动态综合型问题一、选择题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ▲ ） A． B． C． D．答案：Ｂ2．（2022年北京房山区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是第1题图答案：B第2题图3．（2022年北京顺义区一模）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为A．B．C．D．答案：D42\n4、(2022年安徽省模拟六)如图所示，矩形ABCD的长、宽分别为8cm和4cm，点E、F分别在AB、BC上，且均从点B开始，以1cm/s的速度向B－A－D和B－C－D的方向运动，到达D点停止.则线段EF的长ycm关于时间ts函数的大致图象是……【】第1题图答案：A5、(2022年湖北荆州模拟6)如图，已知A、B是反比例函数（k>0，x>0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C．过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ▲ ）第2题图ABCD答案：A6、(2022年广东省佛山市模拟)如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）图4图7stOAstOBstOCstOD答案：A7、（2022浙江台州二模）9．如图，已知Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到（第1题）它的初始位置时所经过路径的长度是（）A.B.25C.D.5642\n【答案】C8、（2022年杭州拱墅区一模）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④答案：D二、填空题第1题图1、(2022年湖北荆州模拟6)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，BC=4，AD=，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF=▲.答案：2.5或3或点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．42\n第15题图【答案】（4+2）2、(2022年广东省佛山市模拟)如图△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发s时，△BCP为等腰三角形．（原创）PCBA答案：2，2．5，1．4ACFDEB3．（2022郑州外国语预测卷）如图在平行四边形ABCD中，点E在CD边上运动（不与C、D两点重合），连接AE并延长与BC的延长线交于点F。连接BE、DF，若△BCE的面积是8，则△DEF的面积为.答案：84．（2022宁波五校联考一模）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，BC＝，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止，则圆心O运动的路程是．答案：2πr5.（2022宁波五校联考二模）已知：定点A（3，2），动点M在函数的图象上运动，动点N在轴上运动，则的周长的最小值为42\n答案：6.（2022上海黄浦二摸）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知，⊙O的直径为1.现将⊙O沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，记此时平移的距离为，则的取值范围是▲.•ABCDO答案：三、解答题AEDBC1、（2022年安徽凤阳模拟题三）如图，在中，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？解：（1），．．（2分）又，，，，．．（5分）自变量的取值范围为．（5分）（2）S．（8分）当时，有最大值，且最大值为．（10分）（或用顶点公式求最大值）42\n2.（2022年安徽凤阳模拟题三）两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1.固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1)如图△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.ABEFCD温馨提示：由平移性质可得CF∥AD，CF=AD(2)如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.ABEFCD(3)如图，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值.AB(E)(F)CDE(F)α解：(1)过C点作CG⊥AB于G，ABEFCDG在Rt△AGC中，∵sin60°=，∴1分∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC=3分42\n(2)菱形5分∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形6分∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF7分∴四边形CDBF是菱形8分(判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分)(3)解法一：过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE=8分又S△ADE=，10分∴在Rt△DHE’中，sinα=12分解法二：∵△ADH∽△ABE8分∴即：∴10分∴sinα=12分AB(E)(F)CDE(F)αH3．（2022年北京顺义区一模）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交于点，另一边交42\n的延长线于点（1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值．答案：（1）证明：∵∴又∵∴∴………………………2分（2）成立.证明：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为则∵∴∴∴…………………………………4分（3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则∴∴…………………………………5分42\n∴∴∴∴…………………………………7分图14．（2022年北京平谷区一模）如图1，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，以线段BC为边向上作正方形ABCD.（1）点C的坐标为（），点D的坐标为（）；（2）若抛物线经过C、D两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线BA向上平移，直至正方形的顶点C落在轴上时，正方形停止运动.在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围.答案：解：（1）C（－3，2），D（－1，3）………………………………………………2分（2）抛物线经过（－1，3）、（－3，2），则解得∴……………….…3分（3）①当点D运动到y轴上时，t=.…………..…4分图1当0＜t≤时，如图1设D′A′交y轴于点E.∵tan∠BAO==2,又∵∠BAO=∠EAA′∴tan∠EAA′=2,即=2∵AA′=,∴EA’=.∴S△EA’A=AA′·EA′=t×t=5t2………5分42\n当点B运动到点A时，t=1.………………………………………………6分图2当＜t≤1时，如图2设D′C′交y轴于点G，过G作GH⊥A′B′于H.在Rt△AOB中，AB=∴GH=,AH=GH=∵AA′=t,∴HA′=t－,GD′=t－.∴S梯形AA′D′G=(t－+t)=5t－……………………………7分当点C运动到y轴上时，t=.