2013高考总复习江苏专用（理科）：第九篇解析几何初步《第54讲 圆的方程》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析 AB的中点坐标为(0,0)，AB＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案 x2＋y2＝22．(2011·广州检测(二))圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案 x2＋(y－2)2＝13．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为________．解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案 x2＋(y＋2)2＝54．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得，因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝15．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN的最小值是________．解析 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.答案 6．(2011·辽宁)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．6\n解析 线段AB的中垂线方程为2x－y－4＝0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为CB＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案 (x－2)2＋y2＝107．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.答案 二、解答题(每小题15分，共45分)8．经过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的标准方程．解 法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0，即圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝100.法二 由A(1,12)，B(7,10)，得A、B的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，则AB的中垂线方程为：3x－y－1＝0.同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0联立，得即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.∴所求圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝100.9．已知一等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，求另一底角顶点C(x，y)的轨迹．解 由AB＝AC，得：＝，整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)，故底角顶点C的轨迹是以点(3,35)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)．10．(★)(2010·连云港模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．6\n思路分析 (1)可看成原点(0,0)与点(x，y)连线的斜率；(2)y－x的最值可转化成直线y－x＝b在y轴上的截距的最值问题，利用数形结合解得．解 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.【点评】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(2)研究图形的形状、位置关系、性质等．B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．解析 设圆心为(a,0)(a＜0)．因为直线x＋2y＝0与圆相切，所以＝，即＝，解得a＝－5.所以圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.答案 (x＋5)2＋y2＝52．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是________．解析 因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案 (4,6)6\n3．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．解析 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1.∴Smin＝×(2)×＝3－.答案 3－4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．解析 设圆心坐标为M(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝95．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且AB＝6，则圆C的方程为________．解析 抛物线y2＝4x，焦点为F(1,0)．∴圆心C(0,1)，C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，且圆的半径r满足r2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.答案 x2＋(y－1)2＝106．(2011·盐城调研)已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．解析 l是线段PP′的垂直平分线，其方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，设圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝10关于直线l对称的圆C′的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则点(3,1)与(a，b)关于直线l对称，于是由解得所以圆C′：(x－2)2＋(y－2)2＝10.答案 (x－2)2＋(y－2)2＝10二、解答题(每小题15分，共30分)7．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．解 法一 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，∴r2＝2＋()2，即2r2＝(a－b)2＋14，①6\n由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.法二 设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为，半径为.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.又圆心到直线x－y＝0的距离为.由已知，得2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圆心在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.8．(2010·苏锡常镇一模)已知圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且CP的斜率为－1.(1)试求圆C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1交圆C于E，F两点，l2交圆C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．解 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则C点的坐标为，且PC的斜率为－1，所以＝－1.①6\n因为圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以联立①②③④，解得所以圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0即2＋2＝.(2)圆心C的坐标为，圆心到l1，l2的距离设为d1，d2，则d＋d＝OC2＝，又2＋d＝，2＋d＝，两式相加，得EF2＋GH2＝74≥2EF·GH.所以S＝EF·GH≤，即(S四边形EGFH)max＝.6
