方法技巧训练(四) 解直角三角形中常见的基本模型模型1 单一直角三角形 1．(2022·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)解：作CH⊥AB于点H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH.由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°.设CD＝x米，则AH＝(30－x)米．在Rt△AHC中，HC＝＝(30－x)，则BD＝CH＝(30－x)．∴ED＝(30－x)－10＝30－x－10.在Rt△CDE中，＝tan∠CED，即＝＝，解得x＝15－.答：立柱CD的高为(15－)米．模型2 背靠背型及其变式5\n2．(2022·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)解：过点B作BD⊥AC于点D.由题意，知∠BAD＝60°，则∠ABD＝30°，∠CBD＝53°.在△BCD中，tan∠CBD＝，即tan53°＝＝.设CD＝4x，BD＝3x，则CB＝5x.又∵AC＝13，∴AD＝13－4x.在△ABD中，tan∠DAB＝tan60°＝，即＝，解得x＝4－.∴BC＝5x＝20－5.答：B，C两地的距离是(20－5)千米．3．(2022·通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图，其中山脚A，C两地海拔约为1000米，山顶B处的海拔约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米．(结果保留整数，参考数据≈1.732)解：作BD⊥AC于点D.5\n由题意可得BD＝1400－1000＝400(米)．∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.在Rt△ABD中，∵tan30°＝，即＝.∴AD＝400米．∵tan45°＝，即＝1.∴CD＝400米．∴AC＝AD＋CD＝400＋400≈1093(米)．答：隧道最短为1093米．模型3 母子型及其变式4．(2022·德州)如图，两座建筑物的水平距离BC为60m．从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sim53°≈，cos53°≈，tan53°≈)解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE＝BC＝60m.在Rt△ABC中，tan53°＝，∴＝∴AB＝80m.在Rt△ADE中，tan37°＝，∴＝，∴AE＝45m.∴CD＝BE＝AB－AE＝35m.答：两座建筑物的高度分别为80m和35m.5\n5．(2022·桂林)如图，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1小时)解：延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D.∵∠BCD＝45°，BD⊥CD，∴BD＝CD.在Rt△BDC中，∵cos∠BCD＝，BC＝60，即cos45°＝＝，解得CD＝30.∴BD＝CD＝30.在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝，即tan60°＝＝，解得AD＝30.∴AB＝AD－BD＝30－30＝30(－)．∴渔船在B处需要等待的时间为＝＝－≈1.0(小时)．答：渔船在B处需要等待1.0小时．模型4 其他模型 6．(2022·张家界)2022年9月8日～10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发(AB＝1000米)，沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.5\n 解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.由题意知∠ADE＝30°，∠CDF＝30°，∴AE＝AD＝×1400＝700，DE＝AD·cos30°＝700.∴DF＝EB＝AB－AE＝1000－700＝300.∵tan∠CDF＝，∴FC＝300×＝100.∴BC＝BF＋FC＝DE＋FC＝700＋100＝800(米)．答：该选手飞行的水平距离BC是800米．5
