知识点18二次函数概念、性质和图象一、选择题1.（2022山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（－1，0）则①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b²－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a＋b＋c,故①正确；因为抛物线经过点B（－1,0），所以当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0,故②错误；因为该函数图象与x轴有两个交点A、B，所以b²－4ac＞0，故③错误；因为点A与点B关于直线x＝1对称，所以A(3，0)，根据图像可知，当y＞0时，－1＜x＜3，故④正确；故选B．【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2.（2022四川泸州，10题，3分）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为（）A.或B.或C. D.【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a2-a+3，对称轴为x=-1，当时，随的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为时，的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=1时，y=9，带入可得，a1=1，a2=-2，又因为a>0，所以a=1【知识点】二次函数，增减性41\n3.（2022甘肃白银，10，3）如图是二次函数是常数，图像的一部分，与轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是=1，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，，其中正确的是（）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与轴的交点逐一判断即可。【解题过程】解：①②∵抛物线的开口向下∴∵抛物线的对称轴=1，即，∴∴①②正确。③∵当=-1时，=，由对称轴为=1和抛物线过轴上的A点，A点在2与3之间，则抛物线与轴的另一个交点则在-1到0之间，所以当x=-1时，抛物线。所以③错误。④∵当=1时，抛物线,此点为抛物线的顶点，即抛物线的最高点，也是抛物线的最大值。当时，，∴此时有：，即，所以④正确。⑤∵抛物线过轴上的A点，A点在2与3之间，则抛物线与轴的另一个交点则在-1到0之间，由图知，当时，有一部分图像位于轴下方，说明此时，同理，在时，也有一部分图像位于轴下方，说明此时。所以⑤错误。故选A【知识点】抛物线的图像与抛物线中系数a,b,c的关系，抛物线的对称轴与抛物线中系数a,b,c的关系，抛物线与轴的交点与对称轴的关系，抛物线的几个特殊点即：，等。41\n（2022安徽省，10，4分）如图,直线都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象太致为（）【答案】A【思路分析】这是一道动面问题，需要分段思考，求解关键是根据函数的表达方法（解析式法，列表法和图像法）之间的联系，先确定函数解析式，再选择图像．其中，在图形运动过程中，确定三种运动状态下的图形形态是重中之重．其中关键是确定图形变化联系瞬间的静态图形位置，从而得到分界点，然后再作动态思考，确定各种情况下的取值范围．最后求出各部分对应的函数关系式，运用函数的图像、性质分析作答．有时，直接根据各运动状态（如前后图形的对称状态带来函数图像的对称，前后图形面积的增减变化带来函数图像的递增或递减等），就能求解．【解题过程】∵正方形边长为，∴AC=BD=2.（1）如图1，当C位于之间，（2）如图2，当D位于之间，设PR=a,则SQ=1-a,DP+DQ=所以（3）如图3，当A位于之间，综上所述，y关于x的函数大致如选择支A所示。41\n【知识点】函数的图象；分段函数；分类讨论4.（2022湖南岳阳，4，3分）抛物线的顶点坐标是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】解：因为为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，5）．故选C.【知识点】二次函数的性质5.（2022湖南岳阳，8，3分）在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为（）41\nA．1B．C．D．【答案】D.【解析】解：根据题意可得A，B，C三点有两个在二次函数图象上，一个在反比例函数图象上，不妨设A，B两点在二次函数图象上，点C在反比例函数图象上，∵二次函数的对称轴是y轴，∴=0.∵点C在反比例函数上，∴=，∴.故选D.【知识点】二次函数的性质，反比例函数的性质6.（2022江苏连云港，第7题，3分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间r(s)满足函数表达式h=－t2+24t+1.则下列说法中正确的是A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145【答案】D【解析】解：A、当t=9时，h=－81+216+1=136，当t=13时，h41\n=－169+312+1=144，升空高度不相同，故A选项说法错误；B、当t=24时，h=－576+576+1=1，火箭得升空高度是1米，故B选项说法错误；C、当t=10时，h=－100+240+1=141，故C选项说法错误；D、根据题意，可得：最大高度为：，故D选项说法正确，故选D.