知识点32矩形、菱形与正方形一、选择题1.（2022四川内江，11，3）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【答案】D【思路分析】因为∠DFE＝∠ADB＋∠EBD，要求∠DFE的值，则需分别求∠ADB、∠EBD，而由矩形对边平行，及轴对称的性质可知∠EBD＝∠CBD＝∠ADB，利用∠ADB与∠BDC互余，即可出∠DFE的度数．【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°．故选择D．【知识点】矩形性质，等腰三角形性质，平行线性质2.（2022山东滨州，7，3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【解析】等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以A选项是假命题；对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以B选项是假命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以C选项是假命题；只有选项D是真命题．93\n【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定3.（2022浙江衢州，第8题，3分）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）第8题图A．112°B．110°C．108°D．106°【答案】D【解析】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质等知识点.根据折叠前后角相等可知∠DGH=∠EGH，∵∠AGE=32°,∴∠EGH=74°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE，∴∠GHC=106°，故选：D．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质；4.（2022甘肃白银，8，3）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置。若四边形AECF的面积为25，DE=2,则AE的长为（)A.5B.C.7D.【答案】D.【思路分析】由旋转性知四边形AECF的面积与正方形的面积相等，从而得到正方形的面积等于25，边长为5，于是在直角三角形ADE中由勾股定理可求出AE的长。【解题过程】∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF93\n∴△ADE≌△ABF∴=25∴正方形的边长AD=CD=5∴在RT△ADE中，AE==.故选D【知识点】正方形的性质及面积公式，旋转的性质即旋转前后图形的形状大小相等面积相等。5.（2022年山东省枣庄市，10，3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段的端点都在小矩形的顶点上，如果点是某个小矩形的顶点，连接，那么使为等腰三角形的点的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【思路分析】首先由正方形的对边相等找到小矩形的长与宽的数量关系，其次利用网格作图中作垂线的方法找出符合题意的点，并注意分类思想的渗透．【解题过程】如下图，设每个小矩形的长与宽分别为x、y，则有2x＝x＋2y，从而x＝2y．因为线段AB是1×2的矩形对角线，所以根据网格作垂线可知，过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2，过点A与AB垂直且相等的线段有BP3，且P1、P2，P3都在顶点上，因此满足题意的点P共有3个，故选择B．【知识点】网格作图；等腰直角三角形93\n6.（2022山东威海，12，3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC中点，以CD为直径作圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是()A．18＋36πB．24＋18πC．18＋18πD．12＋18π【答案】C【思路分析】要求阴影部分面积需将其进行转换，可以通过取CD的中点，将△ADM的面积转化到△ADF中，求出其面积，同理，可以求出三角形CEF的面积，利用阴影部分面积的转化，求出结果．【解题过程】如图，取CD的中点M，连接AM、EM、DF、CF，MF；S半圆CFD＝πr2＝π×62＝18π，S△CDF＝×12×6＝36，∵点F是半圆的中点、M是CD的中点，故MF垂直CD，所以AD∥MF，又∵△ADF、△ADM的底相同，高相等，∴S△ADF＝S△ADM＝×12×6＝36．同理，S△CEF＝×6×6＝18，∴S阴影部分＝S△ADF＋S△CEF＋S半圆CFD－S△CDF＝18π＋18．93\n【知识点】阴影部分面积，三角形面积、圆的面积、转化思想7.（2022山东烟台，9，3分）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M=1，则CN的长为（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】（法一，排除法）连接AC，BD，∵菱形ABCD，AC=6，BD=8，∴CO=3，DO=4，CO⊥DO，∴CD=5，而CN<CD，∴CN<5，故排除A，B，C，故选D．（法二，正确推导）可证△BMO≌△DNO，∴DN=BM，∵折叠，∴B′M=BM=1=DN，由法一知，CD=5，∴CN=4．【知识点】菱形的性质；折叠的性质；勾股定理，全等三角形的性质与判定.8.（2022四川省宜宾市，8，3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）93\nA.B.C.34D.10【答案】D【思路分析】取GF的中点为O，连接PO，则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2+PG2的值最小，则必须OP的值最小，所以PO垂直于GF时PO的值最小，即此时才有最小值.【解题过程】取GF的中点为O，连接PO，则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2+PG2的值最小，则必须OP的值最小，所以PO垂直于GF时PO的值最小，此时PO=1，所以PF2+PG2的最小值为10.【知识点】阅读理解题；矩形的性质9.（2022天津市，11，3）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．ABB．DEC.BDD．AF【答案】D【解析】分析：本题考查正方形的性质，轴对称的性质，取CD中点E′连结AE′、PE′，根据正方形是轴对称图形，可得EP=E′P,AF=AE′，结合图形由线段公理可得AE′为AP+EP最小值，进而可得结果.93\n解：取CD中点E′连结AE′、PE′,由正方形的轴对称性质，可知EP=E′P,AF=AE′∴AP+EP=AP+E′P,∴AP+EP最小值是AE′,即AP+EP最小值是AF.故选D【知识点】正方形的性质；轴对称；线段公理10.（2022浙江杭州，8，3分）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设若,则（）A.B.C.D.【答案】A【思路分析】把矩形的内角为90°，转化为两个角的和，根据三角形的内角和，可得几个角的和，然后运用等式的性质进行加减【解题过程】，，，A。；C、D无法拼出；B.【知识点】三角形的内角和为180°，矩形的内角都为90°93\n11.（2022浙江温州，10，4）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A.20B.24C.D.,【答案】B【思路分析】设矩形的两条边长为x,y利用对角线是a+b=7,所以x2+y2=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得xy的值即为矩形的面积【解题过程】设矩形的两条边长为x,y利用对角线是a+b=7,所以x2+y2=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得（x-y）2=1，x2-2xy+y2=1,49-2xy=1,-2xy=-48,所以xy=24即为矩形的面积为24所以答案为24【知识点】矩形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形，矩形的面积公式1.（2022四川遂宁，4，4分）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°【答案】B.【解析】解：A选项，三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等，故错误；93\nB选项，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；C选项，矩形的对角互相平分，且相等，不垂直，故错误；D选项，六边形的内角和为720°，故错误.故选B.【知识点】全等三角形的判定，矩形的对角线性质，轴对称图形，中心对称图形，多边形内角和公式2.（2022甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（）A.4B.5C.342D.34【答案】B.【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点.∵OE∥AB，∴OE∥CD，∴OE是△ACD的中位线，∴CD=2OE=6，∴AB=6.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，∴AC=10.∵OB是Rt△ABC斜边的中线，∴OB=12AC=5.93\n【知识点】矩形的性质，中位线的性质3.（2022湖南省湘潭市，5，3分）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】B【解析】连接AC和BD，，∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形.【知识点】中点四边形；菱形的性质；矩形的判定；平行四边形的判定4.（2022江苏淮安，6，3）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是A.20B.24C.40D.4893\n（第6题）【答案】A【解析】分析：由菱形性质可知其对角线互相垂直且平分，再由勾股定理可得结果.解：设菱形的对角线于O，则BO=4,CO=3在Rt△BOC中，由勾股定理可得所以菱形的周长为：5×4＝20故选：A．【知识点】菱形的性质;勾股定理5.（2022山东省日照市，8，3分）如图，在四边形BCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO.【答案】B【解析】∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形.