函数与一次函数一、选择题1.（2022湖北黄冈，8，3分）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】当时间为0时，两车均未出发，相距1000千米，即t＝0时，y＝1000，由此排除B选项；当两车相遇时，得100t＋150t＝1000，解得t＝4．接下来两车相遇后又分两种情况：一是两车相遇后均在行驶，二是两车相遇后，特快车到达终点地而只有快车在行驶．这时，联想现实情景，发现后者中y的增大幅度明显会小于前者中y的增大幅度．于是可知相遇前的函数图象是一条线段，相遇后的函数图象是一条折线段，且前段比后段陡．综合这些信息知答案选C．【方法指导】本题考查实际问题中的函数图象．解答本题也可以从函数解析式的角度分析判断．由两车相遇得100t＋150t＝1000，解得t＝4；特快车到达甲地所用时间t＝＝；快车到达乙地所用时间t＝＝10．所以当0≤t≤4时，y＝1000－(100t＋150t)＝－250t＋1000；当4≤t≤时，y＝(100t＋150t)－1000＝250t－1000；当≤t≤10时，y＝100t．显然，这没有上面的方法简单．【易错警示】易漏掉≤t≤10这种情况的讨论，错误的认为相遇后的y一直是匀速变大而选A．对于A中的时间8是如何产生的呢？这是由(100t＋150t)－1000＝1000，解得t＝8．可见这种错误的根本在于没认识到特快车是先到达终点地的，存在特快车停止行驶而快车仍在行驶这种情况．2．(2022浙江湖州,3,3分)若正比例函数的图像经过点（1，2），则的值为（）A．－B．－2C．D．2【答案】D【解析】把（1，2）代入，得k=2，故选D。【方法指导】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．把点（1，2）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值50\n3．（2022重庆，5，4分）已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把（1，－2）代入y=kx(k≠0)中，得k·1=－2，即k=－2，∴解析式为，故选B．【方法指导】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式的方法，也可以用代入验证法解答．4．（2022重庆，10，4分）2022年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下图能反映y与x的函数关系式的大致图象是（）xyＤ．ＯxyA．ＯxyＢ．ＯxyＣ．Ｏ（第10题图）【答案】A【解析】时间x=0时，童童还在家里，所以图象必过原点；匀速步行前往，说明y逐步变大，是正比例函数；等轻轨车，x变化，而y不变化，图象是水平线段；乘轻轨车匀速前往奥体中心，速度比步行时大，在相同时间内，函数值变化量比步行时大，所以图象是比步行时k值大的一次函数，这样，就基本可以确定答案为A．【方法指导】本题考查了用图象法表示函数，考查了对用图象表示分段函数的正确辨别．对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示；②当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大；③各个分段中，准确确定函数关系；④确定函数图象的最低点和最高点．【易错警示】对函数图象的分段不准，对各个阶段相对的变化快慢忽视．5．（2022四川南充，8，3分）如图，函数与的图象相交于点A（1,2）和点B．当时，自变量的取值范围是（）50\nA． B． C．或 D．或【答案】：C．【解析】把A的坐标代入函数的解析式求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，得出B的坐标，根据A、B的坐标，结合图象即可得出答案．【方法指导】本题考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数和一次函数的交点问题等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力．6．(2022湖北荆门，6，3分)若反比例函数y=的图象过点(－2，1)，则一次函数y=kx－k的图象过()A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限【答案】A【解析】将点(－2，1)的坐标代入y=，求得k＝－2．∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2．显然它经过一、二、四象限，故选A．【方法指导】将点(－2，1)的坐标代入y=，求得k＝－2．∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2．显然它经过一、二、四象限，故选A．一般地，一次函数y=kx＋b有下列性质：（1）当k＞0时，图象经过第一、二、三象限或一、三、四象限，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，图像经过第一、二、四象限或二、三、四象限，y随x的增大而减小.7．（2022江西南昌，6，3分）如图，直线y=x+a－2与双曲线y=交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（）．A．0B．1C．2D．5【答案】C【解析】把原点（0，0）代入中，得.选C..【方法指导】要求a的值，必须知道x、y的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观判断出直线AB过原点（0，0）时，线段AB才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出a的值.8、（2022深圳，11，3分）已知二次函数的图像如图2所示，则一次函数的大致图像可能是（）50\n图2ABCD【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则，因抛物线的顶点在第四象限，则；据此，一次函数中，因，则图像自左向右是“上升”的，先排除C、D。又，则一次函数的图像与轴的正半轴相交，故B错误，A正确。【方法指导】考查一次函数数、二次函数的系数与图像间的关系，函数相关系数的几何意义，考查学生数形结合的能力和转化思想、观察判断能力，综合考查一次函数和二次函数的相关性质，虽说难度不是太大，但也具有一定的综合性，需要全面仔细的考虑，对相关知识熟练无误。9.（2022四川宜宾，2，3分）函数中自变量x的取值范围是( )A． B． C．D．【答案】B．【解析】根据被开方数为非负数可得应选B.【方法指导】本题考查了求自变量的取值范围具体方法：（1）整式：其自变量的取值范围是全体实数.（2）分式：其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数.（3）二次根式下含自变量：其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数.（4）当函数表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.10.（2022四川泸州，7，2分）函数自变量取值范围是（ ）A．且B．C．D．且【答案】A【解析】根据条件得，解得且，所以选A．50\n【方法指导】根据函数解析式求自变量取值范围，主要四个方面考虑：①整式，为全体实数；②分式，满足分母不为0；③二次根式，满足被开方数非负；④指数为0或负数，满足底数不为0．如果是实际问题，还要注意自变量符合实际意义．本题通过列不等式（组），并求其解集，而得到答案．【易错警示】从分子中的二次根式看，容易误为x－1＞0，从而误选选项D．11.（2022福建福州，10，4分）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x＋a，y＋b），B（x，y），下列结论正确的是（）A．a＞0B．a＜0C．b＝0D．ab＜0【答案】B【解析】由一次函数图象可知，此函数成“上升势”，所以函数值y随x的增大而增大，在图像上右边的点横纵坐标分别大于左边的点横纵坐标，由此得出x＋a＜x，y＋b＜y，根据不等式的基本性质得出a＜0，b＜0，故选B．【方法指导】本题主要考查了一次函数的增减性以及学生的读图能力，关于一次函数的增减：当k＞0时y随x的增大而增大，当k＜0时y随x的增大而减小．12.(2022湖南邵阳,3,3分)函数y=中，自变量x的取值范围是( ） A．x>1 B．x<1 C．x≥ D．x≥【答案】：C．【解析】：根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．【方法指导】：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13．