【知识点】二次函数的应用；函数值；二次函数的最大值7.（2022山东潍坊，9，3分）已知二次函数(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【答案】B【解析】二次函数，当x=h时，有最大值0，而当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，故h＜2或h＞5.当h＜2时，2≤x≤5时，y随x的增大而减小，故当x=2时，y有最大值，此时，解得：h1=1，h2=3（舍去），此时h=1；当h＞5时，2≤x≤5时，y随x的增大而增大，故当x=5时，y有最大值，此时，解得：h1=6，h2=4（舍去），此时h=6；综上可知h=1或6故选择B.【知识点】二次函数的图象和性质8.（2022山东潍坊，12，3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米²，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）【答案】D【思路分析】分为点Q在BC段和CD段上分别讨论函数的图象结合运动规律即可判断出函数关系的图象.41\n【解题过程】解：当0≤t≤2时，点Q在BC上，此时BP=4－t，BQ=2t，是一段开口向下的抛物线的一部分，可排除答案A和C，当2≤t≤4时,△BPQ的高不变，始终为4sin60°=，此时,面积随底边的减小而减小，最终变为0，故选择D.【知识点】函数的图象，分段函数，菱形的性质9.（2022年山东省枣庄市，9，3分）如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【思路分析】首先由图像得出a，c的符号以及与x轴的交点，再由对称轴得到a，b的关系，最后根据二次函数图像的对称性得到点A关于对称轴对称的点的坐标得a-b+c的关系.【解题过程】解：由图像的开口向上可知a＞0，与x轴交于负半轴可知c＜0，∴ac＜0，A错误；图像与x轴有两个交点可知，即，B错误；由对称轴是直线得，∴b=-2a，2a-b=2a-(-2a)=-4a＜0,∴C错误；由二次函数图像的对称性可得二次函数图像与x轴的另一个交点的坐标为（-1，0），∴，D正确.故选D.【知识点】二次函数的图像与性质10.（2022四川省成都市，10，3）关于二次函数y＝＋4x－1，下列说法正确的是（）A．图像与y轴的交点坐标为（0，1）B．图像的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－3【答案】D41\n【解题过程】解：因为当x＝0时，y＝－1，所以图像与y轴的交点坐标为（0，－1），故A错误；图像的对称轴为x＝＝－1，在y轴的左侧，故B错误；因为－1＜x＜0时，在对称轴的右侧，开口向上，y的值随x值的增大而增大，故C错误；y＝＋4x－1＝－3，开口向上，所以有最小值－3，D正确．故此选择D．【知识点】二次函数的性质11.（2022四川省达州市，10，3分）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0;③若点M（，y1）、N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④－＜a＜－.其中正确结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个第10题图【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵－＞0，∴b＞0．∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0．∴abc＜0，①正确；当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＞0，②正确;∵对称轴为直线x＝2，点M（，y1）与对称轴的距离大于点N（，y2）与对称轴的距离，∴y1＜y2，③正确；41\n∵抛物线与x轴的交点坐标分别为A（－1，0），（5，0），∴二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－5）＝a（x2－4x－5）＝ax2－4ax－5a．∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），∴2＜－5a＜3．∴－＜a＜－，④正确.故选D.【知识点】二次函数的图象与性质12.（2022四川广安，题号7，分值：3）抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D.【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=(x-2)2-1.【知识点】二次函数图像的平移13.（2022浙江绍兴，9，3分）若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．B．C．D．【答案】B41\n【解析】由抛物线的对称轴为直线，，可求得抛物线，，抛物线与轴两个交点间的距离为2，可知，即抛物线解析式为，由将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，可得平移后的抛物线为：，当时，，也即是抛物线过，故选B【知识点】二次函数的图像和性质、二次函数的平移、二次函数的解析式14.