当1＜t≤时，如右图所示设C′D′、C′B′分别交y轴于点M、N∵AA′=t，A′B′=,∴AB′=t－,∴B′N=2AB′=t－∵B′C′=,∴C′N=B′C′－B′N=－t∴=C′N=(－t)∴=(－t)·(－t)=5t2－15t+∴S五边形B′A′D′MN=S正方形B′A′D′C′－S△MNC′=(5t2－15t+)=－5t2+15t－综上所述，S与x的函数关系式为：当0＜t≤时,S=5当＜t≤1时，S=5t当1＜t≤时，S=－5t2+15t………………………………………………..8分5、(2022年安徽省模拟六)如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝42\nAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；第1题图（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）连结BC,∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的长=;（4分）（2）连结OD,∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=,∴AE=AO－OE=10－6=4,由∠AOB=∠ADE=90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴,即，∴EF=3；（8分）（3）设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x,AE=10－x，∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得：,∴E2（，0）;②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,42\n∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,＜0（舍去），∴E3（，0）;③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴，而AD=2BE,∴,∴,解得,＜0（舍去）,∵点E在x轴负半轴上,∴E4（，0）,综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．（14分）6、(2022年安徽省模拟八)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作轴的垂线，垂足为E，过点C作轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为秒．（1）当点B与点D重合时，求的值；（2）设△BCD的面积为S，当为何值时，?（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．42\nyxOC备用图yxOABCMD第2题E答案：（1）∵，，∴．∴Rt△CAO∽Rt△ABE．∴，∴，∴．（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，．yxOCx＝5ABD第2题解答图E当0＜＜8时，．∴．当＞8时，．∴，（为负数，舍去）．当或时，．（3）如图，过M作MN⊥轴于N，则．当MB∥OA时，，．抛物线的顶点坐标为（5，）．它的顶点在直线上移动．直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）．∴1＜＜2．∴＜＜．7、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.42\n第3题图答案：（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.∴抛物线为.(2)与⊙相交.证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.∴.∴.∴∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）.8.(2022年湖北荆州模拟6)（本题满分12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=450，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.（3）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；（4）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；（5）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；（6）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.42\n第4题图答案：解：（1）由题意知C（3,0）、A（0,3）。过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2,3）。由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（－1，0）.设抛物线的解析式为y=a（x＋1）（x－3）.将（0，3）代入得a=－1，所以y=－x2＋2x＋3.（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x，∴M（1,1）.连MC得MC=，即半径为。（3）由对称性可知：当ED＋EC＋FD＋FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，易求F（0,）、E（1,2）∴EF=.（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=.假设存在，显然∠QCP<900，∴∠QCP=450或∠QCP=∠ACD.当∠QCP=450时，这时直线CP的解析式为y=x－3或y=－x＋3.当直线CP的解析式为y=x－3时，可求得P（－2，－5）,这时PC=5.设CQ=x，则，∴x=或x=15.∴Q（－,0）或（－12,0）.当y=－x＋3即P与A重合时，可求得CQ=2或9，∴Q（1,0）或（－6,0）.当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连ED知ED⊥AC，∴DE=，EC=2，易证：△CDE∽△CHQ，所以HQ/=3/2，∴HQ=3/2.可求HC的解析式为y=1/2x－3/2.联解，得P（－3/2，－9/4），PC=。42\n设CQ=x，知，∴x=15/4或x=27/4，∴Q（－3/4,0）或（－15/4,0）.同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y=-1/2x+3/2.∴P’（－1/2,7/4），∴PC=。∴，∴CQ=35/12或21/4，所以Q（1/12,0）或（－9/4,0）.综上所述，P1（－2，－5）、Q1（－1/3,0）或（－12,0）；P2（0,3）、Q2（1，0）或（－6,0）；P3（－3/2，－9/4）、Q3（－3/4，0）或（－15/4,0）；P4（－1/2,7/4）、Q4（1/12,0）或（－9/4,0）.9、(2022年江苏南京一模)（10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°(，得线段PQ.（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°.①探究m与n之间的数量关系；DBAOC第27题备用图DBAOC第27题图DBAOC第27题备用图②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围.（在备用图中探究）答案：（1）作AD的垂直平分线，交BC于点P。…………………………（3分）（2）①如图，连接PC.由PC=PQ，得∠3=∠4。