（2022重庆市(A)，11，4分）万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地．假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回到万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为x(小时)，轮船距万州的距离为y(千米)．则下列各图中，能够反映y与x之间的函数关系的大致图象是（）【答案】C．【解析】由题意，知轮船经历了从万州出发，到停留一段时间，再返回到万州三个阶段，而y表示轮船距万州的距离，所以当时间x＝0时，y＝0，当时间x达到最大时，y＝0，由此排除B，D两选项．另外，由于轮船从万州出发，是逆水航行，那么返回时就是顺水航行，从而可知出发时的速度小于返回时的速度，这反映在图象上就表现为第三段要比第一段陡，故可排除A．只有C符合要求．【方法指导】本题考查函数图象的识别．解题关键是能够将实际问题情境与函数图象相互转换，能够从图象的横、纵两个方向分别获取信息，判断相应的实际意义．14（2022湖南益阳，8，4分）已知一次函数，当函数值时，自变量50\n的取值范围在数轴上表示正确的是（）02－2002－2－202ABCD【答案】：B【解析】由得，，【易错警示】要注意“＜、＞”“≥、≤”对应的数轴表示的圆点“空心”和“实心”。15．（2022山东德州，6，3分）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是A、甲、乙两人的速度相同B、甲先到达终点C、乙用的时间短D、乙比甲跑的路程多【答案】B【解析】由图可知，相同路程内甲比乙要少用一些时间，甲先到达终点.【方法指导】本题考查了函数图象意义.考查函数图象表示实际问题，注意分析s随t的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决,关键是明白图象中“倾斜线段变化的趋势或水平线段变化特点”.【易错警示】不明确坐标轴意义，混淆图象中折线段变化趋势16．（2022山东德州，8，3分）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是A、y=－x+1B、y=x2－1C、y=D、y=－x2+1【答案】B【解析】A、函数y=－x+1，当x>0时，y随x的增大而减小；B、函数y=x2－1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C、函数y=，当x>0（第－象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D、抛物线y=－x2+1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小.【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质.解答本题需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断.17．（2022山东德州，11，3分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以上结论：①b2－4c>0②b+c+1=0③3b+c+6=0④当1<x<3时，x2+(b－1)x+c<0。其中正确的个数是A、1B、2C、3D、450\n【答案】B【解析】∵抛物线与x轴没有交点，∴b2－4c<0，于是①错误；当x=1时，抛物线与直线交点坐标为（1，1）满足函数y=x2+bx+c，即b+c+1=1，②错误；∵（3，3）在函数y=x2+bx+c图象上，∴3b+c+9=3，即3b+c+6=0，所以③正确；观察图象可知，当1<x<3时，x>x2+bx+c，即x2+(b－1)x+c<0.因此以上说法正确的有③、④.故选B.【方法指导】本题考察了二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.【易错警示】把握知识点不到位，出现多选或漏选.18．[2022山东菏泽，6，3分]一条直线其中，，那么该直线经过（ ）A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限【答案】D．【解析】∵直线其中，，∴k=－5－b，即b（－5－b）=6，解之，再代入k=－5－b，.∴当k=－3，b=－2时，直线过第二、三、四象限 ；当k=－2，b=－3时，直线过第二、三、四象限 .综上所之，直线第二、三、四象限.故选D.【方法指导】判断一次函数图象经过的象限取决于k、b符号.直线y=kx+b（k、b为常数、k、b均不等于0）经过三个象限，①当k＞0，b＞0，直线在第一、二、三象限 ；②当k＞0，b＜0，直线在第一、三、四象限 ；③当k＜0，b＜0，直线在第一、二、四象限 ；④当k＜0，b＜0，直线在第二、三、四象限. 19．（2022山东日照，12，4分）如图,已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】当x＞2时，M=y1，所以①错误。50\n当x＜0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以②正确。当x≤0时，M=y1使得M≤0；当0＜x≤2，M=y2，使得M≤4，x＞2时，M=y1使得M≤4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以③正确。当M=2时，有两种情况，即，0＜x≤2，M=y2即得2x=2,解得x=1.x＞2时，M=y1即得所以④错误。【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)20．（2022四川凉山州，12，4分）如图，正比例函数与反比例函数相交于点（，2），若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）xyOEy1y22－1（第12题图）－101A．－101B．－101C．－101D．【答案】A.【解析】先利用函数的图象可知,当时,的取值范围是x＜－1,所以其在数轴上表示为A.【方法指导】本题考查利用函数图象比较大小及在数轴上如何表示不等式的解集的问题.利用图象比较大小时,图象在上方的函图值大,函数图象的交点即为函数值相等,函数图象在下方的函数值小.在数轴上表示不等式的解集是,一般有等号时有实数点表示,没有等号是圆表示.21．（2022广东湛江，8，4分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由，解得，本题选B【方法指导】本题考查了函数自变量的取值范围。掌握二次根式有意义的条件是解题的关键。求函数自变量的取值范围或使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常有三种情况：50\n1．分母不为零;2．二是二次根式的被开方数是非负数；3．三是零次幂的底数不为零．8．(2022四川成都，8，3分)在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是()(A)y＝－x＋3(B)y＝(C)y＝2x(D)y＝－2x2＋x－7【答案】C．【解析】把原点(0，0)的坐标依次代入各个解析式，若使解析式的左右两边相等，则该解析式的图象经过原点．【方法指导】当自变量为a时，函数值为b图象经过点(a，b)．22．（2022年佛山市，10，3分）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离与时间的关系的大致图象是()xyOA．xyOB．xyOC．xyOD．分析：根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度小于于第一阶段的速度，则C错误．故选B．点评：本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．23．（2022湖南娄底，4，3分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2考点：一次函数的图象．50\n分析：根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解答：解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．故选C．点评：此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．24.（2022江苏南京，5，2分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像没有公共点，则(A)k1+k2<0(B)k1+k2>0(C)k1k2<0(D)k1k2>0答案：C解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。25．