当AB=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；当AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能定四边形ABCD是菱形；当AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；93\n∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADB=DBC.∵∠ABO=∠CBO，∴∠ABO=∠ADO.∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.故选B.【知识点】平行四边形的判定菱形的判定6.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，7，5）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm【答案】D．【解析】由折叠可知，AB1＝AB＝6cm，且四边形ABEB1是正方形，从而BE＝AB＝6cm，故CE＝BC－BE＝8－6＝2（cm），因此选D．【知识点】矩形的性质；折叠；正方形的判定与性质7.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，9，5）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是（）A．B．1C．D．293\n【答案】B．【解析】如下图，取AD的中点，连接N交AC于点P，则由菱形的轴对称性可知M、关于直线AC对称，从而P＝PM，此时MP＋PN的值最小，而易知四边形CDN是平行四边形，故N＝CD＝1，于是，MP＋PN的最小值是1，因此选B．【知识点】菱形的性质；轴对称；最小值；动态问题；最值问题8.（2022四川攀枝花，10，3）如图4，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点。给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【思路分析】由对折可得全等三角形，进而得到线段相等和角相等等结论，再结合已知条件可证①②正确，③④错误。【解析】由四边形ABCD是矩形，得△EBC是直角三角形，由对折可知△EBC≌△EPC,且CE⊥BP，所以，EB=EP，∠1=∠2，又点E是AB的中点，所以AE=EB=EP,∠3=∠4，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠2+∠3=90°，所以AF⊥BP，所以AF∥EC，由四边形ABCD是矩形，得AE∥FC,所以，四边形AECF是平行四边形，从而①正确；∵∠EPC=90°，∴∠3+∠6=90°，又∠5=∠6，∴∠3+∠5=90°，又∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5=∠1，即∠PBA=∠APQ，从而②正确；只有当∠6=∠7时，△FPC才会成为等腰三角形，但题目并没有给出足够的条件保证∠6=∠7，所以③错误；△APB≌△EPC需要特定的条件，即∠1=30°，条件也没有给出，所以④错误。93\n【知识点】矩形的性质，轴对称性质，全等三角形，等腰三角形。9.（2022四川自贡，12，4分）如图，在边长为正方形中，把边绕点逆时针旋转60°，得到线段,连接并延长交于,连接,则⊿的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，过点N作交CM于点E，93\n根据旋转的性质，，∴是等边三角形，且,∴∴是等腰直角三角形设，则，∴，解得，即∴【知识点】旋转的性质，三角形的面积，解直角三角形，等腰三角形，等边三角形10.（2022河南，10，3分）如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s速度匀速运动到点B．图2是点F运动时,△FBC的面积y（cm²）随时间x（s）变化的关系图象,则a的值为（A）（B）2（C）（D）【答案】C【思路分析】从题干和图1可知，当点F在边AD上运动时，△FBC的面积保持不变；当点F沿D→B运动时，△FBC的面积逐渐减小，F到达点B时，△FBC面积为0.从图2可以看出，当0<x≤a时，总有y=a；当a<x<a+时，y随x的增大而减小，且为一次函数关系.因此可以得出，菱形边长为a，菱形对角线DB=，点F在边AD上运动时，△FBC的面积为a.根据题意，作出△FBC的高，利用三角形面积和勾股定理即可求出a值.【解题过程】解：如图，在边AD上任取一点F，作FH⊥BC于点H，作DG⊥BC于点G.则DG=FH.由题意知BC=CD=AD=a,S△FBC=S△DBC=a,DB=93\n∵S△DBC=·BC·DG=·a·DG=a∴DG=2在RtΔDBG中，∠DGB=90°,DB=,DG=2∴BG=在RtΔDCG中，∠DGC=90°,DG=2,DC=a,CG=a-1由勾股定理得，a2=(a-1)2+22,解得a=.故答案为C.【知识点】菱形的性质，三角形面积，勾股定理11.（2022湖南张家界，7，3分）下列说法中,正确的是()两条直线被第三条直线所截,内错角相等对角线相等的平行四边形是正方形相等的角是对顶角角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】D【解析】选项A，两条平行线被第三条直线所截,内错角相等，故选项A错误；选项B，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形式正方形，故选项B错误；选项C，对顶角相等，故选项C错误；选项D，角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项D正确.故选择D.【知识点】内错角，正方形，对顶角，角平分线12.（2022浙江省台州市，6，3分）下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形93\nD．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C【解析】A：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以A选项错误；B：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以B选项错误；C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确D：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误；故选C【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定13.（2022江苏省宿迁市，7，3）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．B．2C．2D．4E【答案】A【解析】，过点E作AC的垂线，垂足为F．∵菱形ABCD的周长为16，∴AD＝CD＝4．∴OE＝CE＝2．∵∠BAD＝60°，∴∠COE＝∠OCE＝30°．∴EF＝1，CF＝．∴OC＝2．∴△OCE的面积是×2×1＝．故选A．【知识点】菱形的性质F14.（2022陕西，8，3分）如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（）A．AB=EFB．AB=2EFC．AB=EFD．AB=EF93\n【答案】D【思路分析】连接AC、BD交于点O．利用中位线性质和菱形的性质证明EF=AO，EH＝BO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB与AO的关系，即得出AB与EF的关系．【解题过程】连接AC、BD交于点O．∵E，F分别为AB、BC的中点，∴EF=AC．∵四边形ABCD为菱形，∴AO=AC，AC⊥BD．∴EF=AO．同理：EH=BO．∵EH=2EF．∴BO=2AO．在Rt△ABO中，设AO=x，则BO=2x．∴AB=AO．∴AB=EF，故选择D．【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理93\n二、填空题1.（2022山东滨州，19，5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为___________．第19题图【答案】【解析】取AD、BC中点M、N，由AD＝4，AB＝2，易得ABNM是正方形，连接MN，EH（此处忽略EF，以免影响），由∠HAE＝45°，四边形ABNM是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”，故有EH＝MH＋BE。由AB＝2，AE＝，易知BE＝1，所以EN＝BN－BE＝2－1＝1，设MH＝x，由M是AD中点，△AMH∽△ADF可知，DF＝2MH＝2x，HN＝2－x，EH＝MH＋BE＝x＋1，在Rt△EHN中有，故，解得x＝，故DF＝，故AF＝第19题答图【知识点】矩形的性质勾股定理补充公众号中的23种解法：https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUyMzQ1NTI5Nw==&mid=2247484222&idx=1&sn=a6459ba33f52c63af01bfceb8cb9fa8e&chksm=fa3d1d10cd4a9406ac73dbb349ed7b07a31a17dd69979f99fed90703c9c20fbe56ae3bc7bc82&mpshare=1&scene=23&srcid=06143Avo97y8L0Muoknkbri6#rd93\n93\n93\n93\n93\n93\n93\n93\n2.（2022浙江金华丽水，15，4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是．【答案】．【解析】设如图1中正方形的边长为2x，则===．故答案为．【知识点】正方形的性质；矩形的性质；平行四边形的性质；勾股定理3.（2022山东潍坊，16，3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则点M的坐标为.93\n【答案】（－1，）【思路分析】连接AM，证明Rt△AB′M≌Rt△ADM，求出∠ADM=30°，解直角三角形求得DM的长，注意M在第二象限，即可求出点M的坐标.【解题过程】连接AM，在Rt△AB′M和Rt△ADM中，AB′=AD，AM=AM,∴Rt△AB′M≌Rt△ADM∴∠DAM=∠B′AM=在Rt△ADM中，tan30°=∴DM=ADtan30°=1×=.∴M（－1，）.【知识点】图形与坐标，正方形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形4.（2022·重庆B卷，16，4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．93\n【答案】2．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝DA＝DB．令∠B＝x°，则∠DCB＝∠B＝x°，由翻折知，DE＝DB，∠ECD＝∠DCB＝x°＝∠CED．∵DE∥AC，∴∠ACE＝∠CED＝x°．∴由∠ACB＝90°，得3x＝90，x＝30，从而∠B＝30°，于是AC＝AB．在Rt△ABC中，tanB＝，得AC＝BCtanB＝6tan30°＝2．