由菱形ABCD，得∠3=∠PAD。所以得∠4=∠PAD，…………………………（4分）42\n而∠4+∠PQD=180°.所以∠PAD+∠PQD=180°.所以m+2n=180.……………………………（6分）②解法一：∵PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°.…（7分）而点P在线段BO上运动，∴∠BCD≥∠3≥∠ACD，∴180-2n≥2n≥90-n，………………………（9分）∴30≤n≤45．………………………………(10分)解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，又∠1=∠2，∴∠QPD=∠2，…………………………（7分）∵点P在线段OB上运动，∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）即（或2n≤180-2n≤90+n）……（9分）∴30≤n≤45．…………………………………………（10分10、(2022年惠州市惠城区模拟)如图，在△中，已知，，且△≌△，将△与△重合在一起，△不动，△运动，并且满足：点在边上沿到的方向运动（点与、不重合），且始终经过点，与交于点．（1）求证：△∽△；（2）探究：在△运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；（3）当线段最短时，求重叠部分的面积．解:（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵△≌△∴∠DEF=∠B∵∠DEF+∠CEM=∠B+∠BAE∴∠CEM=∠BAE∴△∽△……………………………………………（3分）42\n（2）在△运动过程中，重叠部分能构成等腰三角形.……………………………………………（6分）(3)42\n…………………………（9分）11、（2022年广东省珠海市一模）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标． 题25图解：（1）∵抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3=1+k，∴k=﹣4，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为：直线x=﹣1；（2）存在．42\n连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，当y=0时，（x+1）2﹣4=0，解得：x=﹣3或x=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），设直线AC的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3，当x=﹣1时，y=﹣（﹣1）﹣3=﹣2，∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2）；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，∴﹣3＜x＜0；①设点M的坐标为：（x，（x+1）2﹣4），∵AB=4，∴S△AMB=×4×|（x+1）2﹣4|=2|（x+1）2﹣4|，∵点M在第三象限，∴S△AMB=8﹣2（x+1）2，∴当x=﹣1时，即点M的坐标为（﹣1，﹣4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；②设点M的坐标为：（x，（x+1）2﹣4），过点M作MD⊥AB于D，S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=×3×1+×（3+x）×[4﹣（x+1）2]+×（﹣x）×[3+4﹣（x+1）2]=﹣（x2+3x﹣4）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，y=（﹣+1）2﹣4=﹣，即当点M的坐标为（﹣，﹣）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．42\n12、(2022北仑区一模)26.(本题14分)如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。-------------------------1分∵顶点在直线x＝上，∴，解得。--------------------------------2分∴所求函数关系式为。------------------------------------------------------3分（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。----------------------------------------------5分∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，42\n当x＝5时，；当x＝2时，。∴点C和点D都在所求抛物线上。--------------------------------------------------------------7分（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。--------------9分当x＝时，。∴P()。------------------------------------------------------10分（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。∴，即，得。设对称轴交x于点F，则∵，，(0＜t＜4)。--------------------------------------------------------------------------------------------12分∵，，0＜＜4，42\n∴当时，S取最大值是。-------------------------------------------13分此时，点M的坐标为(0，)。------------------------------------------------14分13、（2022浙江台州二模）24．如图，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．(1)求直线l的函数解析式；(2)求点D的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB?若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)配方,得y=(x–2)2–1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1)．取x=0代入y=x2–2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有解得∴直线l的解析式为y=x–3．……4分(2)连结AD交O′C于点E，∵点D由点A沿O′C翻折后得到，∴O′C垂直平分AD．由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴O′C=2．据面积关系，有×O′C×AE=×O′A×CA，∴AE=，AD=2AE=．作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，∴AF=·AC=，DF=·O′A=，又∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–=–，∴点D的坐标为(，–)．……4分(3)显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，∴点P是线段BC的中点，∴S△DPC=S△DPB．故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．42\n过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．