（2022•徐州，6，3分）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（ ） A．y＝2x＋8 B．y＝－2＋4x C．y＝－2x＋8 D．y＝4x考点：一次函数的性质．分析：根据一次函数的性质，k＜0，y随x的增大而减少，找出各选项中k值小于0的选项即可．解答：解：A、B、D选项中的函数解析式k值都是整数，y随x的增大而增大，C选项y＝－2x＋8中，k＝－2＜0，y随x的增大而减少．故选C．点评：题考查了一次函数的性质，主要利用了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．26．（2022·潍坊，7，3分）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（）．答案：C考点：变量间的关系，函数及其图象．点评：容器上粗下细，杯子里水面的高度上升应是先快后慢。27．（2022·泰安，17，3分）把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4考点：一次函数图象与几何变换．分析：直线y＝－x＋3向上平移m个单位后可得：y＝－x＋3＋m，求出直线y＝－x＋3＋m与直线y＝2x＋4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．50\n解答：解：直线y＝－x＋3向上平移m个单位后可得：y＝－x＋3＋m，联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），∵交点在第一象限，∴，解得：m＞1．点评：本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0． 28.2022•舟山4分）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（ ） A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上 C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点【答案】A．【解析】∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．【方法指导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度29.（2022•衢州3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）50\n A．B．C．D．【答案】B．【解析】：当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点p在DC上运动时，y随着x的增大而增大；当点p在CB上运动时，y不变；当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小【方法指导】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．30.2022•绍兴4分）如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是（ ） A．B．C．D．【答案】C．【解析】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、B；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项；【方法指导】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．31.（2022四川巴中，5，3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ） A．B．C．D．50\n考点：函数的图象．245761分析：露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．解答：解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．故选C．点评：本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．32（2022陕西，6，3分）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2,m），B（n，３），那么一定有（）A．m>0，n>0B．m>0，n<0C．m<0，n>0D．m<0，n<0考点：一般考查的是一次函数或者反比例函数的图象性质及待定系数法求函数的解析式。解析：因为A，B是不同象限的点，而正比例函数的图象要不在一、三象限或在二、四象限，由点A与点B的横纵坐标可以知：点A与点B在一、三象限时：横纵坐标的符号应一致，显然此题不可能，点A与点B在二、四象限：点A在四象限得m<0，点B在二象限得n<0,故选D．(另解：就有两种情况一、三或二、四象限，代入特值即可判定)33（2022陕西，8，3分）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x－201y3p0A．1B．－1C．3D．－3考点：待定系数法求一次函数的解析式及由自变量的值确定对应的函数值。解析：设y=kx+b，将表格中的对应的x,y的值代入得二元一次方程组，解方程组得k,b的值，回代x=0时，对应的y的值即可。设y=kx+b，解得：k=－1，b=1,所以所以y=－x+1,当x=0时，得y=1,故选A．34（2022河北省，16，3分）如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）50\n答案：A解析：AD＝13，sinA＝，当P在AD上运动时，△PEF的高h＝t，y=S△EPF＝t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A。35．（2022贵州省黔东南州，9，4分）直线y=﹣2x+m与直线y=2x﹣1的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ） A．m＞﹣1B．m＜1C．﹣1＜m＜1D．﹣1≤m≤1考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．解答：解：联立，解得，∵交点在第四象限，∴，解不等式①得，m＞﹣1，解不等式②得，m＜1，所以，m的取值范围是﹣1＜m＜1．故选C．点评：本题考查了两直线相交的问题，解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．36（2022贵州省黔西南州，9，4分）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）50\n A．x＜B．x＜3C．x＞D．x＞3考点：一次函数与一元一次不等式．分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．解答：解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），∴3=2m，m=，∴点A的坐标是（，3），∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；故选A．点评：此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键． 37（2022黑龙江省哈尔滨市，10）梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱．其中正确的个数是()．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个考点：一次函数的应用。分析：考查一次函数的应用；得到超过10千克的费用的计算方式是解决本题的关键点．（1）0≤x≤10时，付款y=5×相应千克数；数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；（2）x＞10时，付款y=2.5x+25相应千克数,超过l0千克的那部分种子的价格解答：由0≤x≤10时，付款y=5×相应千克数，得数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克①是正确；当x=30代入y=2.5x+25y=100，故②是正确；由（2）x＞10时，付款y=2.5x+25相应千克数,得每千克2.5元，故③是正确；当x=40代入y=2.5x+25y=125，当x=20代入y=2.5x+25=75，两次共150元，两种相差25元，故④是正确；四个选项都正确，50\n故选D38（2022湖北省鄂州市，6，3分）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（ ） A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．