实验应用型问题一、选择题1题图1、（2022江苏扬州弘扬中学二模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____________.答案：4二、填空题1、如图所示，平面镜I、II的夹角是，光线从平面镜I上O点出发，照射到平面镜II上的A点，再经II反射到B点，再经C点反射到D点,接着沿原线路反射回去，则的大小为度.答案：452．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：．例如把放入其中，就会得到．现将实数对（）放入其中得到实数4，则=．答案：－1或3三、解答题1、在北京举行的2022年奥运会中，某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛项目的情况，随机调查了若干名同学（每人只能选其中一项），根据调查结果制作了频数分布表和统计图。请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布表和条形统计图；；（2）根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看篮球比赛的人数．最喜欢收看的项目频数（人数）频率足球20%篮球25%排球6乒乓球20其他1220%合计1（3）根据统计图和统计表，谈谈你的想法。11\n答案：解：（1）最喜欢收看的项目频数（人数）频率足球12最喜欢收看的项目频数（人数）频率足球1220%篮球1525%排球6乒乓球2033%其他1220%合计601BACDPQE（2）最喜欢收看篮球比赛的人数=1800×25%，=450（人）；（3）因为喜欢看乒乓球的人数最多，所以在观看比赛时优先安排看乒乓球．2．（本小题满分8分）如图，甲船从港口A出发沿北偏东15°方向行驶，同时，乙船也从港口A出发沿西北方向行驶。若干小时之后，甲船位于点C处，乙船位于港口B的北偏东60°方向，距离岸边BD10海里的P处。并且观测到此时点B、P、C在同一条直线上。求甲船航行的距离AC为多少海里（结果保留根号）？BACDP第21题图答案：答案：解：过A作AE⊥BC，过P作PQ⊥BD同理，可求得∠EAC=45°，AE⊥BC3．（本小题满分8分）张先生前年在美美家园住宅小区订购了一套住房，图纸如图所示。已知：①该住房的价格11\n元/平方米；②楼层的电梯、楼梯及门厅前室面积由两户购房者平均负担；③每户配置车库16平方米，每平方米以6000元计算；根据以上提供的信息和数据计算：（1）张先生这次购房总共应付款多少元？（2）若经过两年，该住房价格变为21600元/平方米，那么该小区房价的年平均增长率为多少？车库价格变为多少？（3）张先生打算对室内进行装修，甲、乙两公司推出不同的优惠方案：在甲公司累计购买10000元材料后，再购买的材料按原价的90％收费；在乙公司累计购买5000元材料后，再购买的材料按原价的95％收费．张先生怎样选择能获得更大优惠？单位：毫米答案：解：（1）室内面积=（平方米）楼梯电梯面积=（平方米）需张先生负担的面积=（平方米）总费用=（元）（2）设年增长率为，则有（舍去）年增长率为0.2（或20%）（3）①如果累计购物不超过5000元，两个公司购物花费一样多；②如果累计购物超过5000元而不超过10000元，在乙公司购物省钱；③如果累计购物超过10000元，设累计购物为元（）．如果在甲公司购物花费小，则11\n如果在乙公司购物花费小，则而当花费恰好是15000元时，在两个店花费一样多．AOBC所以，累计购物超过10000元而不到15000元时，在乙公司购物省钱；累计购物等于15000元，两个公司花费一样多；而累计购物超过15000元时，在甲公司购物省钱．4．（本小题满分8分）小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥。在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为1:2的两个扇形．（1）请你在图中画出他的裁剪痕迹．（要求尺规作图，保留作图痕迹）（2）若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗（不考虑损耗及接缝）？第24题图答案：解：（1）作图略（2）小圆半径正好够剪（能简单描述即可）5、（2022江西高安）问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．11\n（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________思维拓展：（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．探索创新：（图①）（图②）ACB（3）若三边的长分别为、、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．答案：（1）；（2）3a2;(3)5mn6、在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.原问题：如图1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA＝DB,EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.11\n答案：（1）DF=EF.…………………………………………………（2分）（2）猜想：DF=FE.证明：过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90°.∵DA=DB，∠ADB=60°.∴AG=BG，△DBA是等边三角形.∴DB=BA.∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG.∴△DBG≌△BAC.∴DG=BC.∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形.∴BC=BE，∠CBE=60°.∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，∴△DFG≌△EFB.∴DF=EF.………………（7分）（3）猜想：DF=FE.过点D作DH⊥AB于H，连接HC、HE、HE交CB于K，则∠DHB=90°.∵DA=DB,∴AH=BH,∠1=∠HDB.∵∠ACB=90°，∴HC=HB.∵EB=EC，HE=HE，∴△HBE≌△HCE.∴∠2=∠3，∠4=∠BEH.∴HK⊥BC.∴∠BKE=90°.∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°.∴DB//HE，DH//BE.∴四边形DHEB是平行四边形.∴DF=EF.………………………………………………………（12分）7、如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：11\n（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么他必须满足的条件是．（说明：只需画出折痕．）（2）…………………………………………………………………3分（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）（3）三角形的一边长与该边上的高相等．------------------------------------------------5分8、问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；（3）如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，保留作图痕迹．答案：解：11\n（1）如图1，画出对角线AC与BD的交点即为点P．…………………1分注：以BC为直径作上半圆（不含点B、C），则该半圆上的任意一点即可．（2）如图2，以BC为一边作等边△QBC，作△QBC的外接圆⊙O分别与AB，DC交于点M、N，弧MN即为点P的集合．…………………3分（3）如图3，以BC为一边作等边△QBC，作△QBC的外接圆⊙O与AD交于点P1、P2，点P1、P2即为所求．…………………5分9、问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________思维拓展：（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．探索创新：（图①）（图②）ACB（3）若三边的长分别为、、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．答案：（1）；（2）3a2;(3)5mn10.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．11\n小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“>”,“<”或“=”）．第2题图2第2题图1（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“>”,“<”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．答案：解：（1）=（2）=在等边三角形中，而由是正三角形可得（3）1或3.11.问题情境已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为（x>0）。探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质。11\n1xyO134522354（第23题）－1－16、填写下表，画出函数的图象：x…1234…y…[来源:学科网]…②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到。请你通过配方求函数(x＞0)的最小值。解决问题：⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。答案：解：⑴①，，，2，，，．-------------2分函数的图象如图．-----------------------------------------------------5分②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．--------------------------------------7分③===11\n当=0，即时，函数的最小值为2．-------10分⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．--------------12分11