（2022湖南衡阳，12，3分）如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【思路分析】根据抛物线的开口方向向下，可得a＜0，由顶点坐标（1，n），得对称轴为直线x=1，即-=1，所以b=-2a，故3a+b=a，据此可判断结论①的正误；根据抛物线与y轴的交点位置可知，2≤c≤3，由抛物线经过点A（-1，0），可得a-b+c=0，代入b=-2a，得c=-3a，即2≤-3a≤3，据此可判断②的正误；由抛物线顶点坐标为（1，n），可知当x=1时，函数有最大值n，且a+b+c=n，因此a+b+c≥am2+bm+c，化简即可判断故③的正误；结合图象可知，直线y=n-1与抛物线有两个交点，即一元二次方程ax241\n+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故可得出④的正误，进而可得出答案.【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x=1，∴-=1，∴b=-2a，∴3a+b=3a+（-2a）=a＜0，故①正确；∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3.∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），∴a-b+c=0，∴a-（-2a）+c=0，∴c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，故②正确；∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数有最大值n，即a+b+c=n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③正确；∵抛物线顶点坐标为（1，n），抛物线开口向下，∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确.综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选D．【知识点】二次函数的图象与性质、抛物线与一元二次方程的关系、数形结合思想15.（2022湖南长沙，12题，3分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3,x02-16），则符合条件的点P（）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无穷多个【答案】B【解析】由题意得y=a(x+2)(x-1)，总不经过点P（x0-3,x02-16），将点P坐标带入抛物线的解析式，得a(x0-1)(x0-4)≠(x0-+4)(x0-4)恒成立。①当x0=1时，得0≠-15，恒成立，带入解析式可得P1（-2,-15）；②x0=4时，左边＝右边=0，不符合题意；③当x0=-4时，得40a≠0，因为a≠0，所以不等式恒成立，带入解析式可得P2（-7,0）；④当x0≠1且x0≠4且x0≠-4时，a≠不恒成立。综上所述，存在两个点P1（-2,-15），P2（-7,0）41\n【知识点】二次函数16.(2022山东青岛中考，8，3分)已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由一次函数的图象可知＜0，c＞0．∵＜0，∴－＞0，∴二次函数的图象的对称轴在y轴右侧，∵c＞0，∴二次函数的图象与y轴交于y轴正半轴，观察可知选项A中图象符合描述．故选A．【知识点】一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；17.（2022山东威海，9，3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，下列结论错误的是()A．abc＜0B．a＋c＜bC．b2＋8a＞4acD．2a＋b＞041\n【答案】D【解析】由函数图象的开口向下，判断a＜0；由函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上，判断c＞0；由对称轴在y轴的右侧，判断＞0，所以b＜0，所以abc＜0，A结论正确；当x＝－1时，函数值为负，故a－b＋c＜0，所以a＋c＜b，B结论正确；若C正确，则有b2＞4ac－8a，b2＞4a（c－2），＜c－2，根据图象可知，c＞2，则c－2＞0，故此时＞0不成立，则C结论错误；＜1，所以－b＞2a，即2a＋b＜0，故D结论错误；故选D．【知识点】抛物线y＝ax2＋bx＋c与系数a、b、c的关系18.（2022山东烟台，11，3分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）．下列结论：①②③当时，y<0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【答案】D【解析】①∵A（－1，0），B（3，0），∴对称轴是直线，∴2a+b=0，又∵a≠0，b≠0，∴①错误，可以排除A选项；②∵x=－1时，y=a－b+c=0，∴a+c=b，∴(a+c)2=b2，∴②错误，可以排除B，C选项，∴只剩D选项，故选D．③当时，抛物线在x轴下方，y<0，∴③正确；④当a=1时，抛物线y=(x+1)(x－3)=x2－2x－3=(x－1)2－4，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得抛物线y=(x－1－1)2－4+2=(x－2)2－2，∴④正确；故选D．【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式的关系；41\n19.（2022山东烟台，12，3分）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系式的图象是（）【答案】A【解析】∵Q从A→B→C走过的路程为8+6=14cm，速度为2cm/s，∴Q从A→B→C用的时间为14÷2=7s；又P从A→D→C走完全程需要的时间为14÷1=14s，又∵当一个点到达C点时，另一个点也随之停止，∴当Q到达C时，P还在DC上，运动停止．