切线与圆西城1．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．(1)求证：DE⊥AC；(2)连结OC交DE于点F，若，求的值．海淀2.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，,以AB为直径的⊙交AC于点D，交EB于点F.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)若,求AC的长．东城3．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．朝阳4．如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.11\n房山5.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.（1）求证：直线CP是⊙O的切线；第5题图（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.门头沟6．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB=2，求OE和CF的长．怀柔7．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．⑴判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；7题图⑵若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．解：大兴8．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．11\n丰台9．已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．ABPOCDE（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．石景山10．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．（1）求证：点E为BC中点；（2）若tanEDC=，AD=，求DE的长．解：昌平11.如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC.（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，求PD的长.密云12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=，求AE的长。OABCP顺义13．已知：如图，是RtABC的外接圆，ABC=90，点P是外一点，PA切于点A，且PA=PB．（1）求证：PB是的切线；11\n（2）已知PA=，BC=2，求的半径．答案;1．(1)证明：连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°.……………………………………………1分∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点.又∵D是BC的中点，.∴OD∥AC.∴∠DEC=∠ODE=90°.∴DE⊥AC.………………………………………………………………2分(2)连接AD.∵OD∥AC，∴.……………………………………………………………………3分∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵sin∠ABC==，故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.…………………………………………4分∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED.∴.∴.∴.∴.∴.…………2.(1)证明：连接.∵为直径，∴∠.11\n∵，∴△为等腰三角形.∴∠∠.∵，∴∠∠-------------------------1分∴∠∠∠∠.∴∠.∴与⊙相切.-------------------------2分(2)解：过作于点∠∠，∴.在△中，∠，∵，∴∠--------------3分∴.在△中，∠，∴------------------4分∵，⊥，∴∥∴△∽△∴.∴∴∴321．解：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．∴AP是⊙O的切线．…………………2分11\n（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．∴AD=AC•tan30°=．∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD．∴PD=AD=．…………………5分4.（1）证明：在△ABC中，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵∠CAB+∠B+∠C＝180º，∴2∠B+∠C＝180º.∴＝90º.……………………………………………………1分∵∠BAD＝∠C，∴＝90º.∴∠ADB＝90º.∴AD⊥BC.∵AD为⊙O直径的，∴直线BC是⊙O的切线.…………………………………………………2分（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD=90º.……………………………………………………………………3分∵∠ADC＝90º，∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.∴∠ADF＝∠C.…………………………………………………………………4分∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，∴tan∠C＝tan∠ADF＝.在Rt△ACD中，设AD＝4x，则CD＝3x.∴∴BC＝5x，BD＝2x.∵AD＝4，∴x＝1.∴BD＝2.……………………………………5分11\n5.证明：（1）连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP，------------------------1分∵∠CAN＋∠ACN=90°，∴∠BCP＋∠ACN=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O的半径∴CP是⊙O的切线.6．（1）证明：连结OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．………………………………………………………1分∵∠A=30°，∴∠ABD=60°．∵∠ABD=2∠BDC，∴∠BDC=．∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形．∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．∴CD是⊙O的切线．………………………………………………………2分（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°．………………………………………3分∵BD=OB=2，∴．∴．……………………………………………4分∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，∴，．∴．7解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：连接CD、OD∵BC为直径，7题图∴∠BDC=90°……………………1分∴CD，又AC=BC∴AD=BD……………………2分∴DO是△ABC的中位线11\n∴DO∥AC又∵DE；∴DE……………………3分∴DE是⊙O的切线；（2）∵AC=BC∴∠B=∠A∴cos∠B=cos∠A=∵cos∠B=，BC=18，∴BD=6……………………4分∴AD=6∵cos∠A=∴AE=2，在中，DE=．……………………5分8证明：A.连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.………………………………………1分∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°.……………∴∠ACD=∠BCO.∵OC=OB，∴∠BCO=∠B.∴∠AOC=∠BCO+∠B.∴∠AOC=2∠BCO=2∠ACD.……………………3分B.由（1）可知，△ACD和△ABC均为直角三角形，∴在中，ABPOCDEG∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴Rt△ACD∽△Rt△ABC.…………………………4分∴.∴．……9.（1）证明：连结OC.11\n∵点C在⊙O上，OA=OC，∴∵，∴，有.∵AC平分∠PAE，∴∴---------1分∴∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线.---------2分（2）解:过点O作OG⊥AB于G.∵,,∴四边形OCDG是矩形.∴OG=CD,GD=OC.---------3分∵⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5.∵tan∠ACD，设AD=x,CD=2x,则OG=2x.∴AG=DG-AD=5-x.在中，由勾股定理知∴解得.-------------------------4分∴.---------------------10解:(1)连结OD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，∴BC是⊙O切线………………………………………..1分∵DE是⊙O切线∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴BE=CE.………………………………………..2分(2)∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，∴∠C=∠ABD=∠EDC，Rt△ABD中，DB=，…………………………..3分Rt△BDC中，BC=，………………………..4分又点E为BC中点，∴=3.……………………………..5分11解：（1）证明:如图，连接OA.∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200.……………1分11\n∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=300.∴∠AOP=600.又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300.∴∠OAP=900.即OA⊥AP.………………………………………………………2分∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线.……………………………………………3分(2)解：连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=900.∴AD=AC∙tan300=.………………………………………4分∵∠ADC=∠B=600，∴∠PAD=∠ADC-∠P=300.∴∠P=∠PAD.∴PD=AD=.…………12．（1）证明：如图1，连接OC，∵CD为⊙O的切线∴OC⊥CD∵AD⊥CD∴AD∥OC∴∠1=∠2∵OA=OC∴∠2=∠3∴∠1=∠3即AC平分∠DAB.………………5分（2）如图2∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°又∵∠B=60°∴∠1=∠3=30°在Rt△ACD中，CD=∴AC=2CD=在Rt△ABC中，AC=∴…4分连接OE∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE∴△EAO是等边三角形∴AE=OA==4.………………5分13．解：（1）证明：连接11\nOABCPD∴，∴．即………………1分又∵是的切线，∴∴∴又∵是的半径，∴是…………………2分（2）解：连接，交于点∵∴点和点都在线段的垂直平分线上．∴垂直平分线段∴∵∴……………………………………3分∵，∴∴∴……………………………………4分∴即解得在中，即的半径为2．…………………………………………5分11