令x2–2x＋1=x–，解得x1=2，x2=，代入y=x–，得y1=–1，y2=，所以抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC=S△DPB．……6分(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣2分)14、（2022温州模拟）24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标为(0，-3)，B是射线CO上的一个动点，经过B点的直线交x轴于点A(直线AB总有经过第二、四象限)，且OA=2OB，动点P在直线AB上，设点P的纵坐标为m，线段CB的长度为t.（1）当t=7，且点P在第一象限时，连接PC交x轴于点D.①直接写出直线AB的解析式；②当CD=PD时，求m的值；③求△ACP的面积S.(用含m的代数式表示)（2）是否同时存在m、t，使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形？若存在，请求出所有满足要求的m、t的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）① ……………2分②过P作PH⊥OA交OA于H当CD=PD时，△COD≌△PHD ……………1分∴PH=OC，即m=3 ……………1分③由PH∥OB，得△APH∽△ABO∴，即∴AH=2m，即OH=8-2m∴S△BCP=×7×(8-2m)=28-7m ……………2分42\n∴S=S△ABC-S△BCP=28-(28-7m)=7m ……………2分（2）①当B运动在y轴的正半轴上时..当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，则AP=OC=3，由△APH∽△ABO，得，即 ……………………1分由∠BCA=∠BAC，得BA=BC=t在Rt△AOB中，AB=OB，即t=(t-3)∴ ……………………1分(注：t的值没有化简的不扣分).当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形(或说明两组对边都相交)，不可能为等腰梯形；.当点P在第四象限时，如图3，四边形OAPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形.(图3)(图2)(图1)②当B运动在OC之间时..当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交)，不可能为等腰梯形；.当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形(或说明两组对边都相交)，不可能为等腰梯形；.当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP是等腰梯形，则AP=OC=3，由△APH∽△ABO，得，即 …………………1分由∠BCA=∠BAC，得BA=BC=t（备用图）42\n15、(2022浙江永嘉一模)24．（本题14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t>0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，……2分（2）如图①，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3－t，由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分，…………2分.…………1分图②(3)①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，则，，∴PO=AO－AP=1．由△APE∽△OPQ，得．……2分42\n②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°∴∠PBC＝∠PCBCP＝BP＝AP＝t∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5 ∴t＝2.5．………2分（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，得,BG＝4－=由勾股定理得，即，解得．………2分16、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F42\n为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分42\n∴d=（）—（）=—=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分17、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．(1)求证：四边形MFCN是矩形；(2)设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；(3)在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．ABCDEMFN备用图42\n(1)证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．…………1分∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．∴∠FMN＝90°．…………2分∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2)解：当运动时间为t秒时，AD＝t，∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．ABCDEMFN∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．…………4分又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，…………5分∴S＝S△MDE＋S△MNE＝DE·MF＋MN·MF＝×2(t＋1)＋(7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋…………6分∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋∴当t＝4时，S有最大值．…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．…………8分①当△NME∽△DEM时，∴＝．…………9分∴＝1，解得：t＝5．…………10分②当△EMN∽△DEM时，∴＝．…………11分∴EM2＝NM·DE．在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)42\n综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．……12分18、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；(2)若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动，①为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.）解：（1）连接OQ，则OQ⊥PQOQ=1，OP=2，所以，可得所以点Q的运动速度为/秒.3分(2)由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形所以，当Q’与Q关于x轴对称时，△OPQ’为直角三角形此时，当Q’(0，-1)或Q’(0，1)时，，此时或即当，或时，△OPQ是直角三角形.7分当或时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ×OM=OQ×OPPQ=42\nQM弦长.11分19、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若PA=1，求BE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为.