高考数学 学困生专用精品复习资料（02）函数与导数（教师版）

2013年高考数学学困生专用精品复习资料（02）函数与导数（教师版）一．函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。③了解简单的分段函数，并能简单应用。④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质。（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景。②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点。③了解指数函数与对数函数互为反函数（a>0，a≠1）。（4）幂函数①了解幂函数的概念。②结合函数的图象，了解它们的变化情况。（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。（6）函数模型及其应用25\n①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。二．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景。②理解导数的几何意义。（2）导数的运算①能根据导数定义，求函数的导数。②能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。·常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：（C）′=0（C为常数）；（xn）′=nxn-1，n∈N+；；；；；·常用的导数运算法则：·法则1·法则2·法则3（3）导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。（4）生活中的优化问题25\n会利用导数解决某些实际问题。【专题知识网络】（1）基本概念（2）三要素函数：（3）基本性质：单调性、奇偶性、周期性（4）常见初等函数：指数函数、对数函数、幂函数（5）函数图象及其零点（6）函数模型及其应用（1）概念导数：（2）几何意义（3）应用：求极值、求最值【剖析高考真题】考点：函数含义及其表示（2012年山东高考卷）函数的定义域为A．B.C.D.【答案】B【解析】方法一：特值法，当时，无意义，排除A,C.当时，，不能充当分母，所以排除D,选B.25\n方法二：要使函数有意义则有，即，即或，选B.考点：函数的图像(2012年湖北高考卷)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)除法知选B.考点：函数的性质(2012年重庆高考卷)函数为偶函数，则实数【答案】【解析】因为函数为偶函数，所以，由，得，即。考点：函数的零点的确定25\n(2102年北京高考卷)函数的零点个数为A.0B.1C.2D.34.故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.考点：利用导数求函数的最值、恒成立问题(2012年江西高考)已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a的取值范围；（2）设g(x)=f(-x)-f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。【解析】(1)(条件)已知二次函数与指数型函数结合的解析式⇨(目标)求参数a的取值范围⇨(方法)对函数求导并结合函数的单调性讨论参数a的取值范围；25\n(2)(条件)已知由f(x)和它的导数差组成的函数⇨(目标)求g(x)在区间[0,1]上的最大、最小值⇨(方法)对g(x)求导后对应区间讨论，注意参数a的分类讨论影响函数的最值．(2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.(i)当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0上取得最小值g(0)＝1，在x＝1上取得最大值g(1)＝e.(ii)当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0取得最大值g(0)＝2，在x＝1取得最小值g(1)＝0.(9分)(iii)当0<a<1时，由g′(x)＝0得x＝>0.①若≥1，即0<a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)在x＝0取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1取得最大值g(1)＝(1－a)e.②若<1，即<a<1时，g(x)在x＝取得最大值g＝2ae，在x＝0或x＝1取得最小值，而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e，则当<a≤时，g(x)在x＝0取得最小值g(0)＝1＋a；当<a<1时，g(x)在x＝1取得最小值g(1)＝(1－a)e.(12分)考点：函数性质与导数综合中的参数问题(2012年山东高考卷)(本小题满分13分)25\n已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.【考点梳理归纳】1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；25\n⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；⑵是奇函数；⑶是偶函数；⑷奇函数在原点有定义，则；（扬州二模填空题第五题再去想一想）⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：①在区间上是增函数当时有25\n；②在区间上是减函数当时有；⑵单调性的判定①定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2（2））；④图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期①；②；③；④；⑤；⑶函数周期的判定①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论）⑷与周期有关的结论①或的周期为；②的图象关于点中心对称周期为2；25\n③的图象关于直线轴对称周期为2；④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4；8．基本初等函数的图像与性质⑴幂函数：（；⑵指数函数：；⑶对数函数:；⑷正弦函数:；⑸余弦函数：；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；⑻其它常用函数：①正比例函数：；②反比例函数：；特别的（其图像就是双曲线只不过中心不在坐标原点）②函数；把握两个特殊函数的图像性质指数函数对数函数定义形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数图像定义域R{x|x>0}值域{y|y>0}R过定点(0,1)(1,0)单调性0<a<1时，在R上单调递减a>1时，在(0，＋∞)上单调递增a>1时，在R上单调递增0<a<1时，在(0，＋∞)上单调递减函数值性质0<a<1，当x>0时，0<y<1当x<0时，y>10<a<1，当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0a>1，当x>0时，y>1当x<0时，0<y<1a>1，当x>1时，y>0当0<x<1时，y<025\n9．二次函数：⑴解析式：①一般式：；②顶点式：，为顶点；③零点式：。⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。10．