41\n③②①当0≤t≤4时，如图①，∵AP=t，AQ=2t，∴，∴可以排除C、D选项；当4＜t≤6时，如图②，作QH⊥AD，∵AP=t，HQ=8，∴，可以排除B、D选项；∴此时只能选A；当6＜t≤7时，如图③，∵DP=t－6，PC=14－t，CQ=14－2t，∴S=S梯形AQCD－S△ADP－S△PCQ=(14－2t+6)·8－×6(t－6)－(14－t)(14－2t)=－t2+10t，各选项都符合．综上所述，只有A符合，选A．【知识点】动点问题的函数图象；分段函数的表示，关键找分界点.20.（2022天津市，12，3）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(-1,0)，(0,3)，其对称轴在y轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点(1,0)；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③-3<a+b<3.其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C.2D．3【答案】C【解析】分析：本题综合考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握a、b、c与二次函数图象的关系即可选出正确的结果.解：由抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(-1,0)，(0,3)，其对称轴在y轴右侧，可知图象开口向下最大值大于3，所以图象不过(1,0)，方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，a+b<3故选C.41\n【知识点】二次函数图象与系数的关系；对称轴；21.（2022浙江湖州，10，3）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（－1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2－x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤－1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤－1或a≥【答案】A【解析】分a＞0和a＜0两种情况讨论．原二次函数必经过点（0，2），且对称轴是x＝．当a＜0时，如图①，对称轴在y轴的左侧，要保证抛物线和线段有两个交点只需要抛物线上横坐标是－1的点在点M的下方或经过点M即可．∴a+1+2≤2．∴a≤－1．当a＞0时，如图②，对称轴在y轴右侧，要保证抛物线和线段有两个交点需要联立抛物线和直线的解析式让判别式大于等于0，且抛物线上横坐标是2的点在点N的上方或经过点N．设一次函数的解析式为y＝kx+b，将点M（－1，2）和点N（2，1）代入得解得∴y＝．令ax2－x+2＝，则3ax2－2x+1＝0．判别式为4－4×3a×1＞0．解得a＜．当x＝2时，代入抛物线得y＝4a－2+2＝4a．令y≥1，则有4a≥1．∴a≥．所以a的范围是≤a＜．综合①②可得，a的取值范围是a≤－1或≤a＜．故选A.【知识点】抛物线的性质、对称轴，一次函数41\n22.（2022宁波市，11题，4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P,若点P的坐标为-1则一次函数y=a-bx+b的图象大致是（第11题图）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：把x=-1带入y=ax2+bx的a-b<0∵开口向下，∴a<0又∵对称轴位于y轴左侧∴a,b同号，∴b<0∴y=a-bx+b图象经过二、三、四象限∴答案为D【知识点】二次函数的图象、一次函数的图象1.（2022湖北鄂州，7，3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点P在边BC上从点B向点C运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿折线C→D→A运动，速度为2cm/s．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设点P运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），则描述S（cm2）与t（s）时间的函数关系的图象大致是（）41\n【答案】A．【解析】由题意可知，0≤t≤4，当0≤t＜2时，如下图（1）所示，S＝BP·CQ＝t·2t＝t2；当t＝2时，如下图（2）所示，点Q与点D重合，则BP＝2，CQ＝4，故S＝BP·CQ＝×2×4＝4；当2＜t＜4时，如下图（3）所示，点Q在AD上运动，S＝BP·CD＝t·4＝2t．故选A．【知识点】函数图象；一次函数；二次函数；矩形性质；三角形面积41\n2.（2022湖北黄冈，6题，3分）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A.-1B.2C.0或2D.-1或2【答案】D【解析】y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内最小值为0，但题中说当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，因此，当x=a或x=a+1时，函数值为1，令y=1，可得x1=0，x2=2，再由该函数的增减性可知a+1=0，或a=2，即a=-1或2，故选D【知识点】二次函数的最值，增减性3.