第三章第4课时简单的三角恒等变换课时闯关（含答案解析）一、选择题1．在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是( )A. B.C.D．1解析：选C.由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得2cos2B－3cosB＋1＝0，所以cosB＝，或cosB＝1(舍去)，∴sinB＝.2．已知tanα＝－，且－＜α＜0，则＝( )A．－B．－C．－D.解析：选A.因tanα＝－，又－＜α＜0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.3．(2012·宜昌调研)已知角A为△ABC的内角，且sin2A＝－，则sinA－cosA＝( )A.B．－C．－D.解析：选A.∵A为△ABC的内角且sin2A＝2sinAcosA＝－＜0，∴sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0.又(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝，∴sinA－cosA＝.4\n4．(2010·高考课标全国卷)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )A．－B.C．2D．－2解析：选A.∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.∴＝＝＝·＝＝＝－.5．tan70°·cos10°(tan20°－1)等于( )A．1B．2C．－1D．－2解析：选C.tan70°·cos10°(tan20°－1)＝·cos10°(·－1)＝·＝＝＝－1.二、填空题6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝.②由①②解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tanαtanβ＝＝.答案：4\n7．已知sin2(2x－)＝，则sin4x＝________.解析：sin2＝＝－sin4x＝，∴sin4x＝.答案：8．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为________．解析：由tan(α＋β)＝＝tan45°＝1可得tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1，所以(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2.答案：2三、解答题9．(2012·荆州质检)已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，且a∥b，其中θ∈.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－ω)＝，0＜ω＜，求cosω的值．解：(1)∵a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，且a∥b，∴＝，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.(2)∵0＜ω＜，0＜θ＜，∴－<θ－ω<.∵sin(θ－ω)＝，∴cos(θ－ω)＝＝.∴cosω＝cos[θ－(θ－ω)]＝cosθcos(θ－ω)＋sinθsin(θ－ω)＝.10．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.(1)求tan2α的值；(2)求β.解：(1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.∴tanα＝＝×＝4.于是tan2α＝＝＝－.4\n(2)由0<β<α<，得0<α－β<.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.11．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tanβ的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tanα＝－.∵tan(α＋β)＝＝＝＝＝＝＝＝.(2)tanβ＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝.4