∴AC∥DE，AC＝DE，从而四边形ACDE是平行四边形．又∵CD＝DE，∴四边形ACDE是菱形．∴AE＝AC＝2．【知识点】翻折直角三角形菱形三角函数5.(2022山东青岛中考，12，3分)已知正方形的边长为5，点分别在上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点为的中点，连接，则的长为．93\n【答案】【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=5，∠BAD=∠D=∠C=90°．又∵AE=DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠DAF=∠ABE，∴∠ABE+∠BAG=90°，∠BGF=∠BGA=90°．在Rt△BCF中，CF=3，∴BF==．在Rt△BGF中，点为的中点，∴GH=BF=．【知识点】正方形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；直角三角形的性质；6.（2022四川省德阳市，题号16，分值：3）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC，BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3.其中正确的结论是____（填写正确结论的番号）.【答案】①③④.【解析】①由题意得，AE=DE，AD=BD=CD.∵△ACD是正三角形，∴∠CDA=60°，CE⊥AD，93\n∴∠B=∠DCB=30°.在Rt△BCE中，∠B=30°，CB=2CE.②∵∠B=30°，∴tan∠B=33.③在正△ACD中，CE是△ACD的中线，∴∠ECD=12∠ACD=30°，∴∠ECD=∠DCB.④如图，PM=d1，PN=d2.在Rt△MPN中，d12+d22=MN2，∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°，∴四边形MPNC为矩形，∴MN=CP.要使d12+d22最小，只需MN最小，即PC最小，当CP⊥AB时，即P与E重合时，d12+d22最小，在Rt△ACE中，cos∠ACE=CEAC，∵AC=2，∠ACE=30°，∴CE=AC·cos30°=3，则CE2=3，∴d12+d22的最小值为3.所以正确的有①③④.【知识点】等边三角形的性质，特殊角的三角函数，矩形的判定7.（2022四川省宜宾市，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；93\n②当E为线段AB中点时，AF=；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF.【答案】①②③【思路分析】①中可以结合折叠的性质以及三角形外角的性质得到；②中可以根据AA证明三角形相似，得到对应边成比例，从而求出AF的长；③中可以设BE=x，根据直角收纳侥幸AEF中三边满足勾股定理求出；④中可以根据③中线段的长度大小判断三角形是否全等.【解题过程】由折叠的性质可知CF=CB，∠CFE=90°，∠CEB=∠CEF,∵E为BC中点，∴BE=EF=AE=，∴∠FAE=∠AFE，∵∠FEB=∠FAE+∠AFE，∴∠CEB=∠CEF=∠FAE=∠AFE,∴AF∥CE，故①正确；∵BE=,BC=2，∴CE=,过点E作EM⊥AF垂足为M，∵∠AFE=∠FEC,EM⊥AF，∠CFE=90°，∴△MFE∽△FEC，∴，即,∴MF=,∴AF=；故②正确；∵A、F、C三点共线，∴∠AFE=90°，AC=，设BE=x,则EF=x,AE=3-x,AF=，在RT△AFE中，，解得x=,∴AE=3-x=，故③正确；∵AF=，CF=2，∴AF≠CF，∴④错误.【知识点】三角形相似；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；折叠的性质1.（2022甘肃天水，T16，F4）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相较于点O.若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____.93\n【答案】245.【思路分析】首先根据菱形的性质可知△ABO是直角三角形及两直角边的长，再根据勾股定理求出AB，然后根据△ABC的面积相等得出答案即可.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AO=12AC=3，BO=12BD=4.在Rt△ABO中，AB=5，∴BC=5.S△ABC=12AC·BO=12BC·AE，即AE=245.【知识点】菱形的性质，勾股定理2.（2022广东广州，14，3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（－2，0）点D在y轴上，则点C的坐标是_______．【答案】（－5，4）【解析】由A（3，0），B（－2，0），得AO＝3，AB＝5；在菱形ABCD中，CD＝AD＝AB＝5；在Rt△AOD中，由勾股定理得，OD＝＝4，所以C(－5，4)．【知识点】菱形的性质；勾股定理；点的坐标93\n3.（2022江西，10，3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为________．第10题图【答案】3.【解析】∵AD＝EF＝DE＝3，∠D＝90°，∴AE2＝AD2＋DE2＝18，∴AE＝AB＝＝3.【知识点】矩形，旋转，勾股定理4.（2022广东省深圳市，15，3分）如图，四边形ABCD是正方体，∠CEA和∠ABF都是直角且点三点共线，，则阴影部分的面积是．【答案】8．【思路分析】【解析】解：∵四边形ABCD是正方体，∴AC＝AF，∠CAF＝90°，∠CEA是直角，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∠CAE＋93\n∠EAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAF，则在△ACE和△FAB中，∵，∴△ACE≌△FAB（AAS），∴AE＝CE＝4，∴阴影部分的面积S△ABC＝AB·CE＝×4×4＝8．【知识点】正方形的性质；三角形全等的性质和判定；三角形的面积公式；阴影部分面积5.（2022武汉市，14，3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是___________【答案】30°或150°【解析】如答图（1），∵△ADE是等边三角形，∴DE＝DA，∠DEA＝∠1＝60°；∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠2＝90°；∴∠CDE＝150°，DE＝DC，∴∠3＝＝15°.同理可求得∠4＝15°.∴∠BEC＝30°.如答图（2），∵△ADE是等边三角形，∴DE＝DA，∠1＝∠2＝60°；∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠CDA＝90°；∴DE＝DC，∠3＝30°，∴∠4＝＝75°.同理可求得∠5＝75°.∴∠BEC＝360°―∠2―∠4―∠5＝150°.故答案为30°或150°.第14题答图（1）第14题答图（2）【知识点】正方形的性质等边三角形的性质15．6.（2022四川攀枝花，15，4）如图5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为.93\n【答案】【解析】设△PAB中AB边上的高是h，∵，∴，∴，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线L上，如图，作点A关于直线L的对称点A'，链接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离。在∴，即【知识点】7.（2022四川自贡，18，4分）如图，在⊿中，,将它沿翻折得到⊿,则四边形的形状是形，点分别为线段的任意点，则的最小值是.93\n【答案】菱形【解析】∵，∴是等腰三角形将沿翻折得到，∴，∴四边形是菱形沿翻折得到，∴与关于成轴对称如图所示，作点关于的对称点，根据轴对称的基本性质，垂直平分，∴，∴，∴要求的最小值，即在线段、、上分别找点、、，使值最小，根据“两点之间，线段最短”即最小，最小值即为平行线与间的距离.由题知，，∴,即，,在中，∴的最小值为.93\n【知识点】菱形的判定，轴对称的基本性质，平行线间距离，解直角三角形8.（2022浙江省台州市，16，5分）如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为．【答案】【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG是直角三角形，二是可以得到ΔBCG的面积，进而求出；利用勾股定理可以求出，这样就可以求出，因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】∵在正方形ABCD中，AB=3，∴，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，93\n∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°∵CE=DF,∴ΔBCE≌CDF(SAS)∴∠CBE=∠DCF,∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°，ΔBCG是直角三角形易知，∴，∴，根据勾股定理：，即∴，∴，∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC=【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1.（2022四川内江，18，9）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是AB、BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．93\n【思路分析】（1）根据平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，再结合AE＝CF，∠AED＝∠CFD即可得出结论；（2）由（1）△AED≌△CFD得AD＝DC，再结合四边形ABCD是平行四边形，可得四边形ABCD是菱形．【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AED≌△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）得△AED≌△CFD，∴AD＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定2.（2022浙江金华丽水，24，12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F、G．（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE中点，求FG的长．②若DG=GF，求BC的长．（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．