方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，则∠BGC＝90°＋∠A.图1图2图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点P，则∠P＝∠A.解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线，则∠O＝90°－∠A.解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】 若点D是∠ABC的平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝20°．第1题图变式1图 变式2图 变式3图【变式2】 若点D是∠ABC外角平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝70°．【变式3】 如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线．若∠A1＝α，则∠A2019＝．与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.图4 图5 图6 图7②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO是∠ABC的平分线，在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形．③过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形．3\n如图7，BD是∠ABC的平分线，点E是BD上一点，过点E作BD的垂线，则△BGH是等腰三角形且BD垂直平分GH.2.如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为(D)A．10cm B．28cm C．20cm D．18cm第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．(2022·河北)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．24．(2022·大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，OM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B)A．30° B．35° C．45° D．60°5．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则AC的长是16．6.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于点O，试说明BE，CD，BC的数量关系，并加以说明．解：BC＝BE＋CD.理由如下：在BC上取点G，使得CG＝CD.∵∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×(180°－60°)＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°.∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBO＝∠GBO，∠OCG＝∠OCD.在△COD和△COG中，∴△COD≌△COG(SAS)．∠COG＝∠COD＝60°.∴∠BOG＝120°－60°＝60°＝∠BOE.在△BOE和△BOG中，∴△BOE≌△BOG(ASA)．∴BE＝BG.∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC.7．感知：如图1，AD平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.应用：如图3，在四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝a(用含a的代数式表示),图1) ,图2) ,图3)3\n证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.在△DFC和△DEB中，∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DC＝DB.3