、⑴证：连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠BDE+∠PDA=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PA.∴∠PDA=∠A.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE⑵连PE,设DE=BE=X,则EC=4-X.∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.∵∠PDE=∠C=90°∴ED+PD=EC+CP=PE.∴x+1=(4-x)+2.解得x=.∴BE=⑶≤BC<20、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线42\n于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.42\n∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).21．（2022郑州外国语预测卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．答案：解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。∴AE平分∠MAC。（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。42\n∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。22.（2022江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB、AC于点E、F．42\n（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；（2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．当0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．请你从中任选一种方法进行证明；AOBEFABCDEG图3ABCDEF图2（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．ABC图4答案：（1）连接AO.∵∠ABC=90°,AB=AC且O是BC的中点，42\n∴AO=BO,∠OAE=∠C=45°∵∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF=90°,∴∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。42\n又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。23、（2022年广西梧州地区一模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点在边BA上以每秒2个单位的速度由B向A移动，过E作EF∥BC交AC于F，再过F作FD∥AB交BC于D，设E移动的时间为x(秒),EF为y.①求y与x之间的函数关系式.②当x=时，四边形BDFE是菱形.（3）设四边形BDFE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；并求E在AB边上何处时，四边形BDFE的面积最大？最大面积是多少？解：（1）∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴∴42\n∴……………3分（2）………………5分（3）在△ABC中∵AB=6，AC=8，BC=10∴AB2+AC2=BC2∴∠BAC=90°作EG⊥BD于G在△ABC和△GBE中∠ABC=∠GBE∠BAC=∠BGE∴△ABC∽△GBE∴∴∴………………8分∴=……………………10分∴当x=1.5时，S的最大值为12此时2x=3当点E在AB的中点时，四边形BDEF的面积最大，最大面积值为12…………………………12分24．（2022年杭州拱墅区一模）如图，在Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB－BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动.设移动时间为x秒：（1）当x＝2时，求△AEF的面积；（2）当EF∥BO时，求x的值；42\n（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式.（1）当x＝2时，AE＝2，OF＝6，∴S△APQ＝6--------------------------------------------3分（2）∵Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，∴AB＝10当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，∴，解得------------------------3分（3）当F与B重合时，，∴分两段讨论：①0＜x≤时，F在OB上移动，--------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，则即，∴FH＝∴＝-----------------------------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）25、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分10分）已知：四边形为正方形，为延长线上的一点，为直线上的一动点，过点E作直线，分别交直线CD和直线AB于M、N两点.（1）如图1，当tan∠CDP=，E为PD的中点时，=；（2）如图2，当E点在DP的延长线上，且tan∠CDP=，时，求的值；（3）如图3，若E点在PD的延长线上，MN⊥PE于E，在EN上截取EG=ED试问：DM·PB与MN·MG有何种数量关系？为什么？42\n答案：24、（1）（提示：过作直线平行于，分别交、于点，）；（2）同（1）的方法可得：=（3）DM·PB=MN·MG.证明提示：连结BD，证PD=MN，证△PBD∽△MDG，26．(2022年江苏无锡崇安一模）（本题满分10分）如图，△ABC中，∠C＝90º，AC＝3，BC＝4.点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点E到达B点时D、E都停止运动．点M是DE的中点，直线MN⊥DE交直线BC于点N，点M′与M点关于直线BC对称．点D、E的运动时间为t（秒）．（1）当t＝1时，AD＝___________，△ADE的面积为；（2）设四边形BCDE的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；（3）当直线MN与△ABC的一边垂直时，求t的值；（4）当△MNM′为等腰直角三角形时，直接写出t的值．ACBNMEDM′答案：28．（共10分）（1）2，…………………………………………………………(2分)（2）当0＜t＜3时，AE＝t，AD＝3－t………………………………………(3分)42\nS＝×t(3－t)＝－t2＋t…………………………………………………(4分)（3）由MN⊥DE，若直线MN与△ABC的一边垂直，则有3种情形：①DE∥BC，此时MN⊥BC，DE⊥AC，由t＋t＝3，解得t＝………(5分)②当t＝0时，MN⊥AC；③当t＝3时，DE在AB上，MN⊥AB.…………………………………(6分)（4）当0＜t≤3时，如图1，t＋t＋t＝3，得t＝…………………………(8分)当3＜t≤5时，如图2，t－t＋t＝3，得t＝………………………(10分)42
