≤0，所以1＋m≤x≤1－m，即q：1＋m≤x≤1－m.又因为p是q的必要条件，所以解得m≥－3，又m＜0，所以实数m的取值范围是－3≤m＜0.15．解：(1)当x＞2或x＜－1时，x2－x－2＞0.由4x＋p＜0，得x＜－，故－≤－1时，x＜－⇒x＜－1⇒x2－x－2＞0.∴p≥4时，“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件．(2)不存在实数p满足题设要求．16．解：依题意，有解得①若1＜a＜2，则有而a－＝a＋－2＞0，即a＞2－，∴x＞2或2－＜x＜a.故此时x的取值范围为∪(2，＋∞)．②若a＝2，则x＞且x≠2，此时x的取值范围为∪(2，＋∞)．③若a＞2，则有⇒x＞a或2－＜x＜2.此时x的取值范围为∪(a，＋∞)．综上，当1＜a＜2时，x∈∪(2，＋∞)；当a＝2时，x∈∪(2，＋∞)；a＞2时，x∈∪(a，＋∞)．-4-