解答：解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．结合图象可得B选项的图象符合．故选B．点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始终保持在容器的正中间．39．（2022湖北省十堰市，1，3分）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（ ） A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25 B．途中加油21升50\n C．汽车加油后还可行驶4小时 D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升考点：一次函数的应用．分析：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b，将（0，25），（2，9）代入，运用待定系数法求解后即可判断；B、由题中图象即可看出，途中加油量为30﹣9=21升；C、先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的路程，然后与4比较即可判断；D、先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶500千米需要的油量，得出汽车到达乙地时油箱中的余油量即可判断．解答：解：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b．将（0，25），（2，9）代入，得，解得，所以y=﹣8t+25，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，途中加油：30﹣9=21（升），正确，故本选项不符合题意；C、由图可知汽车每小时用油（25﹣9）÷2=8（升），所以汽车加油后还可行驶：30÷8=3＜4（小时），错误，故本选项符合题意；D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100=5（小时），∴5小时耗油量为：8×5=40（升），又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升，∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21﹣40=6（升），正确，故本选项不符合题意．故选C．点评：本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键．二、填空题。1.（2022四川宜宾，15，3分）如图，直线经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式的解集为 ．【答案】－1<x<2．【解析】因为y=的图象过A(2，1)，O（0,0）我们可画出y=的图象，观察图象可得－1<x<2.50\n【方法指导】本题考察了根据函数图象求不等式（组）解集的问题，解决此类问题一般方法为画出图象，仔细观察图象，根据图象写出解集.注意交点（公共点）处函数值相等，所以解集要么在交点左侧要么在交点右侧.注意数形结合思想的运用.2.（2022湖北黄冈，14，3分）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是．【答案】7:00．【解析】观察函数图象，知巡逻艇出现故障前的速度为：80÷1=80海里/小时，故障排除后的速度为：(180－80)÷1=100海里/小时．设巡逻艇的航行全程为x海里，由题意，得＝2＋，解得x＝480．则原计划行驶的时间为：480÷80＝6（小时）．故计划准点到达的时刻为7：00．【方法指导】本题考查函数图象的意义，列一元一次方程解实际问题．解答时，一要由函数图象判断巡逻艇故障前、后的速度；二要理解“结果恰好准时到达”蕴涵的等量关系：按故障前速度行驶全程所用时间＝2＋按故障排除后速度行驶剩余路程所用时间．3．（2022广东广州，14，3分）一次函数y=(m+2)x+1若y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________.【答案】.【解析】由题意得m+2＞0，解这个不等式，得．故答案填。【方法指导】1.对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小；2.一次函数的这个性质可以反过来用．4．（2022山东德州，16，4分）函数y=与y=x－2图象交点的横坐标分别为a,b,则的值为。【答案】－2.【解析】∵函数y=与y=x－2图象相交，∴，解得.由于交点的横坐标分别为a,b，∴ab==－1，a+b==2.=.故填－2.【方法指导】本题考查一次函数与反比例函数交点坐标计算与求代数式值.两函数图象相交，其实几个交点的横坐标值就是两函数表达式联立成方程组的解（自变量x值）.50\n5．(2022四川成都，21，4分)已知点(3，5)在直线y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)上，则的值为______．【答案】－．【解析】将点(3，5)的坐标代入y＝ax＋b得，5＝3a＋b．即b－5＝－3a．当a≠0时，＝＝－．【方法指导】此题考查函数知识和分式的基本性质．6．（2022湖南永州，11，3分）已知一次函数的图象经过点A(1，－1)，B(－1，3)两点，则k 0(填“>”或“<”)．【答案】.【解析】从A(1，－1)，B(－1，3)的坐标可看出：出y随x的增大而减小，于是【方法指导】本题除了使用数形结合的方法直接求出k的取值范围，也可以用两点的坐标求出一次函数的解析式，然后就可以知晓k的大小。7．（2022重庆，18，4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为．xyOADQBCP（第18题图）【答案】(，)【解析】如图，设OB=3m，过点P作PE⊥y轴于点E，交AB于点F．∵点A在直线y=x上，且AB⊥x轴于点B，∴AB=OB=3m，又∵BD=2AD，∴BD=2m，∵PC=PD，∠CPD=90°，可证△CPE≌△DPF，∴DF=PE，CE=PF，又由点P（1，1）可得PE=OE=1，∴DF=1，又四边形OBFE是矩形，∴BF=OE=1，∴BD=2，∴m=1,∴OB=3,PF=2,CE=2，∴点C（0，3），点D（3，2）．由点C（0，3），点D（3，2），可以求得直线CD的解析式为，点Q即是直线和y=x的交点，可以求得Q(，)．【方法指导】50\n三角形全等的判定，两条直线交点坐标的求法，等腰三角形的性质，点的坐标的意义．求直线交点坐标，一般需要求出两条直线的解析式，然后用这两个解析式建立方程组，方程组的解就是交点的坐标．8．（2022广东珠海，6，4分）使式子有意义的x的取值范围是 x≥﹣ ．考点：二次根式有意义的条件．3481324分析：二次根式的被开方数是非负数．解答：解：根据题意，得2x+1≥0，解得，x≥﹣．故答案是：x≥﹣．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．9．（2022广东珠海，7，4分）已知，函数y=3x的图象经过点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2），则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”或“=”）考点：一次函数图象上点的坐标特征．3481324分析：分别把点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）代入函数y=3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．解答：解：∵点A（﹣1，y1），点B（﹣2，y2）是函数y=3x上的点，∴y1=﹣3，y2=﹣6，∵﹣3＞﹣6，∴y1＞y2．故答案为：＞．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．10．（2022广西钦州，15，3分）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 y=x（答案不唯一）． ．考点：正比例函数的性质．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．故答案为：y=x（答案不唯一）．点评：本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时函数的图象经过一、三象限．11．（2022湖北孝感，18，3分）50\n如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完．