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：①平移变换：ⅰ，———左“+”右“-”；ⅱ———上“+”下“-”；②伸缩变换：ⅰ，（———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；ⅱ，（———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；③对称变换：ⅰ；ⅱ；ⅲ；④翻转变换：ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；25\n（注意上述两点的区别！）注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x,y)=0;③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称；⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；12．函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.13．导数⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；⑵常见函数的导数公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶导数的四则运算法则：⑷复合函数的导数：⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：ⅰ是增函数；ⅱ为减函数；ⅲ为常数；③利用导数求极值：ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得极值。25\n④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。【考点典型例题】题型一：函数含义及其表示(2102年福建高考卷)设则的值为A1B0C-1D【答案】B．【解析】本题难度适中,是无理数，故选B.题型二：函数的定义域与值域(2013届广东省湛江一中高三上学期期中考试)函数的定义域为()A.(e，+∞）B.[e，+∞)C.(O，e]D.(-∞，e]题型三：函数的奇偶性与单调性(2013届黑龙江省双鸭山市第一中学高三第三次月考)下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（　　　）Ａ．　25\nＢ．　Ｃ．　Ｄ．）【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性单调性,奇偶函数定义域是对称的，因此B，D项排除，C项是减函数，排除,判定函数奇偶性：一，定义域是否对称；二，或，两条件缺一不可题型四：函数与方程(函数零点)(2013届广东省汕头四中高三第四次月考)已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的A．函数在或内有零点B．函数在内无零点C．函数在内有零点D．函数在内不一定有零点题型五：函数图像(2013届湖南省醴陵、攸县、浏阳一中元月联考)已知二次函数的图象如图1所示,则25\n选B题型六：函数的周期性(2013届河南省扶沟县高级中学高三第三次考试)已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与轴的交点个数为（）A．6B.7C.8D.9【答案】B【解析】当时，,与轴有两个交点，因为是上最小正周期为的周期函数，所以当和时分别有两个交点，另外当时也有一个交点，所以与轴的交点个数为7个.题型七：基本初等函数(2013届湖南省五市十校高三第一次联合检测)已知函数，满足25\n，则的值为（）A．B．C．D．1题型八：导数几何意义(2013届广东省汕头四中高三第四次月考)曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由所以曲线在(1,2)处的切线方程为即y=x+1.题型九：利用导数研究函数的单调性(2013届河南省淇县高级中学高三第一次模拟考)设函数则A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点25\nD.x=2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】,得x=2,因为当(0,2)时，当时，所以x=2为f(x)的极小值点题型十:利用导数求最值和极值(2013届安徽省六安一中高三第一次月考)已知函数在处取得极值．（I）求与满足的关系式；（II）若，求函数的单调区间；（III）若，函数，若存在，，使得成立，求的取值范围．（Ⅲ）当a＞3时，确定f（x）在上的最大值，g（x）在上的最小值，要使存在m1，m2∈[使得|f（m1）-g（m2）|＜9成立，只需要|f（x）max-g（x）min|＜9，即可求得a的取值范围．【考点强化训练】25\n一、选择题1.(2013届山东省实验中学高三第三次诊断性测试)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A.B.C.D.2.(2013届山东省师大附中高三12月第三次模拟检测)设函数有三个零点则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，，，，所以函数的三个零点分别在之间，又因为所以，选C.3.(2013届山东省师大附中高三上学期期中考试)函数的图象大致为25\n【答案】A【解析】，即，选A.4.(2013届山东省聊城市东阿一中高三上学期期初考试)为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（）A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度5.(2013届山东省济南外国语学校高三上学期期中考试)已知函数，则的值等于（）A.B.25\nC.D.0【答案】C【解析】，所以，选C.6.(2013届山东省德州市乐陵一中高三10月月考)设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．7.(2013届北京市东城区普通校高三11月联考)设，则等于()A.B.C.D.25\n【答案】B【解析】，所以，选B.8.(2013届山东省实验中学高三第二次诊断性测试)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A.B.C.D.9.(2013届山东省济南外国语学校高三上学期期中考试)若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab的最大值（）A.2B.3C.6D.9【答案】D【解析】函数的导数为，函数在处有极值，则有，即，所以，即，当且仅当时取等号，选D.二、填空题25\n10．（2013届湖北省仙桃市沔州中学高三上学期第三次考试）已知过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是11．（2013届湖南省五市十校高三第一次联合检测）已知函数时，只有一个实根；当∈（0，4）时，有3个相异实根，现给出下列四个命题：①和有一个相同的实根；②和有一个相同的实根；③的任一实根大于的任一实根；④的任一实根小于的任一实根.其中正确命题的序号是【答案】(1),(2),(4)【解析】25\n由题意y=f（x）图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0．f（x）-k=0的根的问题可转化为f（x）=k，即y=k和y=f（x）图象交点个数问题。根据下图可知答案为：①②④。12．（2013届辽宁省实验中学分校高三12月月考）已知函数，其中、为常数，，则=_________．三、解答题13.（2013届甘肃省甘谷一中高三上学期第一次检测）设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．（Ⅰ）求实数的值（Ⅱ）求函数的极值【答案】（I）由题设条件知由于（II）函数处取得极大值处取得极小值25\n25\n25