（2022湖北鄂州，9，3分）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a－2b＋c＞0；③2a－b＞0；④3a＋c＞0．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】由二次函数图象开口向下可知，a＜0，由“左同右异”可知b＜0，由图象与y轴交于正半轴可知c＞0，故abc＞0，故①正确；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c，由图象可知，当x＝－2时，y＞0，即4a－2b＋c＞0，故②正确；由图象可知，对称轴为：直线x＝－1，即，则b＝2a，故2a－b＝0，故③错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＝a＋2a＋c＝3a＋c，由图象与x轴交于点A（1，0）可知，当x＝1时，y＝0，即3a＋c＝0，故④正确．故选C．【知识点】二次函数；对称轴；开口方向；点的坐标41\n4.（2022湖南益阳，10，4分）已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ac＜0B．b＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＜0【答案】B【思路分析】a由开口方向决定，b由对称轴与a的符号决定，c由抛物线与y轴交点位置决定，b2－4ac由抛物线与x轴交点个数决定，a+b+c的符号取决于x=1时，抛物线的位置．【解析】解：抛物线开口向上，a＞0，与y轴交点在y轴正半轴，c＞0，ac＞0,选项A错误；对称轴在y轴右侧a，b异号，故b＜0，选项B正确；抛物线与x轴有两个交点，b2－4ac＞0，选项C错误；由图象可知，当x=1时，y＞0，所以a＋b＋c＞0，选项D错误，故选择B．【知识点】二次函数的图象和性质5.（2022内蒙古呼和浩特，10，3分）若满足<x≤1的任意实数x，都使不等式成立，则实数m的取值范围是（）A.m<-1B.m≥-5C.m<-4D.m≤-4【答案】D【解析】解：∵＜x≤1，∴将原不等式化为，设，∵＜x≤1，∴，二次函数对称轴为,开口向上，与y轴的交点为（0，-m），41\n（0，-m）关于对称轴对称的点（，-m）当时，随x的增大而增大，如图，结合图象可知：∴当-m≥4，＜x≤1时，，即m≤-4,＜x≤1时，不等式总成立。【知识点】二次函数图象与性质，反比例函数图象图象与性质6.(2022山东菏泽，8，3分)已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）41\nA．B．C．D．【答案】B【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0；∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴b＜0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0；再由二次函数的图象看出，当x=1时，y=a+b+c＜0；∵b＜0，a＞0，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；∵a+b+c＜0，∴反比例函数的图象位于第二、第四象限，两个函数图象都满足的是选项B．故选B．【知识点】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；7.（2022四川遂宁，9，4分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】解：根据抛物线的图象可得a＞0，c＜0，根据对称轴可得，所以b＜0，所以abc＞0.∵当x=1时，函数的图象位于x轴的下方，41\n∴a+b+c＜0.故选C.【知识点】二次函数图象与系数的关系8.（2022河北省，16，2）对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c（0≤x≤3）与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D【解析】令－x(x－3)＋c＝x＋2，得x2－2x＋2－c＝0．x＝2±4-4（2-c）2×1＝1±c-1．当c＝1时，x1＝x2＝1．只有一个交点，且满足0≤x≤3，符合题意；当c＝2时，x1＝2，x2＝0，有两个交点，不符合题意；当c＝3时，x1＝1＋2，x2＝1－2，满足0≤1＋2≤3，符合题意；当c＝4时，x1＝1＋3，x2＝1－3，满足0≤1＋3≤3，符合题意；当c＝5时，x1＝3，x2＝－1，满足0≤3≤3，符合题意．可以验证，当c取超过5的整数时，均不符合题意．所以c的取值为1，3，4，5．故选D．【知识点】二次函数的图象，一次函数9.（2022山东德州，7，3分）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的象可能是ABCD41\n【答案】B【解析】当a＞0时，二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，一次函数的图象上升，删去A、C；当a＜0时，二次函数图象的对称轴在y轴的左侧，删去D.故选B.【知识点】函数中参数的作用10.（2022山东省日照市，11，3分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示.下列结论：①abc<0；②2a－b<0；③b2>(a+c)2；④点（－3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1>y2.