考点：一次函数的应用．分析：先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论．解答：解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4=5升设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得20+8（5﹣a）=30，解得：a=，故关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷=8分钟．故答案为：8．点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．12．（2022·鞍山，11，2分）在一次函数y＝kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第象限．考点：一次函数图象与系数的关系．专题：探究型．分析：先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解答：解：∵在一次函数y＝kx+2中，y随x的增大而增大，∴k＞0，∵2＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．故答案为：四．点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时，函数的图象经过一、二、三象限． 13．（2022•东营，17，4分）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A202250\n的坐标为．答案：（注：以上两答案任选一个都对）解析：因为直线与x轴的正方向的夹角为30°，所以，在中，因为OA=1，所以OB=2，中，所以=4，即点的坐标为（0，4），同理=8，所在中，=16，即点的坐标为依次类推，点的坐标为或．14．（2022·潍坊，16，3分）一次函数中，当时，＜1；当时，＞0则的取值范围是____．答案：－2＜b＜3考点：一次函数与不等式的关系和不等式组的解法．点评：把和代入，然后根据题意再列出不等式组是解决问题的关键．15．（2022上海市，16，4分）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量（升）与行驶里程（千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是__________升．50\n16.函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．考点：函数自变量的取值范围．245761分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3≥0且2x+4≠0，解得x≥3且x≠﹣2，所以，自变量x的取值范围是x≥3．故答案为：x≥3．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 17.（2022四川内江，14，5分）函数y=中自变量x的取值范围是 x≥﹣且x≠1 ．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．解答：解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故答案为：x≥﹣且x≠1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18.（2022四川内江，24，6分）如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为 （884736，0） ．50\n考点：一次函数综合题．分析：本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=4n，求出OA4的长等于44，即可求出A4的坐标．解答：解：∵直线l的解析式是y=x，∴∠NOM=60°．∵点M的坐标是（2，0），NM∥x轴，点N在直线y=x上，∴NM=2，∴ON=2OM=4．又∵NM1⊥l，即∠ONM1=90°∴OM1=2ON=41OM=8．同理，OM2=4OM1=42OM，OM3=4OM2=4×42OM=43OM，…OM10=410OM=884736．∴点M10的坐标是（884736，0）．故答案是：（884736，0）．点评：本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用． 19.（2022四川内江，25，6分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 24 ．考点：一次函数综合题．分析：根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），50\n∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．20．（2022湖北省咸宁市，1，3分）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是 ①③④ ．（把你认为正确说法的序号都填上）50\n考点：函数的图象．分析：结合函数图象及选项说法进行判断即可．解答：解：根据图象可知：龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y1=20x﹣200（40≤x≤60），y2=100x﹣4000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟，此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5，y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．综上可得①③④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，有一定难度．三、解答题1．（2022山东临沂，24，9分）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）102030y（单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润＝售价－成本）15355575az【答案】：解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，50\n根据题意，得解得∴y与x之间的函数关系式为(10≤x≤70)．（2）设该机器的生产数量为x台，根据题意，得x()＝2000，解得x1＝50，x2＝80．∵10≤x≤70，∴x＝50．答：该机器的生产数量为50台．（3）设销售数量z与售价a之间的函数关系式为z＝ka＋b，根据题意，得解得∴z＝－a＋90．当z＝25时，a＝65．设该厂第一个月销售这种机器的利润为w万元，w＝25×(65－)＝625（万元）．【方法指导】在解函数题时，主要利用待定系数法求解析式，数形结合是常用的数学思想。2．（2022山东德州,24,12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转900，得到△DOC。抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F。求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由。【思路分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）求动点P坐标，需要进行探究，分类讨论存在情况，结合相似、列一元二次方程解题；要探究使△PCD的面积最大，寻求PN=PM－NM，S△PCD＝△PCN+△PND列出二次函数模型来解决.【解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO=3∵tan∠BAO=50\n∴OB＝OA·tan∠BAO＝3∵△DOC是由△AOB绕原点O逆时针旋转900而得到的。∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（－3，0）代放抛物线解析式得，a+b+c=0c=39a－3b+c=0解之得，a=－1,b=－2,c=3∴抛物线的解析式为：y=－x2－2x+3（2）①抛物线y=－x2－2x+3的对称轴l为：x==－1∴E点坐标为（－1，4）（ⅰ）当∠CEF＝900时，△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点。坐标为（－1，4）（ⅱ）当∠CFE＝900时，△CFE∽△COD。过点P做PMCA于点M，则△EFC∽△EMP。于是，,∴MP=3EM.