第24题图【思路分析】本题综合考查了三角形、四边形的判定与性质．（1）①由勾股定理可得AG，由相似三角形的性质得＝＝，进而得FG的方程方程值；②根据题意先证得∠1＝∠2（设为x），∠1＝∠2＝∠B＝∠3＝x．根据三角形内角和定理列方程，解得x＝30°．在Rt△ABC中，由BC＝可得解．（2）存在．分情况讨论：①点D在线段BC上；②点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AEF上方；③点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方；④点D在线段CB的延长线上．93\n【解题过程】解：（1）①在正方形ACDE中有DG＝GE＝6．在Rt△AEG中，AG＝＝＝6．∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF．∴＝，∴＝＝．∴FG＝AG＝2．②如图1,在正方形ACDE中,AE＝ED，∠AEF＝∠DEF=45°，又EF＝EF，∴△AEF≌△DEF．∴∠1＝∠2（设为x）．∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x．∵GF＝GD∴∠3＝∠2＝x．在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B=180°，∴x＋（x＋90°）＋x＝180°,解得x＝30°，∴∠B=30°．∴在Rt△ABC中，BC＝＝12．（2）在Rt△ABC中，AB＝＝＝15．如图2,当点D在线段BC上时,此时只有GF＝GD．93\n∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA．设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x，∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴＝，∴＝，即x2－6x＋5＝0．解得x1＝1，x2＝5（舍去），∴腰长GD＝4x＝4．如图3，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AEF上方时，此时只有GF＝DG．设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，∴FG＝DG＝12＋4x，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，93\n∴＝，∴＝，即x2＝4．解得x1＝2，x2＝－2（舍去），∴腰长GD＝4x＋12＝20．如图4，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方时，此时只有DF＝DG，过点D作DH⊥FG．设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12．∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝（4x＋12）×＝，∴GF＝2GH＝．∴AF＝GF－AG＝－5x＝．∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝，即7x2＝288．解得x1＝，x2＝－（舍去），∴腰长GD＝4x＋12＝．93\n如图5，当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DF＝DG，过点D作DH⊥AG．设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12．∴FH＝GH＝DG·cos∠DGB＝（4x－12）×＝，∴FG＝2FH＝．∴AF＝AG－FG＝5x－＝．∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，∴＝，∴＝，即7x2＝288．解得x1＝，x2＝－（舍去），∴腰长GD＝4x－12＝．综上所述，等腰△DFG的腰长为4，20，，．【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；一元二次方程；分类讨论的思想；从特殊到一般的思想93\n3.（2022甘肃白银，26，10分）已知矩形ABCD中，E是AD边上一个动点，点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证：△BGF≌△FHC(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积。【思路分析】（1）由三角形的中位线知识可得BG=FH,FG=CH,又有BF=CF,利用边边边可证△BGF≌△FHC。当然也可用角角边等去证明都可以。（2）要求矩形ABCD的面积，需要知道AB或CD的长，利用四边形EGFH是正方形，可证得△BEC是等腰直角三角形，于是可求出FE的长即是BC边上的高，而此时FE为等腰直角三角形AEC斜边BC边上的高，所以EF=.【解题过程】解：（1）∵点F是BC边上的中点，∴BF=FC.∵点F,G,H分别BC,BE,CE的中点，∴GF，FH是△BEC的中位线∴GF=HC,FH=BG在△BGF和△FHC中，∴△BGF≌△FHC(SSS).（2）当四边形四边形EGFH是正方形时，∴∠BEC=90°，FG=GE=EH=FH∵FG,FH是△BEC的中位线∴BE=CE∴△BEC是等腰直角三角形连接EF，93\n∴EF⊥BC,EF===∴==。所以矩形ABCD的面积为。【知识点】三角形的中位线，知形的性质，矩形的面积，正方形的性质，等腰三角形的知识，三线合一。4.（2022江苏连云港，第22题，10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.【思路分析】(1)先根据全等三角形的判定，证明△FAE≌△CDE，从而得到CD=FA，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)先利用等腰直角三角形的判定方法，证明△CDE是等腰直角三角形，再根据AD=2DE=2DC即可得证.【解题过程】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，所以△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD//AF，∴四边形ACDF是平行四边形.5分(2)BC=2CD.∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD.10分93\n【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形的判定；全等三角形的性质和判定；角平分线的性质5.（2022山东聊城，20，8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.（1）求证：AE=BF；（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.【思路分析】（1）利用正方形的性质证明△ABE≌△BCF，进而得到对应边AE=BF；（2）借助△ABE≌△BCF，求出DF的值，然后在Rt△ADF中使用勾股定理求得的AF的值.【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，∵作BH⊥AE，垂足为点H，∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF.（2）∵△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∵正方形的边长为5，∴AD=CD=5，93\n∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中，.【知识点】正方形的性质、垂直的定义、互余的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理6.（2022山东潍坊，20，8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值.【思路分析】（1）利用“AAS”证明△ADE≌△ABF即可；（2）设EF=x，S四边形ABED=S△BEF+S△ABF+S△ADE，分别表示出底和高，利用面积求出x的值，即可求出∠EBF的正弦值.【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.∴∠BAE＋∠EAD=90°.∵BF⊥AM，DE⊥AM，∴∠DEA=∠AFB=90°，∴∠EAD＋∠EDA=90°.∴∠BAE=∠EDA.∴△ABE≌ADE.∴AE=BF.（2）设EF=x，则AE=x＋293\n∴BF=AE=x＋2，∵△ABE≌ADE,∴S四边形ABED=S△BEF+S△ABF+S△ADE=S△BEF+2S△ABF=24即.解得：x1=4，x2=－10（舍去）∴EF=4，BF=6∴BE=.∴.【知识点】正方形，全等三角形的判定和性质，锐角三角比7.（2022四川广安，题号19，分值：6）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB=EF.第19题图【思路分析】结合正方形的性质可知∠EAM=∠AMB，∠AFE=∠B，再根据“AAS”证明△AEF≌△MAB，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案.【解题过程】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，………………………………………………………………………1分∴∠EAM=∠AMB………………………………………………………………………………2分∵EF⊥AM，93\n∴∠AFE=90°=∠B…………………………………………………………………………3分∵AE=AM，∴△AEF≌△MAB，…………………………………………………………………………5分∴AB=EF………………………………………………………………………………………6分【知识点】正方形的性质，全等三角形的性质和判定8.（2022浙江绍兴，23，12分）小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点，分别在菱形的边，上，，求证：.（第23题图）（1）小敏进行探索，若将点，的位置特殊化：把绕点旋转得到，使，点，分别在边，上，如图2，此时她证明了.请你证明.（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为，.请你继续完成原题的证明.（3）如果在原题中添加条件：，，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.【思路分析】（1）可先求出∠AFC=∠AFD=90°，然后证明即可；（2）先求出∠EAP=∠FAQ，再证明即可；93\n（3）可以分三个不同的层次，①直接求菱形本身其它角或边的度数，也可求菱形的周长。②可求、、的值。③可求四边形的面积、与的面积和、四边形周长的最小值等。【解题过程】23.解：（1）如图1，在菱形中，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴.第23题（1）答图（2）如图2，由（1），∵，∴，93\n∵，，∴，∵，∴，∴.