其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】观察图象知抛物线开口向上，所以a>0，对称轴在x轴负半轴，所以a，b同号，所以b>0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以abc<0，故①正确；因为对称轴位于0和-1之间，所以－>－1，所以<1，b>2a，2a-b<0，故②正确；当x=1时，a+b+c>0，a+c>－b，因为－b<0，所以b2>(a+c)2不一定成立，故③错误；设抛物线与x轴两交点横坐标分别为x1，x2且x1在x2左边，因为x1-3>1-x2，所以y1>y2，④正确，所以正确的个数是3，故选B.【知识点】二次函数图象数形结合11.（2022广东广州，11，3分）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．【答案】增大【解析】二次函数y＝x2的图像为抛物线，开口向上，对称轴为y轴，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而增大．【知识点】二次函数的图像和性质12.（2022广东省深圳市，11，3分）二次函数的图像如图所示，下列结论正确是()41\nA．B．C．D．有两个不相等的实数根【答案】B．【思路分析】根据二次函数图象开口判断a的符号，再由“左同右异”判断b的符号，再根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，根据抛物线对称轴判断2a－b的符号，当x＝－1时，y＝a＋b＋c＝a＋2a＋c＝3a＋c，故可根据x＝1时，y值的符号判断a＋c的符号；由当y＝3时对应的x值的个数可以判断出的实数根情况．【解析】由二次函数图象开口向下可知，a＜0，由“左同右异”可知b＞0，由图象与y轴交于正半轴可知c＞0，故abc＜0，故A选项错误；由图象可知，对称轴为：直线x＝1，即，则b＝－2a，故2a＋b＝0，故B选项正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a＋2a＋c＝3a＋c，由图象与x轴交于（－1，0）可知，当x＝－1时，y＝0，即3a＋c＝0，故C选项错误；当y＝3时，，即，由图象可知，当y＝3时x＝1，故有两个相等的实数根错误，故D选项错误；故选B．【知识点】二次函数；对称轴；开口方向；点的坐标13.（2022贵州安顺，T10，F3）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论：①abc<0；②b2-4ac>0;③3a+c>0；④(a+c)2<b2.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个41\n【答案】B【解析】由图象可知，开口向下，则a＜0，对称轴在x轴负半轴，则＜0，即b＜0，抛物线交y轴正半轴，则c＞0，即abc＞0，故①错误；抛物线与x轴有两个交点，则＞0，即b²-4ac>0，故②正确；当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0（1），当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），（1）+（2）×2，得6a+3c＜0，∵a＜0，∴a+（2a+c）＜0，故③错误；∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＞0，∴（a+b+c）（a-b+c）=（a+c）²-b²＜0.∴（a+c）²＜b²，故④正确.综上所述，正确的结论有2个，故选B.【知识点】二次函数图象与系数的关系.14.（2022四川雅安，11题，3分）已知函数y=，则此函数的图象大致是ABCD【答案】A【解析】由解析式可知，x≥0，y≥0，故排除B、C两项，因为y=，所以，随着x的增大，y也在增大，但是变大的速度会变慢，因此，选A【知识点】函数的取值范围，增减性41\n15.（2022湖北荆门，12，3分）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确的结论有（）A．个B．个C.个D．个【答案】B.【解析】∵二次函数的顶点坐标为，∴，解得.∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∴4a+2b+c=4a+8a-5a=7a＞0，故①正确；∴5a-b+c=5a-4a-5a=-4a＜0，41\n故②错误；∵y=ax2+bx+c=ax2+4ax-5c=a(x2+4x-5)=a(x+5)(x-1)，∴二次函数与x轴的交点坐标为（-5，0）和（1，0），∴若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根和，且，则，故③正确；∵二次函数的对称轴为直线x=-2，∴若方程有四个根，则这四个根的和为-8.故④错误.故选B.【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数与方程16.（2022广西玉林，12题，3分）如图，一段抛物线y=-x2+4(-2≤x≤2)为C1，与x轴交于A0、A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，与线段D1D2交于点P3(x3,y3)，设x1,x2,x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是A.6＜t≤8B.6≤t≤8C.10＜t≤12D.10≤t≤12【答案】C【解析】当-2≤x＜2时，表达式为y=-x2+4，其对称轴为x=0，所以此时x1+x2=0，但x1、x2中必有一个负数，因此这种情况不考虑；由旋转的特点和方式可知，当2＜x≤6时，表达式为y=(x-4)2-4，其对称轴为x=4，所以此时x1+x2=8，又可求得D1(0,4)，A1(2,0)，D2(4,-4)，所以当2＜x≤6时，2＜x3≤4，当直线l为x轴时，与C1C2有3个公共点，与题意不符，故舍去，因此当2＜x≤6时，x1+x2=8，2＜x3≤4，故10＜t≤12，选C【知识点】二次函数，对称性41\n17.