即：－t2－2t+3=3(－1－t)。整理得：t2－t－6=0解之得：t1=－2,t2=－3（不合题意，舍去）。所以此时点P的坐标为（－2，3）所以当△CEF与△COD相似时点P的坐标分别为：（－1，4）或（－2，3）。②设直线CD的解析式为：y=kx+m则得：，解之得：k=,m=1所以直线CD的解析式为：y=x+1设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t,t+1）.∴PN=PM－NM=－t2－2t+3－（t+1）＝－t2－t+2则S△PCD＝△PCN+△PND50\n＝PN×CM+PN×OM=PN×(CM+OM)=PN×OC＝（－t2－t+2）＝－（t+）2+∴当t＝－时，S△PCD的最大值为。【方法指导】本题主要考查二次函数、一次函数与相似三角形、旋转等结合，具有较强探究性、同时融合方程思想、分类讨论思想、函数建摸等.3．（2022山东菏泽，17，14分）（每题7分）（1）已知m方程的一个实数根，求代数式的值.【思路分析】根据方程的解为m，的值，－2=0两边同时除以m可以得出可得的值.【解】（1）解法一：∵m方程的一个实数根∴∴，……………………3分∴原式=……………………5分……………………6分……………………7分解法二：解方程得：即：……………………4分当时，把代入当时，把代入……………………6分即：代数式的值为4.……………………7分【方法指导】本题考查了一元二次方程的解与求代数式的值.借助一元二次方程的解及其等式性质变形，巧妙运用整体代入发求出代数式的值.当然可以直接求出一元二次方程的解M的值，再代入计算.（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象与反比例函数图象交50\n于A、B两点·①根据图像求k的值;xyOAB（第17题）－1②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标.【思路分析】①根据A点的横坐标代入函数求出其纵坐标，然后将得出的A点坐标代入函数求出k值.（2）可以考虑AB是直角边、斜边进行分析.【解】①把代入得，故∵反比例函数图象过点A·∴………………………………………………………………………………3分②点P所有可能的坐标.、、、.……………………7分【方法指导】本题考查了一次函数与反比例函数本题考查图象与性质.一次函数与反比例函数交点坐标满足两个函数的数学表达式，可以根据一个交点的坐标求出另一交点坐标或某函数的K值.【易错提示】②问属存在型问题探究，一定要分类讨论，做到不重不漏.4．（2022山东日照，21，10分）（本小题满分10分）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3O00320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．【思路分析】（1）根据表格可得到每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式是一次函数关系，利用表格中所给的数据就可以求出关系式；（2）利用函数关系可以完成下表；（3）根据题意可以找到月收益与月租金之间的函数关系，再求出最值。【解】（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为.50\n由题：解之得：∴y与x间的函数关系是.……………………………3分（2）如下表：每空1分，共4分.租出的车辆数未租出的车辆数租出的车每辆的月收益所有未租出的车辆每月的维护费【方法指导】本题是一道现实生活中的问题，要把实际问题转化成数学模型，再利用纯数学的知识去解决。5．（2022广东湛江，25，10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1小时后后达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南业所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．50\n【思路分析】（1）从图中可读出一小时内小明走了20千米，由此可求速度，从图中也可直接读出小明玩了1个小时；（2）妈妈追上小明时，两个人走的路程相同，由此求出妈妈开车的速度以及直线的解析式。【解】（1）小明骑车的速度为：20千米/小时，在南亚游玩的时间为1小时；（2）设妈妈驾车的速度为x千米/小时，则解得(千米/小时)点C的坐标为（）设直线CD的解析为：所以，解得所以CD的解析式为：【方法指导】1.求某一段线段的解析式，只要知道这条线段上的两个点的坐标，然后用待定系数法即可求得，但有时也会从他们变化的规律来求；2.与行程有关的图形信息题中如果要求速度，一定要从图中读到一定的时间内路程的变化，用路程的变化除以时间的变化即为速度。3.本题中的追及问题就是两人在一定的时间走的路程相等。6．(2022四川成都，19，10分)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2)．(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)结合图象直接比较：当x＞0时，y1与y2的大小．50\nxyAO第19题图【思路分析】(1)将点A的坐标代入一次函数的解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数的解析式求出k的值．(2)在y轴右边比较两个函数值的大小．【解】(1)将点A(m，2)的坐标代入一次函数y1＝x＋1得2＝m＋1，解得m＝1．即点A的坐标为(1，2)．将点A(1，2)的坐标代入反比例函数y2＝得2＝．即k＝2．∴反比例函数的表达式为y2＝．(2)当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＝1时，y1＝y2；当x＞1时，y1＞y2．【方法指导】函数图象的交点是比较两个函数值大小的关键点．此题中，易知两图象的另一个交点是(－2，－1)．于是可知在y轴左边，当－2＜x＜0时，y1＞y2；当x＝－2时，y1＝y2；当x＜－2时，y1＜y2．7．(2022四川成都，26，8分)某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v(米/秒)关于时间t(秒)的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积．由物理学知识还可知：该物体前n(3＜n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和．根据以上信息，完成下列问题：(1)当3＜t≤7时，用含t的代数式表示v；(2)分别求该物体在0≤t≤3和3＜t≤7时，运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间．v(米/秒)t(秒)OABMCEND10237n第26题图【思路分析】(1)利用待定系数法求一次函数的解析式；(2)根据题意即物理学知识求出分段函数s的解析式，并列一元二次方程求出题中所需时间．【解】(1)设直线BC的解析式为v＝kt＋b．∵点B，C的坐标为(3，2)，C(7，10)．∴解得．50\n∴v＝2t－4(3＜t≤7)．(2)①依题意可知，当0≤t≤3时，s＝2t；当3＜t≤7时，s＝6＋[2＋(2t－4)](t－3)＝t2－4t＋9．综上所述，s＝②当t＝7时，s＝72－4×7＋9＝30．即总路程为30米．令t2－4t＋9＝30×．整理得t2－4t－12＝0．解得t1＝－2(不合题意，舍去)，t2＝6．答：该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间是6秒．【方法指导】此题涉及一次函数、分段函数、一元二次方程等知识．解决第(2)问的关键根据题意理解求路程的方法．8．(2022浙江湖州,22,8分)某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资（元）与种植面积（亩）之间的函数关系如图①所示；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是__▲__元，小张应得的工资总额是__▲__元；此时，小李种植水果__▲__亩，小李应得的报酬是__▲__元；（2）当10＜≤30时，求与之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为（元），10＜≤30时，求与之间的函数关系式．【思路分析】（1）根据图象数据解答即可；（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解．【解】（1）小张种植每亩蔬菜的工资是140元．小张应得的工资总额是2800元；小李种植水果10亩．小李应得的报酬是1500元．（2）当10＜≤30时，关于的函数图像经过点（10，1500），（30，3900）．