方法技巧训练（二）全等三角形的常见基本模型基本模型1 平移模型 如图，可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得．1．如图，AB＝DE，AC＝DF，点E，C在直线BF上，且BE＝CF.求证：AC∥DF.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠ACB＝∠DFE.∴AC∥DF.基本模型2 对称模型如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两边的部分能够完全重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点． 2．(2022·温州节选)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.求证：△ABC≌△AED.证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC，即∠BCA＝∠EDA.在△ABC和△AED中，4\n∴△ABC≌△AED(SAS)．基本模型3 旋转模型如图，可看成是绕着三角形某一顶点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某些角的和、差之中． 3．(2022·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B)A．15 B．12.5 C．14.5 D．17第3题图 第4题图4．(2022·东营)如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2.其中正确的是(A)A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④5．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝.上述结论中正确的个数是(C)A．1B．2C．3D．4第5题图 第6题图6.如图，在△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是1．7．如图，在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.4\n证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝DC，CH＝CE，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，∴△BCH≌△DCE(SAS)．∴BH＝DE.(2)设BH与CD相交于点O.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE.又∵∠BOC＝∠DOM，∴∠DMB＝∠BCD＝90°.∴BH⊥DE.基本模型4 三垂直模型证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得相等的角． 8．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰Rt△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为(A)A.B.C.D.9．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明．解：△CDF是等腰直角三角形．证明如下：∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC.在△FAD和△DBC中，4\n∴△FAD≌△DBC(SAS)．∴FD＝DC，∠FDA＝∠DCB.∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形．基本模型5 一线三等角模型如图，三个角均相等为α，则根据外角的性质，一定可以推导出图中∠1＝∠2. 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠α与∠A之间的数量关系是2∠α＋∠A＝180°．4