（2022湖南省永州市，9，4）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象大致是（）A．B．C.D．【答案】D【解析】A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项正确．因此，本题选D．【知识点】反比例函数、二次函数的图象与性质18.（2022四川攀枝花，6，3）抛物线的顶点坐标为()A.(1.1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)【答案】A【解析】化为顶点式得，，所以抛物线的顶点坐标为，所以选A【知识点】抛物线的顶点19.（2022湖北省孝感市，9，3分）如图，在中，，，，动点从点41\n开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）ABCD【答案】C【解析】由题意可知：PB=3-t，BQ=2t．所以＝PB•BQ＝（3－t）•2t＝－＋3t．由二次函数图象的性质可知，的面积随出发时间的函数关系图象大致是开口向下的抛物线．故选C．【知识点】二次函数的图象；动点问题的图象.20.（2022四川凉山州，12，4分）二次函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.41\n【答案】C【解析】∵图象开口方向向下，则a＜0，又∵图象对称轴为直线x=2，，，∴，故A选项正确；，故B选项正确；并且，故C选项错误；由图像可知图象与x轴另一交点坐标为：（5，0），∴，故D项正确；故选：C．【知识点】二次函数综合，二次函数的图像与性质21.（2022山东省泰安市，7，3）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）41\n【答案】C【解析】先由二次函数的图象确定a、b的符号，再根据a、b的符号来确定一次函数与反比例函数的图象的位置.解：∵二次函数的图象开口向上，∴a>0．∴反比例函数位于一、三象限，∵抛物线的对称轴y轴左侧，∴∴b>0．∴直线位于一、二、三象限，故选C.【知识点】二次函数的图像及性质；一次函数的图像及性质；反比函数的图像及性质.22.（2022陕西，10，3分）对于抛物线，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【思路分析】根据题目给出的条件求出a的取值范围，把抛物线的顶点坐标用含字母a的代数式表示出来，得出顶点横纵坐标的符号，即可判断所在象限．【解题过程】∵抛物线，当x=1时，y＞0，∴．解得：a＞1．41\n∵，抛物线顶点坐标为：（，）∵a＞1，∴，．∴该抛物线的顶点一定在第三象限．故选择C．【知识点】二次函数的图象和性质二、填空题1.（2022年山东省枣庄市，17，4分）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点.图2是点运动时，线段长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是.【答案】12【思路分析】将动点P的运动过程划分为BC、CA、AB共3个阶段，分别进行分析，最后得出结论．【解题过程】动点P运动过程中：①当动点P在BC上时，BP由0到5逐渐增加，所以可得BC=5；②当动点P在AC上时，BP先变小后变大且当BP垂直AC时，BP最小为4；③当动点P在AB上时，BP由5到0逐渐减小，所以可得AC=5，由题意可得△ABC等腰三角形，AB=BC=5，且底边上高为4，BP垂直AC时，勾股定理可得AP=CP=3,所以△ABC面积=．【知识点】函数的图像；分类讨论思想；数形结合思想41\n2.（2022四川广安，题号15，分值：3）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有____.①abc＞0②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3③2a+b=0④当x＞0时，y随x的增大而减小第15题图【答案】①②③.【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，∴a＜0.∵二次函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0.∵x=-b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0.则①正确；由二次函数图像与x轴的交点横坐标为3，对称轴x=1，则另一个点的横坐标为2×1-3=-1，∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3.∴②正确；∵对称轴为x=-b2a=1，则2a+b=0.41\n∴③正确；∵二次函数图像的开口向下，对称轴为x=1，∴当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小.∴④错误.故正确的有①②③.【知识点】二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程3.（2022四川省南充市，第16题，3分）如图，抛物线（，，是常数，）与轴交于，两点，顶点.给出下列结论：①；②若，，在抛物线上，则；③关于的方程有实数解，则；④当时，为等腰直角三角形，其中正确结论是（填写序号）．