第23题（2）答图（3）不唯一，举例如下：层次1：①求的度数.答案：.②分别求，的度数.答案：.③求菱形的周长.答案：16.④分别求，，的长.答案：4，4，4.层次2：①求的值.答案：4.②求的值.答案：4.③求的值.答案：.层次3：①求四边形的面积.答案：.93\n②求与的面积和.答案：.③求四边形周长的最小值.答案：.④求中点运动的路径长.答案：.【知识点】菱形的性质、三角形全等的判定和性质、垂直的定义和性质、9.（2022湖南衡阳，26，12分）如图，在中，，，动点P从点C出发以的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为t（s）.（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式.【思路分析】（1）由题意知，CP=t，AQ=t，进而得出BQ=4-t，BP=，点B在线段PQ的垂直平分线上，则有BQ=BP，即4-t=，解方程即可求出t值；（2）应分两种情况讨论：①若AQ=PQ，∠AQP=90°；②若AQ=PQ，∠APQ=90°，分别用t表示出AP的长，利用AP+PC=4，建立方程，求解即可；93\n（3）连接QM，过Q作QG⊥AC于G，则△AQG为等腰直角三角形，且QG=AG=t，结合题意可证得四边形QMPG为矩形，从而得出Q、M、N三点共线，所以四边形QNCP为梯形，然后由QN=BN=4-t，CP=CN=t，利用梯形的面积公式求出四边形QNCP的面积即可.【解题过程】解：（1)由题意可知：CP=t，AQ=t.∵∠C=90°，AC=BC=4，∴AB===4.∴BQ=4-t.如果点B在线段PQ的垂直平分线上，则BQ=BP，∴4-t=，解得，t1=8-4，t2=8+4>4，舍去.所以当t=(8-4）s时，B在线段PQ的垂直平分线上.（2），假设存在某一时刻t，使得△APQ是等腰直角三角形，如答图1，若AQ=PQ，∠AQP=90°，则AP=AQ=2t，∴2t+t=4，即t=.93\n如答图2，若AQ=PQ，∠APQ=90°，则AP=PQ=t，∴AP+PC=2t=4，即t=2.∴存在t=或t=2时，是以为腰的等腰三角形.（3）如答图3，连接QM，过Q作QG⊥AC于G，则△AQG为等腰直角三角形，∴QG=AG=t.∵四边形PMNC是正方形，∴PM=CN=PC=t.∵QG∥CN，QG=t，∴四边形QMPG为矩形.∴∠QMP=90°.∴Q、M、N三点共线.∴四边形QNCP为梯形.∵QN=BN=4-t，CP=CN=t，∴四边形QNCP的面积==(4-t+t)t=2t.93\n【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、面积计算.10.（2022江苏省盐城市，21，8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【思路分析】（1）根据SAS可证△ABE≌△ADF；（2）四边形AECF是菱形．利用正方形的性质，证△ABE≌△ADF，进而可得AE＝CF＝EC＝AF，∴四边形AECF是菱形．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∠CDB＝45°，AB＝CD．∴∠ABE＝∠CDF＝135°．∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)；（2）∴四边形AECF是菱形．理由：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝CF．93\n同理AF＝CE，AE＝EC．∴四边形AECF是菱形．【知识点】11.（2022山东临沂，13，3分）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法其中正确的个数是()第13题图①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形②若AC⊥BD，四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分④若四边形EFGH是正方形，AC与BD互相垂直且相等A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.由AC=BD可得EH=EF，∴四边形EFGH为菱形，①错误；由AC⊥BD，可得EH⊥EF，∴四边形EFGH为矩形，②错误；由四边形EFGH是平行四边形，无法得到AC与BD互相平分，③错误；由四边形EFGH是正方形，可得到AC与BD互相垂直且相等，④正确.故选A.【知识点】矩形菱形平行四边形正方形中点四边形12.（2022山东临沂，25，11分）将矩形ABCD绕点A时针旋转a(0°＜a＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图．当点E在BD上时．求证：FD＝CD；(2)当a为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由.93\n(第25题图)备用图【思路分析】(1)连接AF，结合旋转和矩形的性质证BD∥AF，且BD=AF，得到四边形BDFA是平行四边形，得到DF=AB，进而得到证明的结论；(2)当GC＝GB时，则点G位于BC或AD的垂直平分线上，分点G位于BC所在直线的左边或右边两种情况讨论.【解题过程】(1)如图1，连接AF.∵四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD，∵AB=AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD=AB，∵AB=CD，∴FD＝CD.图1(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时.图2图3易知点G是也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG，又∵AG＝AD，93\n∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴a＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时.同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°.此时a＝300°.综上所述，当a为60°或300°时，GC＝GB.【知识点】正方形图形变换分类讨论思想13.(2022山东青岛中考，21，8分)已知：如图，，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接.（1）求证：；（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论.【思路分析】（1）由平行四边形的性质，G为AD的中点，得出△AGF≌△DGC，进而得出AB=AF；（2）先得出△AGF为等边三角形，进而证明四边形ACDF为平行四边形，再由AD=CF，得出四边形ACDF为矩形．【解题过程】（1）∵在平行四边形ABCD中，∴AF∥CD，AB=CD，∴∠FAD=∠CDG．∵G为AD的中点，∴AG=DG．93\n又∵∠AGF=∠DGC，∴△AGF≌△DGC(ASA)，∴AF=CD．又∵AB=CD，∴AB=AF．（2）四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD=120°，∴∠BAC=120°，∴∠FAG=60°．又∵AG=AB，AB=AF，∴AG=AF，∴△AGF为等边三角形．∴AG=FG．∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD=2AG，CF=2FG，∴AD=CF，∴四边形ACDF为矩形．【知识点】全等三角形的性质与判定；等边三角形的性质与判定；平行四边形的性质与判定；矩形的判定；14.（2022山东烟台，24，11分）（本题满分11分）【问题解决】一节数学课上，老师提出了一个这样问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？小明他通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；93\n思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．【思路分析】（1）如图（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△BP′A，连接PP′，得到等腰直角三角形△BP′P，从而得到PP′=2，∠BPP′=45°，又AP′=CP=3，AP=1，∴∴根据勾股定理逆定理得∠APP′=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°；（2）如图（2）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，方法和（1）类似，求出∠APB=45°．【解题过程】解：（1）如图（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∵PB=P′B=2，∠P′BP=90°，∴PP′=2，∠BPP′=45°．又AP′=CP=3，AP=1，∴，∴∠APP′=90°，∴∠APB=45°+90°=135°．（2）如图（2）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∵PB=P′B=1，∠P′BP=90°，∴PP′=，∠BPP′=45°．93\n又AP′=CP=，AP=3，∴，∴∠APP′=90°，∴∠APB=90°－45°=45°．【知识点】正方形的性质；勾股定理及其逆定理；旋转的性质；分类讨论思想；15.（2022四川省德阳市，题号10，分值：3）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A.3B.3C.3-3D.3-32【答案】C.【解析】由旋转可知∠1=∠4=30°，∴∠2+∠3=60°.∵∠BAM=∠BC′M=90°，且AB=BC′，∴∠2=∠3=30°.93\n在Rt△ABM中，AB=3，∠2=30°，则AM=tan30°×AB=1.∴S△ABM=S△BMC′=32，∴S阴影=S正方形-（S△ABM+S△BMC′）=3-3.【知识点】正方形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值16.（2022四川省德阳市，题号19，分值：7）如图点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE=DC=2ED，且EF⊥EC.（1）求证：点F为AB的中点.（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED=2，求AH的值.第19题图【思路分析】对于（1），先根据矩形的性质证明△AEF≌△DCE，可得ED=AF，进而根据AE=DC=2ED，可得答案.对于（2），先说明△AEF≌△BHF，可知AE，进而得出AB=BH，再根据AH2=AB2+BH2得出答案.【解题过程】证明：∵EF⊥EC，∴∠CEF=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF+∠AFE=90°，∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF=∠DCE，∠AFE=∠DEC.