锐角三角函数与特殊角一．选择题1．（2022兰州，9，3分）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ） A．csinA=aB．bcosB=cC．atanA=bD．ctanB=b考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．解答：解：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．A．sinA=，则csinA=a．故本选项正确；B．cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；C．tanA=，则=b．故本选项错误；D．tanB=，则atanB=b．故本选项错误．故选A．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（2022湖北孝感，8，3分）式子的值是（ ） A．B．0C．D．2考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案．解答：解：原式=2×﹣1﹣（﹣1）=﹣1﹣+1=0．故选B．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．15\n3.[2022湖南邵阳，9，3分]在△ABC中，若+(cosB-)2=0，则∠C的度数是() A．30° B．45° C．60° D．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A、∠B的角度数，从而求出∠C的度数.满分解答：解：由题意知=0，cosB-=0，解得sinA=，cosB=.所以∠A=45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°.故选C.名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2022•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至的位置，点B的横坐标为2，则点的坐标为（）A．(1，1)B．()C．(－1，1)D．()答案：C解析：在中，，，，所以，所以，过作轴于点C，在，，，，，又因为⊙O，且点在第二象限，所以点的坐标为（－1，1）．5.（2022杭州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据题意画出图形，如图所示，15\n在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6.（2022•衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）． A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m【答案】D．【解析】设CD=x，在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，则AD=x，在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，则ED=x，由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2022四川乐山，6，3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，则k的值为【】15\nA．－3 B．－6 C．－4 D．8．（2022重庆市，6，4分）计算6tan45°－2cos60°的结果是（）A．B．4C．D．5【答案】D．【解析】6tan45°－2cos60°＝6×1－2×＝5．【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提．9.(2022湖南邵阳,9,3分)在△ABC中，若,则∠C的度数是()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】：D．【解析】：∵，∴;∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．故选D．15\n【方法指导】：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．根据绝对值及完全平方的非负性，可求出、的值，继而得出∠A、∠B的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数．10．（2022重庆，9，4分）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）ADBC（第9题图）A．2B．C．D．【答案】D【解析】在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠A=45°，∴∠ACD=∠A=45°，∴AD=CD=1．在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠B=30°，∴BD=，∴AB=AD+BD=，故选D．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：，则a＝c·sinA，c＝；，则b＝c·cosA，c＝；，则a＝btanA；．11．(2022湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为()A．B．C．D．ABCO45°(第11题)ABCO45°图2D【答案】B【解析】如图2，过点B作BD⊥AC于D，∵OB＝1，∠AOB＝45°，∴BD＝OD＝．∴AD15\n＝1－．在Rt△ABD中，AB＝＝＝．∴sinC＝＝．故选B．【方法指导】∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝22.5°．此题说明sin22.5°＝．不难得出cos22.5°＝，tan22.5°＝＝－1．图2ABCD12.（2022深圳，11，3分）已知二次函数的图像如图2所示，则一次函数的大致图像可能是（）【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则，因抛物线的顶点在第四象限，则；据此，一次函数中，因，则图像自左向右是“上升”的，先排除C、D。又，则一次函数的图像与轴的正半轴相交，故B错误，A正确。【方法指导】考查一次函数数、二次函数的系数与图像间的关系，函数相关系数的几何意义，考查学生数形结合的能力和转化思想、观察判断能力，综合考查一次函数和二次函数的相关性质，虽说难度不是太大，但也具有一定的综合性，需要全面仔细的考虑，对相关知识熟练无误。二．填空题1．（2022贵州安顺，14，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．15\n解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积． 2．（2022湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 12 m（结果不作近似计算）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．点评：本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．15\n3．（2022·鞍山，13，2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA＝，∴AC＝AB•cosA＝8×＝6，∴BC＝＝＝2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4.2022杭州4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号【答案】．②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．15\n【方法指导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5（2022四川内江，22，6分）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，则sinA﹣sinB= ± ．