专题五 圆的综合探究,考标完全解读)近几年来，在宜宾市的中考数学题或全国各地市的中考题中，频繁出现与圆有关的证明和计算的综合题目，这类题目涉及的数学知识广泛，要求考生解答数学问题的能力高，用到的数学方法多，灵活性强，因此该类题目备受出题者的青睐，从题目呈现形式看有：选择题、填空题、解答题；从题目的类型看有：圆的证明、计算、探究题；从题目中的知识角度看有：圆与三角形综合、圆与四边形综合、圆与函数综合、圆与解直角三角形综合．无论是什么题型、涉及什么知识，解答时都要用到圆中的基本概念、判定和性质．解数学中圆的问题时．一要树立信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略．现介绍几种常用的解题策略，供九年级同学参考．1．准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题．2．既能从距离与半径的数量关系，确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索相应半径与距离的数量关系．3．利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解答与角、线段相等有关的几何问题．4．会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理解答一类与圆相关的几何问题．5．会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长，圆、扇形、弓形的面积公式解决一类与圆柱、圆锥的侧面积有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积．6．充分利用圆的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问题．7．综合运用圆、方程、函数、三角形、相似形等知识解决一类与圆有关的问题．,典型题型讲练) 圆与全等三角形结合【例1】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M，D分别为CB及AB的延长线上一点，且MA＝MD，CM＝，求BD的长．【解析】首先过点M作MN⊥AD于点N，连结OC，易得△OBC为等腰直角三角形，△BMN也为等腰直角三角形，则可得BC＝OB，BM＝BN，继而求得ON的长，则可求得答案．【答案】解：过点M作MN⊥AD于点N，连结OC，如答图．∵MA＝MD，∴AN＝DN，∵C为半圆中点，∴OC⊥OB，9\n∴△OBC为等腰直角三角形，MN∥OC，∴△OBC∽△BMN，∴△BMN也为等腰直角三角形，∴BC＝OB，BM＝BN，∴CM＝CB－BM＝(OB－BN)＝ON，∵CM＝，∴ON＝1，∴BD＝AD－AB，＝2(ON＋OA)－(OA＋OB)＝2ON＋2OA－2OA＝2ON＝2.【点评】本题主要考查的知识点有等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、圆周角．通过三角形相似，表示出线段之间的数量关系是解决本题的关键．【针对练习】1．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数；(2)求证：AD＝CD.解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，BD⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(A.S.A.)，∴AB＝CB，∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝45°；(2)∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD.【解题心得】 圆与相似三角形结合9\n【例2】如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED；(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？【解析】(1)作辅助线，连结OC.根据切线的性质，OC⊥PC.根据PC＝PF，OC＝OA，可得：∠PCF＝∠PFC，∠OCF＝∠OAC.在Rt△FHA中，可得：∠FHA＝90°，故AB⊥ED；(2)根据AD2＝DE·DF，可得：△FAD∽△AED，∠FAD＝∠DEA.从而可知：＝，即D在劣弧AC的中点．【答案】解：(1)连结OC，如答图．∵PC为O的切线，∴∠OCP＝∠FCP＋∠OCF＝90°，∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵∠CFP＝∠AFH，∴∠AFH＋∠OAC＝90°，∴∠AHF＝90°，即AB⊥ED；(2)D在劣弧AC的中点时，才能使AD2＝DE·DF.理由：连结AE.若AD2＝DE·DF，可得：△FAD∽△AED，∴∠FAD＝∠DEA，∴＝，即D为劣弧AC的中点时，能使AD2＝DE·DF.【点评】本题主要考查的知识点有切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质．灵活运用切线的性质和相似三角形的判定是解决本题的关键．【针对练习】9\n2．如图，已知PC与⊙O交于点B，点A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？(3)若PB∶BC＝2∶3，且PC＝20，求PA的长．解：(1)作⊙O的直径AD，连结BD.∵∠C＝∠D，∠ABD＝90°，∴∠D＋∠BAD＝90°，∴∠C＋∠BAD＝90°.又∵∠PCA＝∠BAP，∴∠BAD＋∠PAB＝90°.即AP⊥AD，∴PA是⊙O的切线；(2)△ABP∽△CAP.理由如下：∵∠PCA＝∠BAP，∠CAP＝∠P，∴△ABP∽△CAP；(3)∵PB∶BC＝2∶3，且PC＝10，∴PB＝4.又∵PA2＝PB·PC，∴PA2＝4×10＝40，∴PA＝2.【解题心得】 圆与四边形的综合【例3】半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．