50\n设＝，则解得∴（10＜≤30）．（3）当10＜≤30时，，∵，又∵当0＜≤10时，；当10＜≤20时，，∴当10＜≤20时，10＜≤20．∴＝＋＝＋＝．当20＜≤30时，0＜≤10，∴＝＋＝＋＝＋＋4500．∴与之间的函数关系式为：＝．【方法指导】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（3）难点在于要分情况讨论并注意m、n的取值范围的对应关系.【易错警示】本题第(3)问重点要根据m、n的取值范围进行分情况讨论。9．（2022四川南充，18，8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出与之间的函数关系式；（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】：解：（1）由函数图像知是的一次函数，设∵点（130，50）（150,30）在的图像上∴解得50\n∴与之间的函数关系式为（2）由题知所以每天的利润与销售单价之间的函数关系式为（或）∴若我是商场负责人，会将售价定为140元/件，可以保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元.【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据总利润=每件的利润×销售的件数为等量关系列出函数关系式，并整理得到一个二次函数，最后利用配方或公式法求出二次函数的最值即可.【方法指导】本题主要考查了利用待定系数法确定一次函数解析式，二次函数的实际应用中的利润问题以及二次函数的最值问题，均属于常见题型，难度适中，较易上手.10.(湖南株洲,19)某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如下图象（AC是线段，直线CD平行x轴）.⑴该植物从观察时起，多少天以后停止长高？⑵求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？【答案】：（1）50；（2）直线AC的解析式为;该植物最高长16厘米.【解析】:⑴.由图形可知，该植物从观察时起，50天以后停止长高.⑵.设直线AC的解析式为，由图知该直线经过点A（0，6）和点B（30，12），因此可列方程组解方程组得故直线AC的解析式为当时，所以该植物最高长16厘米【方法指导】:本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．50\n11．（2022湖北孝感，22，10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．解答：解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．由题意可得：解得故y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．12.50\n13.（2022•衢州10分）“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．（1）求a的值．（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？【思路分析】（1）根据原有的人数﹣a分钟检票额人数+a分钟增加的人数=520建立方程求出其解就可以；（2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出函数的解析式，再将x=20代入解析式就可以求出结论；（3）设需同时开放n个检票口，根据原来的人数+15分进站人数≥n个检票口15分钟检票人数建立不等式，求出其解即可【解析】（1）由图象知，640+16a﹣2×14a=520，∴a=10；（2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，y=﹣26x+780，当x=2时，y=260，即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人．（3）设需同时开放n个检票口，则由题意知14n×15≥640+16×1550\n解得：n≥4，∵n为整数，∴n=5．答：至少需要同时开放5个检票口．【方法指导】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答的过程中求出函数的解析式是关键，建立一元一次不等式是重点．14.（2022•绍兴8分）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式．（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．【思路分析】（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出结论；（2）将y=32代入（1）的解析式就可以求出x的值．【解析】（1）由图象得：出租车的起步价是8元，；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，故y与x的函数关系式为：y=2x+2；（2）当y=32时，32=2x+2，x=15答：这位乘客乘车的里程是15km．【方法指导】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．15．（2022上海市，21，10分）已知平面直角坐标系（如图6），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点，点（2，1）在这条直线上，联结，△的面积等于1．（1）求的值；50\n（2）如果反比例函数（是常量，）的图像经过点，求这个反比例函数的解析式．图616（2022陕西，21，8分）“五一节“期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是分们离家的距离(千米)与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象。（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？（2）求出AB段图象的函数表达式（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？；考点：此题考题与考点相对稳定，就是考查一次函数的应用及一次函数的增减性的判定，也有可能考查一元一次不等式组的应用及方案问题。解析：此题主要是将实际问题转化为函数的问题来解决，利用待定系数法来确定一次函数的表达式，给出自变量的值来求出相应的函数值。解：（1）由图象可设OA段图象的函数表达式为y=kxOy/千米x/小时901701.52.5BA第21题图当x=1.5时，y=90；所以：1.5k=90解得k=60即y=60x，（0≤x≤1.5）当x=0.5时，y=60×0.5=30答：行驶半小时时，他们离家30千米。（2）由图象可设AB段图象的函数表达式为因为A（1.5，90），B（2.5，170）在AB上，代入得解得：所以(3)当x=2时，代入得：y=80×2-30=130所以170-130=40答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米.8.（2022山西，24，8分）（本题8分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：50\n（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是.乙种收费方式的函数关系式是.（2）该校某年级每次需印制100~450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。【解析】（1）y=0.1x+6y=0.12x（2）解：由0.1x+6＞0.12x，得x＜300由0.1x+6=0.12x，得x=300由0.1x+6＜0.12x，得x＞300由此可知：当100≤x＜300时，选择乙种方式较合算；当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；当300＜x≤450时，选择甲种方式较合算。17.（2022四川巴中，30，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．245761专题：计算题．分析：（1）过点A作AD⊥x轴，在直角三角形AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；50\n（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出三角形AOC与三角形BOC的面积，相加即可得到三角形AOB的面积．解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 50\n18.