滚动小专题(二) 方程、不等式的解法类型1 方程(组)的解法1．解方程(组)：(1)4x－3＝2(x－1)；解：去括号，得4x－3＝2x－2.移项，得4x－2x＝－2＋3.合并同类项，得2x＝1.系数化为1，得x＝.(2)＝；解：方程两边同乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x.去括号，得2x＋2＝3x.移项，得2x－3x＝－2.合并同类项，得－x＝－2.系数化为1，得x＝2.检验，当x＝2时，x(x＋1)≠0.∴x＝2是原分式方程的根．(3)解：①＋②，得2x＋y＋x－y＝4－1.解得x＝1.把x＝1代入①，得2＋y＝4.解得y＝2.∴原方程组的解是(4)2x2－4x－1＝0；解：x2－2x－＝0.(x－1)2＝.x＝1±.∴x1＝1＋，x2＝1－.(5)＋2＝.解：方程两边同乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1.解得x＝2.检验：当x＝2时，x－2＝0.所以x＝2不是原方程的解．∴原方程无解．4\n类型2 不等式(组)的解法2．解不等式(组)：(1)4x＋5≤2(x＋1)；解：去括号，得4x＋5≤2x＋2.移项、合并同类项，得2x≤－3.解得x≤－.(2)解：解不等式①，得x≥1.解不等式②，得x＞2.∴不等式组的解集为x＞2.(3)解：解不等式①，得x＞－4.解不等式②，得x≤－1.∴不等式组的解集是－4＜x≤－1.3．解不等式：2x－1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得4x－2＞3x－1.解得x＞1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：4．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．解：解不等式2x≥－9－x，得x≥－3.解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2.则不等式组的解集为x＞2.将解集表示在数轴上如下：5．x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x≤2－x都成立？4\n解：联立不等式组解不等式①，得x>－.解不等式②，得x≤1.∴－<x≤1.故满足条件的整数有－2，－1，0，1.类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．解：(1)把x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0，得1＋m＋m－2＝0.解得m＝.(2)证明：∵Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4≥4>0.∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．7．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x＋x的值．解：(1)∵x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4k2>0.∴k>－.(2)当k＝1时，原方程为x2＋3x＋1＝0.∵x1，x2是该方程的两个实数根，∴由根与系数的关系可知x1＋x2＝－3，x1x2＝1.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝7.8．已知关于x的方程(x－3)(x－2)－p2＝0.(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x＋x＝3x1x2，求实数p的值．解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2＝0，∴x2－5x＋6－p2＝0.∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2.∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1＋4p2＞0.∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根．(2)由(1)，得x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2，∵x＋x＝3x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝3x1x2.∴52＝5(6－p2)．4\n∴p＝±1.9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－6)2－4(m＋4)＝36－4m－16＝－4m＋20≥0.∴m≤5.(2)∵x1，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝6.①x1x2＝m＋4.②又3x1＝|x2|＋2，若x2≥0，则3x1＝x2＋2.③联立①③解得x1＝2，x2＝4.∴8＝m＋4，m＝4.若x2<0，则3x1＝－x2＋2，④联立①④解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．∴符合条件的m的值为4.4