考点：互余两角三角函数的关系．分析：根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解．解答：解：（sinA+sinB）2=（）2，∵sinB=cosA，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=﹣1=，则（sinA﹣sinB）2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA=1﹣=，∴sinA﹣sinB=±．故答案为：±．点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键．6.（2022浙江台州，14，5分）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为．ABOCD第14题【答案】：．【解析】连结OD，∵AB=4，则OA=OB=OC=2，OC=5，由于CD为⊙O的切线，则∠ODC=90°，∴sinC=。ABOCD【方法指导】本题考查切线的性质、三角函数的计算等知识点，其中连结半径OD是解决切线问题中的常用辅助线，从而构造直角三角形，解决三角函数问题。7．(2022浙江湖州,12,4分)如图，已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则15\n的值为__▲__．【答案】【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，所以BC=，所以，故填。【方法指导】本题考查了勾股定理和锐角三角函数。先利用勾股定理求出BC的长度，然后再根据余弦的定义求出的值。8.（2022四川南充，12，4分）如图，正方形ABCD的边长为，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．【答案】：【解析】设AD与BE交于点M，AC与BE交于点N，易知△MAN∽△BCN，进而得到，再过E作EF⊥BA交BA的延长线于F，可得EF=AF=，再根据△BMA∽△BEF得，即，解得MA=，所以=，由题知AC=4，则，解得AN=，因此tanE=.【方法指导】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义.准确的找出相似三角形及其对应线段是本题的突破口，也是难点，难度较大.15\n三．解答题1．（2022贵州安顺，19，6分）计算：2sin60°+2﹣1﹣20220﹣|1﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2×+﹣1﹣（﹣1）=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等考点的运算． 2.2022•新疆8分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）【思路分析】过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．先解直角△ACD，得出AD=CD=xkm，再解直角△BCD，得出BD=CD=xkm，然后根据AD﹣BD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．【解析】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，∴AD=CD=xkm．在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=xkm．∵AD﹣BD=AB，∴x﹣x=2，∴x=+1≈2.7（km）．故景点C到观光大道l的距离约为2.7km．【方法指导】本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．3.2022浙江丽水6分）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m15\n，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。4.（2022•宁波7分）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）【思路分析】在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=AD+BD即可求出AB的值．【解析】由题意得，∠EAC=45°，∠FCB=60°，∵EF∥AB，∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°，∵∠ACD=∠CAD=90°，在Rt△CDB中，tan∠CBD=，∴BD==17米，∵AD=CD=51米，∴AB=AD+BD=51+17．答：A，B之间的距离为（51+17）米．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．5．（2022贵州省六盘水，22，10分）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：15\nsin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°=tan（45°﹣30°）===根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据，）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）把15°化为45°﹣30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．解答：解：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=﹣=；（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°．15\n∵tan75°=tan（45°+30°）===2+，∴BE=7（2+）=14+7，∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）．答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．点评：本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．（2）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．6.(2022山东烟台，20,6分)如图一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60º方向的C地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°方向上．A地位于B地北偏调西75°方向上．AB两地之间的距离为12海里．求A．C两地之间的距离.(参考数据：≈l.41，≈1.73，≈2．45.结果精确到0.1．)【思路分析】△ABC不是直角三角形，可过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，构造双直角三角形Rt△BCD和Rt△ABD.根据已知条件可求出∠ACB，∠DAB的度数，然后利用AB=12分别求出AD、CD的长度即可求解.【解】如图，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，由题意，得∠ACB=60°－30°=30°.∠ABC=75°－60°=15°∴∠DAB=∠DBA=45°15\n在Rt⊿ADB中.AB=12．∠BAD=45°，∴BD=AD=在Rt⊿BCD中，∴（海里）答：AC两地之间的距离约为6.2海里【方法指导】本题考查利用解直角三角形解决实际问题中的方位角问题.解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：①根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；②若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.同时，解题过程中应注意方程思想的运用.15