【答案】②④【思路分析】①根据抛物线的对称轴＜，得到a，b之间的关系，再根据当x=－1时的函数值大于0，得到关于a，b，c的关系式，两式相加即可；②结合图象，根据抛物线的增减性，直接判断即可；③根据题意，易得抛物线y=的顶点坐标，从而可得0，利用抛物线的顶点坐标，用含m的式子表示n，然后将其代入0即可；④利用顶点坐标公式，表示出n的值，又根据，可得=，整理得到，利用根与系数的关系，求出AB的长度，在利用等腰直角三角形的判定证明即可.41\n【解题过程】解：①∵抛物线的开口向上，∴>0，∵<，∴>0，由函数图像知（－1，）在抛物线上，∴>0，∴（）+（）>0即>0，∴①错误；②∵>0，<，y随x增到而减小，<，∴>，从图象可以看出x=到对称轴的距离小于x=到对称轴的距离，∴>，∴>>，∴②正确；③∵若关于的方程有实数解，∴抛物线与轴有交点，抛物线是抛物线向上或向下平移得到的.∴抛物线的顶点坐标为，∴0，∵抛物线的顶点为，∴，∵＝＝0，∴，∴，∴③错误；④∵抛物线的对称轴为，∴顶点的纵坐标为，∵抛物线的顶点为，，∴=整理得：，设抛物线与轴交于A、B两点，，,对称轴=与轴交于D点，如下图：∴，是一元二次方程两根，+=，=，∵AB=，∴AB==，∵对称轴PD==与轴交于D点，∴BD=AB=，∵AD==，∴BD=AD，∵PD⊥AB，∴∠PBD=45°，∵PA=PB，∴∠PBA=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴④正确.综上所述：正确的结论②④.41\n【知识点】二次函数图像性质与二次函数系数的正负关系，二次函数的在区间内的单调性，二次函数图像的平移，二次函数与一元二次方程的思想，二次函数最值4.（2022山东省淄博市，16，4分）已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）.若B、C是线段AD的三等分点，则m的值为_____________________________.【答案】2或8【思路分析】求出点A、B的坐标，利用三等分点得到的线段相等求解.【解题过程】易求点A（-3,0），B（1,0），若平移中C在AB之间且B、C是线段AD的三等分点，则AC=CB，此时C（-1,0），m=2；若平移中C在B点右侧且B、C是线段AD的三等分点，则AB=BC，此时C（5,0），m=8.【知识点】二次函数的特征点5.（2022四川省德阳市，题号17，分值：3）已知函数y=x-22-2,x≤4,(x-6)2-2,x>4.使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为____.【答案】2.【解析】画出函数解析式的图像，要使y=a成立的x的值恰好只有3个，即函数图像与y=2这条直线有3个交点，即a=2.第17题答图【知识点】二次函数的应用41\n1.（2022武汉市，15，3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是___________m【答案】24【思路分析】由＝知在飞机着陆滑行20s时滑行的距离最大600m，然后再求出飞机滑行16s时滑行的距离，即可求出飞机最后4s滑行的距离.【解题过程】∵＝，∴当t=20时，滑行到最大距离600m时停止；当t=16时，y=576，所以最后4s滑行24m.【知识点】求二次函数顶点坐标已知自变量的值求函数值2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.41\n16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题41\n1.（2022浙江杭州，22，12分）设二次函数（是常数，）（1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由.（2）若该二次函数的图象经过A（-1,4），B（0，-1），C（1,1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；（3）若，点P（2，m）(m>0)在该二次函数图象上，求证：.【思路分析】（1）比较根的判别式与0的大小关系；（2）根据函数关系式特点可判断出一定过（1,0）且不经过（1,1），故代入另两点求出；（3）将P点代入结合，运用等式或不等式的性质整体转换【解题过程】【知识点】二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程解的关系；二次函数的解析式；点与函数图象的关系2.（2022浙江湖州，19，6）已知抛物线y＝ax2+bx—3（a≠0）经过点（－1，0），（3，0），求a，b的值．【思路分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可．【解题过程】解把点（—1，0），（3，0）的坐标分别代入y＝ax2+bx－3，得，0=a-b-3,0=9a+3b-3.2分解得a=1,b=-2.4分即a的值为1，b的值为－2．【知识点】抛物线的解析式，点的坐标3.（2022宁波市，22题，10分）已知抛物线y=-12x2+bx+c经过点（1,0），（0，32）.41\n（1）求抛物线的函数解析式；（2）将抛物线y=-12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【思路分析】【解题过程】解（1）把（1,0）和（0，32）代入y=-12x2+bx+c,得-12+b+c=0c=32解得b=-1c=32∴抛物线的函数表达式为y=-12x2-x+32（2）∵y=-x+32=--12(x+1)2+2∴顶点坐标为(-1,2)∴将抛物线y=-12x2-x+32平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度(答案不唯一)平移后的函数表达式为y=-12x2【知识点】待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移41
