动手能力题西城1．在平面直角坐标系xOy中，点经过变换得到点，该变换记作，其中为常数．例如，当，且时，．(1)当，且时，=；(2)若，则=，=；(3)设点是直线上的任意一点，点经过变换得到点．若点与点重合，求和的值．海淀2．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．图1图2图3（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．12\n东城3.阅读并回答问题：数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE.②分别以D，E为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内交于点C.③作射线OC，则OC就是的平分线小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM=ON.②分别过以M，N为OM，ON的垂线，交于点P.③作射线OP，则OP就是的平分线.小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：（1）小聪的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮小颖设计用刻度尺作平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.（3）朝阳4．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．图2图3图112\n小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．房山5.如图1，在矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在边NP，PQ，QM，MN上，当时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.已知：矩形ABCD的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：（1）在图2中，点E，F分别在BC，CD边上，请作出矩形ABCD的反射四边形EFGH，并求出反射四边形EFGH的周长.第22题图2第22题图1MNQP（2）在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系.备用图第22题图312\n门头沟6．如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且，．（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．ABCDEF图3MNPQGHEF1234图1图2DGABCDEFH怀柔7.探究与应用yPQMNOx12-1-2-3-3-2-112322题图已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y=的图象上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.（1）如图，若反比例函数解析式为y=，P点坐标为（1，0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1；（2）请你通过改变P点坐标，对直线M1M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得k﹦，若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦；（3）依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你直接写出点M1和点M的坐标．解：（1）如图（2）k﹦，b﹦；12\n（3）M1的坐标为（，），M的坐标为（，）.大兴8.在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN．当点T在直线上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动(点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），求线段AT长度的最大值与最小值的和(计算结果不取近似值)．丰台9．操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为5+（）=3． 若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A（1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D，在图中画出四边形ABCD，并直接写出点D的坐标；yxO11（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转90°，点B旋转到点E，连结AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．12\n石景山10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：．解：昌平11.（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a>0，b>0，且a+b=2，写出的最小值；（3）【问题延伸】已知a>0，b>0，写出以、、为边长的三角形的面积.密云12．实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．12\n顺义13．问题：如果存在一组平行线，请你猜想是否可以作等边三角形使其三个顶点分别在上.小明同学的解答如下：如图1所示，过点作于，作，且，过点作交直线于点,在直线上取点使，则为所求．(1)请你参考小明的作法,在图2中作一个等腰直角三角形使其三个顶点分别在上，点为直角顶点；(2)若直线之间的距离为1，之间的距离为2，则在图2中，，在图1中，．12\n答案1．解：(1)=；………………………………………1分(2)=，=；………………………………………3分(3)∵点经过变换得到的对应点与点重合，∴.∵点在直线上，∴.∴………………………………………4分即∵为任意的实数，∴解得2.解：“值”为10．---------------------2分（1）是；--------------------3分（2）最多有5个．3．解：（1）小聪的作法正确.…………………1分理由：∵PM⊥OM,PN⊥ON，∴∠OMP=∠ONP=90°.在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP,OM=ON，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.∴.∴OP平分∠AOB.…………………2分（2）解：如图所示.…………………3分12\n作法：①利用刻度尺在OA，OB上分别截取OG=OH.②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q.③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线.4．解：（1）.………………………………………………………………………………1分（2）①如图，…………………………………………2分BD；……………………………………………………………………………3分(3).5.解：（1）如图，∴四边形EFGH即为所求，且周长为（2）如图：指明结果（略）-------------------4分矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．-------------------5分6．解：（1）利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是定值，定值是（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积不是定值，它们的面积分别是16、127.探究与应用解：（1）如图……………………1分12\nM1PQMNOy123-1-2-3-3-2-1123Q1N1（2），……………………3分（3）M1的坐标为（，），M的坐标为（，）………5分8解：当点M与点A重合时，AT取得最大值（如右上图）.…1分由轴对称可知，AT=AB=6.……………………………2分当点N与点C重合时，AT取得最小值（如右下图）.……3分过点C作CD^于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=6.由轴对称可知，CT=BC=8.∴在Rt△CDT中，CD=6，CT=8，∴由勾股定理，得DT=.∴AT=AD-DT=8-.…………………………………………4分∴线段AT长度的最大值与最小值的和为.……5分12\nyxBACDO119．（1）{4，3}．-------------------------1分（2）①画图-------------------------2分②D(0，3).-------------------------3分（3）{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．-------------------------5分10．解：（1）由题意，△BMN沿MN折叠得到△EMN∴△BMN≌△EMN∴EM=BM=.过点M作MH⊥AD交AD于点H，则四边形ABMH为矩形MH=AB=3，AH=BM=.Rt△EHM中，EH=∴AE.………………………………3分(2)1≤AE≤3.……………………………5分11．解：（1）如图所示.………………………………………1分（2）.……………………………………………2分（3）．…………………………………………5分12．（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．……………2分（2）在图4中画出符合题目要求的图形．………………5分13.解:(1)作图…………………………………………………………2分(2)…………………………………………………………3分12\n…………………………………………………………5分12
