题型五 统计与概率综合计算宜宾市创新数学试题考查统计与概率知识的题目是选择、填空、解答题．出现许多问题都是以社会热点为背景，形式灵活多样，综合性较强．强调课内知识与课外活动相结合，要求学生要有较高的运算能力，要有较强的阅读理解和识别图表的能力，注重在具体情境中体会概率的意义，理解概率对生活指导的现实作用；强调统计与概率之间的关系，要求学生能分清现实生活中的随机事件，并能利用画树状图及列表的方法计算一些事件发生的概率以及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释．【例1】若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是( C )A. B. C. D.【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与7组成“中高数”的情况，再利用概率公式即可求得答案．【答案】C【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【例2】如图：三角形飞镖板ABC中，BF＝2FD，AE＝2EF，CD＝2DE.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上)，则投掷一次飞镖扎在中间阴影部分区域的概率是________．【解析】连结CF，设阴影部分的面积为S，由于CD＝2DE，根据三角形面积公式得到△CDF的面积＝2S，同样得△BFC的面积＝△CDF的面积的2倍＝4S，则△BDC的面积＝6S，同理可得△ABF的面积＝6S，△ACE的面积＝6S，所以△BAC的面积＝19S，然后根据几何概率的定义求概率．【答案】【点评】本题考查几何概率的求法，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．【例3】(2022宜宾拔尖考试)某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量(单位：瓶)，整理得下表：日需求量2627282930频数58764(1)求这30天内日需求量的众数；(2)假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润(单位：元)的平均数；(3)以30天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率．【解析】(1)根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数，3\n即可得出答案；(2)根据平均数的计算公式列式计算即可；(3)设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据图表所给出的数据列出算式，求出x的取值范围，再根据概率公式进行计算即可．【答案】解：(1)∵27出现了8次，出现的次数最多，∴这30天内日需求量的众数是27；(2)假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，则这30天的日利润的平均数是：(26×5＋27×8＋28×7＋28×6＋28×4)×6－28×30×3＝2412(元)，2412÷30＝80.4(元)；(3)设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元．根据题意，得6x－28×3≥81，解得x≥27.5，则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为：＝.【点评】此题考查了众数、加权平均数和利用频率估计概率，掌握这些基本概念才能熟练解题．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【针对练习】1．(2022兰州中考)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( D )A．20 B．24C．28 D．302．(2022舟山中考)已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是( B )A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，43．把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有几种( B )A．10B．15C．20D．254．从－3，－2，－1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组的解，又在函数y＝的自变量取值范围内的概率是______．5．某同学5次上学途中所花的时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为__4__．6．先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．(温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科)小明：“听说下周会进行连续两天的期中考试．”刘老师：“是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚．”小宇：“我估计是星期四、星期五．”(1)求小宇猜对的概率；(2)若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用恰当的方法求同一天考语文、数学的概率．解：(1)连续两天考试则共有以下4种可能性：周一周二，周二周三，周三周四，周四周五，3\n∴P(小宇猜对)＝；(2)依题意可画树状图如下：同在周四考共有12种等可能性，恰好周四考语数的有2种，也有可能在周五考语数，∴P(恰好同一天考语文、数学)＝×2＝.7．实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中，张老师一共调查了______名同学，其中C类女生有________名，D类男生有________名；(2)将条形统计图补充完整；(3)为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，求所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．解：(1)20；2；1；(2)补全统计图如图；(3)画树状图得：∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：＝.教后反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3