（2022四川乐山，24，10分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点。（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式的解集；（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。19.（2022四川内江，21，10分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．X506090120y40383226（1）求y关于x的函数解析式；（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．考点：一次函数的应用．分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；50\n（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量不变建立方程求出其解，就可以求出计划的时间，然后代入（1）的解析式就可以求出结论．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x+50（30≤x≤120）；（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，由题意，得，解得：m=45∴原计划每天的修建费为：﹣×45+50=41（万元）．点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，列分式方程解实际问题的运用，设间接未知数在解答运用题的运用，解答时建立分式方程求出计划修建的时间是关键．20（2022四川遂宁，23，10分）四川省第十二届运动会将于2022年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论．解答：解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000；（2）由题意，得当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，解得：x=200当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；50\n当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．点评：本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点．21（2022贵州省黔东南州，23，12分）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据函数图象由待定系数法就可以直接求出y与x之间的函数关系式；（2）设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，根据购进甲品牌文具盒120个可以求出乙品牌的文具盒的个数，由共需7200元为等量关系建立方程求出其解即可；（3）设甲品牌进货m个，则乙品牌的进货（﹣m+300）个，根据条件建立不等式组求出其解即可．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+300；（2）∵y=﹣x+300；∴当x=120时，y=180．设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意，得120a+180×2a=7200，解得：a=15，∴乙品牌的进货单价是30元．答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元；50\n（3）设甲品牌进货m个，则乙品牌的进货（﹣m+300）个，由题意，得，解得：180≤m≤181，∵m为整数，∴m=180，181．∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元，由题意，得W=4m+9（﹣m+300）=﹣5m+2700．∵k=﹣5＜0，∴W随m的增大而减小，∴m=180时，W最大=1800元．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，解答时求出第一问的解析式是解答后面问题的关键． 22．（2022河北省，23，10分）如图15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t＝3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.解析：（1）直线交y轴于点P（0，b），由题意，得b>0，t≥0，b=1+t当t=3时，b=4∴50\n（2）当直线过M（3,2）时解得b=55=1+t∴t=4当直线过N（4,4）时解得b=88=1+t∴t=7∴4<t<7(3)t=1时，落在y轴上；t=2时，落在x轴上；323．（2022河南省，21，10分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A品牌的计算器需要元，购买个B品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式‘（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。【解答】（1）设品牌计算机的单价为元，品牌计算机的单价为元，则由题意可知：50\n即，两种品牌计算机的单价为30元，32元（2）由题意可知：，即当时，当时，，即（3）当购买数量超过5个时，。①当时，即当购买数量超过5个而不足30个时，购买品牌的计算机更合算②当时，即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。③当时，即当购买数量超过30个时，购买品牌的计算机更合算24．（2022湖北省鄂州市，20，8分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式．（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．50\n考点：一次函数的应用．分析：（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（3）设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇，根据轿车（x﹣4.5）小时行驶的路程+货车x小时行驶的路程=300千米列出方程，解方程即可．解答：解：（1）根据图象信息：货车的速度V货==60（千米/时）．∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）．答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，∴，解得，∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；（3）设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇．∵V货车=60千米/时，V轿车==110（千米/时），∴110（x﹣4.5）+60x=300，解得x≈4.68（小时）．答：轿车从甲地出发约4.68小时后再与货车相遇．点评：本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程=速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．25．（2022湖北省十堰市，1，7分）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：50\n类型价格进价（元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．解答：解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，解得x=75，所以，100﹣75=25，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，则y=（45﹣30）x+（75﹣50）（100﹣x），=15x+2000﹣20x，=﹣5x+2000，∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，∴100﹣x≤3x，∴x≥25，∵k=﹣5＜0，∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键． 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