知识点29等腰三角形与等边三角形一、选择题1.（2022四川绵阳，11，3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：过A点作AF⊥CE于点F，设AB与CD的交点为M，过M点作MN⊥AC于点N，如图所示.∵△ECD为等腰直角三角形，∴∠E=45°.∵AE=，AD=，∴AF=EF=1,CE=CD==，∴CF=,∴AC==2，∠ACF=30°∴∠ACD=60°.设MN=x，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，11\n∴AN=MN=x，CN==x，∴AC=AN+CN=x+x=2，解得x=3-，∴S△ACM=×AC×MN=3-.故选D.【知识点】等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算2.（2022山东临沂，11，3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD＝3，BE＝1.则DE的长是()第11题图A．B．2C.D．11\n【答案】B【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC＋∠DCA=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE=3，CD=BE=1，∴DE=CE－CD=3－1=2，故选B.【知识点】等腰直角三角形全等三角形的判定和性质3.（2022山东省淄博市，11，4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（A）4（B）6（C）4（D）8【答案】B【思路分析】由已知MN∥BC和CM平分∠ACB可证MN=NC，∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，再由MN平分∠AMC可得∠ANM=∠ACB，从而得到∠ANM=2∠AMN，可得∠AMN=30°，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出MN，进而得到NC，求得AC，从而求出BC.【解题过程】∵MN∥BC，∴∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，∵CM平分∠ACB，∴∠MCB=∠MCN=∠ACB，∴∠NMC=∠NCM，∴MN=NC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠AMC，∴∠AMN=∠ACB=∠ANM，∵∠A=90°，∴∠AMN=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴NC=2，∴AC=3，∵∠B=∠AMN=30°，∴BC=2AC=6，故选B.【知识点】平行线的性质；等腰三角形判定；解直角三角形4.（2022浙江湖州，5，3）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°11\n【答案】B【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC．∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70°．∵CE是∠ABC的平分线，∴∠ACE＝35°．故选B.【知识点】等腰三角形，角平分线，中线1.（2022福建A卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于()A．15°B.30°C.45°D.60°【答案】A【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°.【知识点】等边三角形性质，三线合一2.（2022福建B卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于()A．15°B.30°C.45°D.60°【答案】A【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°.11\n【知识点】等边三角形性质，三线合一3.（2022四川雅安，10题，3分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC与点D，则线段AD的长为第10题图A.B.C.D.【答案】C【解析】在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠B=72°，∠A=36°，因为BC=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，所以AD=BD=BC=，故选C【知识点】等腰三角形4.（2022四川凉山州，4，4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于D，连结AD．若AD＝AC，∠B＝25°，则∠C=（）A.70°B.60°C.50°D.40°【答案】C11\n【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DAB=∠B＝25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角，∴∠CDA=∠DAB+∠B＝50°.∵AD＝AC，∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.【知识点】尺规作图——线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质.5.（2022广西玉林，9题，3分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直第9题图【答案】A【解析】由已知得△AOB为等边三角形．所以∠O=∠OAB=60°．易证△AOC≌△ABD，得∠ABD=60°．所以∠OAB=∠ABD，所以BD∥OA．故选A.【知识点】等边三角形的判定；全等三角形的判定；平行线的判定二、填空题1.（2022四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．【答案】80°【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为50°，且两个底角相等，∴顶角为180°－2×50°＝80°．【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和1.（2022贵州遵义，14题，4分）如图，△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点，若∠CAE=16°，则∠B为_______度第14题图【答案】3711\n【解析】因为AD=AC，E为CD的中点，所以∠DAC=2∠CAE=32°，所以∠ADC=(180°-∠DAC)=74°，因为BD=AD，所以∠B=∠ADC=37°【知识点】等腰三角形三线合一，外角2.（2022湖南省湘潭市，12，3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD________.【答案】30°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵D是BC中点，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°.【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质3.（2022江苏淮安，13，3）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于.【答案】65°【解析】分析：本题考查等腰三角形性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果.解：由题意得，等腰三角形的底角＝（180°-顶角）÷2＝（180°-50°）÷2＝65°.故答案为65°【知识点】等腰三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理4.（2022湖南张家界，12，3分）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．11\n【答案】15【解析】解：∵绕点A逆时针旋转，得到，∴∠BAD=150°，≌.∴AB=AD.∴△BAD是等腰三角形.∴∠B=∠ADB==15°.【知识点】旋转的性质，等腰三角形的性质.三、解答题1.（2022浙江绍兴，22，12分）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形中，，求的度数.（答案：）例2等腰三角形中，，求的度数.（答案：或或）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形中，，求的度数.（1）请你解答以上的变式题.（2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围.【思路分析】（1）可分当为顶角、当为底角两种情况讨论，当为顶角时，只能为底角；当为底角时，既可以为顶角，也可以为底角所以的度数有三种情况。（2）分两种情况：当时，只能为顶角，的度数只有一个；当时，既可以是顶角，也可以是底角，当是底角时，既可以为底角，也可以为顶角，也就是有三个不同的度数，但是当=60°时，只能等于60°，所以当有三个不同的度数时，的取值范围是且。【解题过程】22.解：（1）当为顶角，则，11\n当为底角，若为顶角，则，若为底角，则，∴或或.（2）分两种情况：①当时，只能为顶角，∴的度数只有一个.②当时，若为顶角，则，若为底角，则或，当且且，即时，有三个不同的度数.综上①②，当且，有三个不同的度数.【知识点】等腰三角形的性质2.（2022宁波市，23题，10分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A，B不重合,连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F连接BE.（1）求证:△ACD≌△BCE;（2）当AD=BF时,求∠BEF的度数.11\n【思路分析】【解题过程】解：（1）∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE=90°,CD=CE，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中∵CD=CE∠ACD=∠BCEAC=BC∴△ACD≌△BCE(SAS)（2）∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°又:AD=BF∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质1.（2022武汉市，18，8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.11\n【思路分析】如图，由已知条件证得△ABF≌△DCE，得∠1＝∠2，再根据等腰三角形的判定定理得GE＝GF.【解题过程】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SASA），∴∠1＝∠2，∴GE＝GF.第18题答图【知识点】全等三角形的判定全等三角形的性质等腰三角形的判定11
