2013高考总复习江苏专用（理科）：第九篇解析几何初步《第57讲 直线与圆、圆与圆的位置关系综合运用》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．直线y＝x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是________．解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为y＝x，由圆心到直线距离可知是相切关系．答案 相切2．曲线y＝与直线y＝x＋b有公共点，则实数b的取值范围是________．答案 [－3,1]3．已知实数x，y满足则点(x，y)到圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1上点的距离的最小值是________．答案 4－14．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝________.解析 由题可知∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos120°＝－.答案 －5．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．解析 法一 点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(－1)2＝14－2.法二 设圆的参数方程为则x2＋y2＝14＋4cosα＋6sinα，所以x2＋y2的最小值为14－＝14－2.答案 14－26．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围为________．7\n解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d＝＝5，可得4＜r＜6.答案 (4,6)7．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．解析 设过A点的⊙C的切线是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.由＝1，得k＝±.当x＝3时，y＝5k＝±.答案 ∪二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解 (1)原圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以m＜5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，所以16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，①由得5y2－16y＋m＋8＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，代入①得m＝.(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0.所以所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.7\n9．(2010·南京调研)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．(1)证明 ∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝OA·OB＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)解 ∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程是y＝.∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＜，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＞，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.10．如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．7\n解 (1)由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线．∵M的坐标为(，1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1，设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，即＝⇒r＝3，则OC＝3，故⊙N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，圆心N到该直线的距离d＝，则弦长为2＝.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·济宁模拟)过点(－2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为________．解析 l方程为x－y＋2＝0，圆心到l距离为d＝＝，所以MN＝2＝2.答案 22．圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心到直线3x＋4y＋14＝0的距离是________．解析 圆心为(－1,1)，它到直线3x＋4y＋14＝0的距离d＝＝3.答案 33．若过点A(0，－1)的直线l与曲线x2＋(y－3)2＝12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．解析 该直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则由题意，得d＝≤2，即k2≥，解得k≤－或k≥.答案 ∪7\n4．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．解析 由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．答案 25．如果圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝18上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________．解析 由题意，圆C上总存在两个点到原点的距离，即圆C与以O为圆心，半径为的圆总有两个交点，即两圆相交，所以有|3－|＜|CO|＜3＋，即2＜|a|＜4，解得－4＜a＜－2或2＜a＜4.答案 (－4，－2)∪(2,4)6．直线l：ax－by＋8＝0与圆C：x2＋y2＋ax－by＋4＝0(a，b为非零实数)的位置关系是________．解析 圆的标准方程为2＋2＝－4，且－4＞0，即a2＋b2＞16，圆心C到直线ax－by＋8＝0的距离d＝＝＜＝＝r(r是圆C的半径，则直线与圆相交)．答案 相交二、填空题(每小题15分，共30分)7．(2011·盐城调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O7\n到直线l的距离．解 (1)圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．则线段AM的中垂线的方程为y－6＝2(x－17)．令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)，又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，所以圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍)．由解得x＝0(舍)．综上知这样的点P不存在．(3)因为EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d.因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，所以EF＝15＋＋，即＋＝18，解得d2＝.所以点O到直线l的距离为.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1，AF2分别交于点P，Q.(1)当t＝3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上．(1)解 当t＝3时，PQ中点为(0,3)，所以b＝3，又椭圆焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，所以c＝4，a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明 因为Q在直线AF2：＋＝1上，所以Q.由P与Q关于y轴对称，得P，又由QR∥AF1，得R(4－t,0)．设△PRF1的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有解得7\n所以该圆的圆心C满足7×＋4＋8＝8－8＝0，即圆心C在直线7x＋4y＋8＝0上．7