∵AE=DC，∴△AEF≌△DCE，………………………………………………………………………………2分93\n∴ED=AF.∵AE=DC=AB=2DE，∴AB=2AF，∴F是AB的中点…………………………………………………………………………………3分（2）解：由（1）得AF=FB，且AE∥BH，∴∠FBH=∠FAE=90°，∠AEF=∠FHB，∴△AEF≌△BHF，………………………………………………………………………………4分∴HB=AE.∵ED=2，且AE=2ED，∴AE=4，…………………………………………………………………………………………5分∴HB=AB=AE=4，∴AH2=AB2+BH2=16+16=32，……………………………………………………………………6分∴AH=42………………………………………………………………………………………7分【知识点】矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理17.（2022天津市，24，10）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.①求证；93\n①求点的坐标.（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.【思路分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；理解点的坐标与矩形的性质是解题的关键.（Ⅰ）由旋转的性质可得AD的长，由△ADC是直角三角形，根据勾股定理可求出BD的长，即可表示点D的坐标；（Ⅱ）①由矩形的性质可知△ADB、△AOB是直角三角形,结合（Ⅰ）的有关结论由直角三角形的判定可证；②结合①的结论，求出AH的长，进而求出点H的坐标.【解题过程】解：（Ⅰ）∵点，点，∴，.∵四边形是矩形，∴，，.∵矩形是由矩形旋转得到的，∴.在中，有，∴.∴.∴点的坐标为.（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.93\n又点在线段上，得.由（Ⅰ）知，，又，，∴.②由，得.又在矩形中，，∴.∴.∴.设，则，.在中，有，∴.解得.∴.∴点的坐标为.（Ⅲ）.【知识点】矩形的性质；全等三角形的判定；勾股定理；点的坐标特征；图形旋转的特征；特殊角三角函数值的运用；在坐标系或网格中求解几何图形中点的坐标；数形结合思想1.（2022湖南郴州，19，6）如图，在□ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于E、F，连接BE、DF.求证：四边形BFDE是菱形.93\n【思路分析】先利用中垂线得到相等的线段及相等的角，再由平行四边形对边平行，推出一组内错角相等，即可证得△EOD≌△FOB，根据“对角线垂直且平分的四边形是菱形”即可得证.【解析】证明：∵BD垂直平分EF，∴EO=FO，∠EOD=∠FOB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，∴△EOD≌△FOB，∴OB=OD，∵EO=FO，EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形.【知识点】平行线；中垂线的性质；菱形的判定；平行四边形的性质2.（2022内蒙古呼和浩特，18，6分）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD,AB∥DE，且AB=DE.(1)求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度。【思路分析】（1）确定三角形全等的方法有多种，选择合适的即可.所添条件，可以直接证全等也可间接得出结论证明全等.（2）利用勾股定理及菱形的性质，利用△DEF的等面积形式构造等式求解问题【解析】解答：（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AC=DF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF；（2）AF=93\n解析：由勾股定理得DF=,作EP⊥DF，则，四边形BCEF是菱形，则EF=CE，由勾股定理得FP=,则CP=FP=,AF=DC=DF-CF=.【知识点】全等三角形的判定，勾股定理，菱形的性质3.(2022山东菏泽，23，10分)问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到和.并且量得AB=2cm，AC=4cm.操作发现：（1）将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，则四边形的形状是________.（2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论.实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，如图4所示，连接，试求的值．【思路分析】（1）先证明四边形ACEC′是平行四边形，在由一组邻边相等得出是菱形；（2）由对角线互相平分，得出四边形是平行四边形，再由一组邻边相等得出平行四边形是菱形，最后证明∠CAC′=90°，即可得出菱形是正方形；（3）得出∠ACB=30°，∠CHC′=90°，再由含30°93\n角的直角三角形的性质及勾股定理求出HC和HC′的长，进而求出的值．【解析】解：（1）菱形．理由：由题意得∠CAC′=∠BAC=∠DC′A=∠α，∴C′E∥AC．∵CE∥AC′，∴四边形ACEC′是平行四边形．∵AC=AC′，∴平行四边形ACEC′是菱形．（2）由题意得CF=C′F，，∴四边形是平行四边形．∵AC=AC′，∴平行四边形是菱形．∵B、A、D三点在同一条直线上，又∵∠BAC+∠DAC′=90°，∴∠CAC′=90°，∴菱形是正方形．（3）∵AB=2cm，AC=4cm，∴sin∠ACB===，∴∠ACB=30°．∴∠ACB=∠DBC′=30°，∠BAC=60°，∴∠AHB=∠BHC=∠CHC′=90°．∵AB=2cm，AC=4cm，∴BC=2cm．93\n在Rt△BHC中，∠BCH=30°，∴BH=BC=cm，HC=3cm，∴HC′=BC′－BH=(4－)cm，∴tan∠C′CH==．【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理；4.（2022四川遂宁，18，8分）如图，在口ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.【思路分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AD=BC，由条件DE=BF，可得，然后根据AC⊥EF即可证明出结论.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,∴AE=FC，∴,∴四边形AECF是平行四边形.93\n又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.【知识点】平行四边形的性质，菱形的判定5.（2022广东广州，23，12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB+CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE(保留作图痕迹，不写作法)；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．【思路分析】（1）利用基本作图“作已知角的角平分线”，按照题目的作图语句作图；（2）①延长DE、AB相交于点F，由“角平分线、平行线”可以得出“等腰三角形ADF”，再结合“AD＝AB＋CD”，利用全等证得DE＝EF，然后由“等腰三角形三线合一”证得AE⊥DE；②利用轴对称转化BM＋MN，再利用垂线段最短分析得出BN′即为所求，利用相似三角形求出BN′的长．【解析】（1）如图所示：（2）如下图，延长DE、AB相交于点F．93\n∵∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABC＋∠C＝180°．∴AB∥CD．∴∠CDE＝∠F．∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE．∴∠ADE＝∠F．∴AD＝AF＝AB＋BF．又AD＝AB＋CD．∴AB＋BF＝AB＋CD．∴BF＝CD．在△ＣED和△BFE中，，∴△CED≌△BFE．∴DE＝EF．又AD＝AF，∴AE⊥DE；②如图，作DH垂直AB于H，作点N关于AE的对称点N′，则MN＝MN′．∴BM＋MN＝BM＋MN′．由①可得AD＝AF，DE＝EF．∴AE平分∠DAB．∴点N′在AD上．∴当点B，M，N′共线且BN′⊥AD时BM＋MN′有最小值，即BM＋MN有最小值．在Rt△ADH中，AD＝AB＋CD＝6，AH＝AB－BH＝2，有勾股定理可得，DH＝．∵∠DHA＝∠BN′A＝90°，∠DAH＝∠DAH，∴△DAH∽△BAN′．∴．∴．∴BN′＝．【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；作图—基本作图；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质6.（2022贵州遵义，24题，10分）如图正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE<BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN。（1）求证：OM=ON；（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长。93\n第24题图【思路分析】（1）由正方形的性质得到OA=OB，∠OAM=∠OBN，由∠AOB=∠MON得到∠AOM=∠BON，证得△AOM≌△BON，进而得到OM=ON；（2）MN是等腰Rt△OMN的斜边，利用E是OM中点的条件，过点O作OP⊥AB于P，构造直角三角形，利用全等和勾股定理求出OE的长，进而求出OM的长，则MN长度可求【解析】（1）正方形ABCD中，AC=BD，OA=AC，OB=OD=BD，所以OA=OB=OD，因为AC⊥BD，所以∠AOB=∠AOD=90°，所以∠OAD=∠OBA=45°，所以∠OAM=∠OBN，又因为∠EOF=90°，所以∠AOM=∠BON，所以△AOM≌△BON，所以OM=ON；（2）如图，过点O作OP⊥AB于P，所以∠OPA=90°，∠OPA=∠MAE，因为E为OM中点，所以OE=ME，又因为∠AEM=∠PEO，所以△AEM≌△PEO，所以AE=EP，因为OA=OB，OP⊥AB，所以AP=BP=AB=2，所以EP=1，Rt△OPB中，∠OBP=45°，所以OP=PB=2，Rt△OEP中，，所以OM=2OE=，Rt△OMN中，OM=ON，所以MN=OM=第24题解图【知识点】正方形性质，全等三角形，勾股定理，7.（2022湖南省湘潭市，22，6分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O.93\n（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数.【思路分析】（1）先根据正方形的性质得到∠DAF=∠B=90°，AD=AB，然后再根据SAS证明两个三角形全等；（2）根据（1）中全等三角形的性质得到∠EAF=∠ADF，所以∠AOD=∠EAF+∠AFD=∠ADF+∠AFD进行计算.【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，在△DAF和△ABE中，,∴△DAF≌△ABE;（2）∵△DAF≌△ABE，∴∠EAF=∠ADF，∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠EAF+∠AFD=90°，∵∠AOD=∠EAF+∠AFD=90°.【知识点】全等三角形的判定；直角三角形的性质；正方形的性质8.（2022江西，22，9分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而化．(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)．第22题图(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求正边形ADPE的面积．93\n第22题图4【思路分析】（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明方法类似；（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题.【解析】(1)BP＝CE；CE⊥AD；连接AC，如解图①∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∵∠BAC＝∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE，∵△BAP≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠ABC＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ECD＝30°，∴CE为△ACD的角平分线，∵CA＝CD，由三线合一知CE⊥AD；第22题解图①第22题解图②(2)如解图②，仍然成立，理由如下：93\n如解图②，连接AC交BD于O点，设CE交AD于H点，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴BA＝CA，∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，在△BAP和△CAE中，∵，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°，∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD，第22题解图③或选图③，理由如下：如解图③，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H，同理得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥AD；93\n第22题解图④(3)如解图④，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由(2)可知，CE⊥AD，CE＝BP，在菱形ABCD中AD∥BC，∴EC⊥BC，∵BC＝AB＝2，BE＝2，∴在Rt△BCE中，CE＝＝8，∴BP＝CE＝8，∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6，AO＝AB＝，DP＝BP－BD＝8－6＝2，∴OP＝OD＋DP＝5，在Rt△AOP中，AP＝＝2，S四边形ADPE＝S△ADP＋S正△APE＝DP·AO＋·AP2＝×2×＋×(2)2＝8.【知识点】菱形，全等三角形，等边三角形，勾股定理93\n9.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，19，8）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【思路分析】（1）利用平行四边形的性质，得OA＝OC，OB＝OD；然后加上对顶角相等，利用“边角边”即可证明△DOE≌△BOF．（2）由（1）可知四边形EBFD是平行四边形，加上对角线相等即可判断该四边形为菱形．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（SAS）．（2）四边形EBFD是菱形，理由如下：∵OB＝OD，OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形．又∵BD＝EF，∴四边形EBFD是菱形．【知识点】平行四边形的性质和判定；全等三角形的判定；菱形的判定10.（2022广东省深圳市，20，？分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C93\n为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD.(1)求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；(2)求四边形ACDB的面积.【思路分析】（1）由已知尺规作图痕迹得：AC＝CD，AB＝BD，CB是∠FCE的角平分线，根据AB∥CD证得∠ABC＝∠DCB，从而得到AC＝CD＝AB＝BD即可证明四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）先证明△FAB∽△FCE，求得菱形ACDB边长的长，再利用菱形的面积等于底乘高就能求出该菱形的面积．【解题过程】解：(1)证明：由已知尺规作图痕迹得：AC＝CD，AB＝BD，CB是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝BD，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ACDB为菱形,又∵∠ACD与△FEC中的∠FEC重合，它的对角∠ABD顶点在FE上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；(2)解：设菱形ACDB的边长为x，又∵CF＝6，CE＝12，∴FA＝CF－AC＝6－x，∵AB∥CD,∴∠FAB＝∠FCE，又∵∠F＝∠F，∴△FAB∽△FCE，∴，即，，3x＝12，解得x＝4，过点A作作AG⊥CE于点G，∵CB是∠FCE的角平分线，∴在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴sin∠ACG＝，即sin45°＝，解得AG＝，∴四边形ACDB的面积为：S四边形ACDB＝AG·CD＝×4＝8．【知识点】几何作图；角平分线；平行线的性质；菱形的性质与判定；菱形的面积公式；相似三角形的性质和判定11.（2022贵州安顺，T22，F10）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.93\n(1)求证：AF=DC；(2)若AB丄AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.【思路分析】(1)先根据平行线的性质推出∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE,再根据点E是线段AD的中点推出AE=DE,然后根据AAS推出△FAE≌△BDE，进而得出AF=DB,最后根据AD是BC边上的中线，得出AF=DC;(2)由AB⊥AC得出△ABC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知AD=DC,由（1）的结论可知，AF=DC=AD,再根据AF∥BC，得出四边形ADCF是菱形.【解题过程】证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE.∵E是AD的中点，∴AE=DE.有∴△FAE≌△BDE.∴AF=DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB=DC.∴AF=DC.（2）四边形ADCF是菱形.理由：∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.∵AD是BC边上的中线，∴AD=BD=CD.∴AF=DC=AD.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是菱形.【知识点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的中线，菱形的判定定理.93\n12.（2022湖北荆州，T21，F8）如图，对折矩形纸片,使与重合，得到折痕,将纸片展平;再一次折叠,使点落到上的点处,折痕交于;延长交于.求证:(1);(2)为等边三角形，【解题过程】证明：（1）∵对折矩形纸片ABCD,使AB与CD重合，得到折痕MN∴MN∥AB且M,N分别为AD,BC中点∴△PEF∽△PAG∴PF=GF由折叠的性质得∠PFA=∠GFA=90°∴△AFG≌△AFP（SAS）（2）∵△AFG≌△AFP∴AP=AG,∠2=∠3，又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3，又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=300∠APG=2∠2=60°∴△APG为等边三角形【知识点】矩形的性质、折叠、三角形全等、93\n13.（2022湖南省永州市，22，10）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积.【思路分析】问题（1），关键是证明四边形BCFD中AD∥BC，BD∥CF；问题（2），平行四边形BCFD的边BC上的高为AC，因此，解题的关键是根据条件求得BC、AC的长，也就是将问题转化为解直角三角形ABC.【解题过程】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠ABD=∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC，∴AD∥BC．∵E为AB的中点，∴CE=AB=BE，∵∠ABC=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，∴∠ABD=∠BEC，∴BD∥CF，即：AD∥BC，BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，sin∠CAB=，cos∠CAB=，∴BC=sin∠CAB·AB=AB=3，AC=cos∠CAB·AB=AB=3，∴S平行四边形BCFD=3×3=9．【知识点】平行四边形的判定和性质直角三角形斜边中线定理等边三角形的性质解直角三角形勾股定理93\n14.（2022湖北省孝感市，7，3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（）A．52B．48C．40D．20【答案】A【解析】根据菱形的性质可知：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AO=CO=AC=5，BO=CO=BC=12．根据勾股定理可知：AB===13，所以菱形ABCD的周长=4AB=4×13=52．故选A．【知识点】菱形的性质；勾股定理.15.（2022湖南张家界，17，5分）如图，在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.（1）求证：；（2）若,且,求.【思路分析】（1）根据全等三角形的判定依据AAS，判定，进而得出DF=AB；93\n（2）根据直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.得出AD.【解题过程】证明:（1）如图，在矩形中，∥，.又，..又，.；（2），，..又，.【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.16.（2022四川凉山州，20，7分）在ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处（1）求证：△A′ED≌△CFD（2）连结BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积.(第20题图)【思路分析】（1）由翻折可证A′D=AD,∠DEF=∠BEF,∠A=∠A′,再由四边形ABCD为平行四边形，得到边角之间的关系，从而构造出∠A′ED=∠DFC,∠A′=∠C,A′D=CD，∴△A′ED≌△CFD（SAS）93\n（2）（2）过点E作EHBC于点H,∵∠EBF＝60°，EF＝3，由（1）可知△EBF是等边三角形，∴FH=3，EH=∵△A′ED≌△CFD，∴ED=DF,∵ED=AB,ED∥BF，∴四边形BFDE为菱形∴四边形BFDE的面积【解题过程】（1）证明：由翻折可知，A′D=AD,∠DEF=∠BEF,∠A=∠A′,∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠C=∠A,AD∥BC∴A′D=CD，∠A′=∠C,∵AD∥BC∴∠DEF=∠BFE,∴∠DEF=∠BFE=∠BEF=∠EFD,∴180°-（∠DEF+∠BEF）=180°-（∠BFE+∠EFD）即∠AEB=∠DFC,又∵∠AEB=∠A′ED,∴∠DFC=∠A′ED,在△A′ED和△CFD中，∵∠A′ED=∠DFC,∠A′=∠C,A′D=CD，∴△A′ED≌△CFD（SAS）(第20题第2问答图)93\n(2)解：过点E作EHBC于点H,∵∠EBF＝60°，EF＝3，由（1）可知△EBF是等边三角形，∴FH=3，EH=∵△A′ED≌△CFD∴ED=DF,∵ED=AB,ED∥BF∴四边形BFDE的为菱形∴四边形BFDE的面积【知识点】图形的翻折，平行四边形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，菱形的判定，菱形的面积计算.17.（2022·北京，21，5）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．【思路分析】（1）先利用角平分线定义及平行线性质，得到AB＝DC；再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，最后利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到要证的结论；（2）先利用菱形的性质，得到OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD，进而由勾股定理，求出OA的长，进而求得AC的长，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出OE的长．【解题过程】21．（1）证明：∵AC平分∠BAD，93\n∴∠DAC＝∠BAC．∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC．∴∠DAC＝∠DCA．∴DA＝DC．又∵AB＝AD，∴AB＝DC．又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD．在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝＝＝2．∴AC＝2OA＝4．∵CE⊥AB，OA＝OC，∴OE＝AC＝2．【知识点】菱形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形的性质与判定18.（2022·北京，27，7）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．93\n【思路分析】（1）先利用轴对称性质，得到DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°＝∠DFG，再利用正方形性质及全等三角形的判定方法，证明△DGF≌△DGC（HL），于是GF＝GC；（2）证明此题有两种方法，一是利用三垂直及构造法，证明△DAE≌△ENH（AAS），其中过点H作HN⊥AB交AB延长线于点N，再利用等腰三角形斜边与直角边的数量关系探究出BH＝AE．另一种方法是截长补短法，即在AD上取点P，使AP＝AE，连接PE，则BE＝DP．通过证明△DPE≌△EBH（SAS），再利用等腰三角形斜边与直角边的数量关系探究出BH＝AE．【解题过程】证明：（1）连接DF，如下图：∵点A关于直线DE的对称点为F，∴DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90°＝∠DFG．∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC＝DF，∠A＝∠C＝90°．又∵DG＝DG，∴△DGF≌△DGC（HL）．∴GF＝GC．（2）如下图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得△DCM，则DE＝DM，AE＝CM，从而EG＝MG，DE＝DM．93\n又∵DG＝DG，∴△DGE≌△DGM（SSS）．∴∠DGE＝∠DGM＝90°．∵∠EDM＝∠EDC＋∠CDM＝∠EDC＋∠ADE＝90°，∴∠EDG＝45°．又∵EH⊥DE，∴△DEH是等腰直角三角形．∴DE＝EH．过点H作HN⊥AB交AB延长线于点N，则∠N＝∠A＝90°，且易证∠HEN＝∠ADE，于是△DAE≌△ENH（AAS），从而AE＝HN，DA＝EN，AE＝BN．∴△BNH是等腰直角三角形，从而BH＝NH．∴BH＝AE．证法二：如下图，在AD上取点P，使AP＝AE，连接PE，则BE＝DP．93\n由（1）可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，从而由∠ADC＝90°，得2∠2＋2∠3＝90°，∴∠EDH＝45°．又∵EH⊥DE，∴△DEH是等腰直角三角形．∴DE＝EH．∵∠1＋∠AED＝∠5＋∠AED＝90°，∴∠1＝∠5．∴△DPE≌△EBH（SAS）．∴PE＝BH．∵△PAE是等腰直角三角形，从而PE＝AE．∴BH＝AE．【知识点】正方形的性质；轴对称；等腰直角三角形；全等三角形；动点问题；旋转；探究问题；构造法；压轴题19.（2022广西玉林，25题，10分）如图，在ABCD中，DC>AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM’与NN’，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M’，N’，连接EF。（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长。第25题图【思路分析】（1）先证四边形MNN’M’是平行四边形，然后根据角平分线的性质，得到ME=NF，进而得到矩形；（2）由两个角平分线得到AE⊥DE，在Rt△ADE中，得到三边和高EP的长度，由△APE∽△EPD∽△AED，△DEP≌△DEM，△AEP≌△AEM’可得，DM、AM’长度，由中心对称性得到CN=AM’，从而得到MN的长度，即为EF长度【解题过程】（1）因为MM’与NN’是DC与AB间的垂线，所以∠M’MN=∠N’NC=90°，所以MM’∥NN’，又因为ABCD中MN∥M’N’，所以四边形MNN’M’是平行四边形，MM’=NN’，过E、F作EP⊥AD于P，FQ⊥BC于Q，因为E，F是四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点，所以EM=EP=EM’，FN=FQ=FN’，所以ME=FN，因为ME∥93\nFN，所以四边形MEFN是平行四边形，因为∠N’NC=90°，所以MEFN是矩形；第25题解图（2）因为MEFN是矩形，所以MN=EF，因为平行四边形的对称性，可得AM’=CN，因为DE、AE平分∠ADC、∠DAB，∠3=∠ADC，∠2=∠DAB，∠ADC+∠DAB=180°所以∠3+∠2=90°，所以∠AED=90°，所以在Rt△ADE中，AE=4，DE=3，AD=5，PE=2.4，易证△APE∽△EPD∽△AED，得，则PD=1.8，AP=3.2，易证△DEP≌△DEM，△AEP≌△AEM’，所以DM=DP=1.8，CN=AM’=AP=3.2，因为DC=9，所以MN=2，所以EF=MN=2【知识点】平行四边形，角平分线，矩形，勾股定理20.（2022山东省泰安市，12，11）如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，.（1）求证：；（2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论.（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由.【思路分析】（1）利用等腰三角形性质和角平分线定义推出∠CAG=∠FGA，从而推出AC∥FG;结合垂直条件，推出DE∥BC，从而推得，得到∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED；再由点F是中点，推出FG时线段ED的中垂线，推出GE=GD，从而推出∠CGE=∠GDE；得到.（2）由推出∠ADE=30°，推出，结合（1）知：，得到是菱形.【解题过程】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴.1分93\n∵，∴，∵，∴，∴，∴，，3分∵是的中点，，∴是的中点，∴是线段的垂直平分线，∴，，∴，∴.5分（2）证明：过点作于点，∴，∴，∴.7分由（1）得，∴，∴，8分∴.9分（3）四边形是菱形，理由如下：∵，∴，∴，∴.10分由（1）得，∴四边形是菱形.11分【知识点】平行线的性质及判定；等腰三角形及直角三角形的性质；线段垂直平分线；三角形全等的判定，菱形的判定.93\n21.（2022陕西，17，5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使△DPA∽△ABM．(不写作法，保留作图痕迹)【思路分析】过点D作线段AM的垂线，垂足为点P，则点P即为所求的点．【解题过程】如图所示，AM与DG的交点即为满足条件的点P．作法如下（题目不要求写作法，以下步骤可省略）：①以点D为圆心，以任意长为半径画弧交AM于E、F两点，②分别以E、F为圆心，以大于EF为半径画弧，两弧交于点G，③作直线DG交AM于点P，则点P即为所求点．【知识点】尺规作图93