(1)过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点．①填空：如图①，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是________；②如图②，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；(2)以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形(如图③)，至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．9\n【解析】(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出OA；(2)设∠MON＝n°，得出扇形MON的面积进而利用函数增减性．①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大；②当MN＝DC＝2时，MN最小，分别求出即可．【答案】解：(1)①30°；②∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD＝90°.∵正方形ADCB中，∠ADC＝90°，∴OF∥AD.∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形．∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO.∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上，∴EA⊥OB.∵∠OEB＝∠OAE，∴△EOA∽△BOE，∴＝，∴OE2＝OA·OB，∴OA(2＋OA)＝4，解得：OA＝－1±，∵OA>0，∴OA＝－1；(2)如图③，连结MN，设∠MON＝n°，S扇形MON＝×22＝n(cm2)，S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON＝2∠NOK，MN＝2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK＝＝，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN＝BD，∠MON＝∠BOD＝90°，S扇形MON最大＝πcm2，②当MN＝DC＝2cm时，MN最小，9\n∴ON＝MN＝OM，∴∠NOM＝60°，S扇形MON最小＝πcm2，∴πcm2≤S扇形MON≤πcm2.【点评】此题是融计算、探究为一体的综合题，(1)简单易上手；(2)将正方形、圆、平移综合在一起探究扇形面积的最大值与最小值，难度大，对学生的数学能力要求高．本题主要考查了圆的综合应用、相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题的关键．【针对练习】3．(2022贵港中考)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC＝8，tan∠BAC＝，求⊙O的半径．解：(1)连结OA，OP，OP交AD于点E.∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA.∴OP⊥AD，∴∠DAP＋∠APE＝90°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA.∵四边形ABCD为菱形，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠PAB＋∠APO＝90°，∴∠OAP＋∠PAB＝90°，∴AB是⊙O的切线；(2)连结BD，交AC于点F.∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分．∵AC＝8，tan∠BAC＝，∴AF＝4.∵tan∠DAC＝＝，∴DF＝2，∴AD＝＝2，∴AE＝.在Rt△PAE中，tan∠DAC＝＝，9\n∴PE＝.设⊙O的半径为R，则OE＝R－，OA＝R，在Rt△OAE中，∵OA2＝OE2＋AE2，∴R2＝(R－)2＋()2，∴R＝，即⊙O的半径为.【解题心得】 圆与函数的结合【例4】如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝(x>0)图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A，B.(1)求证：线段AB为⊙P的直径；(2)求△AOB的面积；(3)如图②，Q是反比例函数y＝(x>0)图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C，D.求证：DO·OC＝BO·OA.【解析】(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；(2)将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；(3)对于反比例函数上另外一点Q,⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积依然不变，与△AOB的面积相等．【答案】解：(1)∵∠AOB＝90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径；(2)设点P坐标为(m，n)(m>0，n>0)，∵点P是反比例函数y＝(x>0)图象上一点，∴mn＝12.如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM＝m，ON＝n.由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，9\n∴OA＝2OM＝2m，OB＝2ON＝2n，∴S△AOB＝BO×OA＝×2n×2m＝2mn＝2×12＝24；(3)∵以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C，D，∠COD＝90°，∴DC是⊙Q的直径．若点Q为反比例函数y＝(x>0)图象上异于点P的另一点，参照(2)，同理可得：S△COD＝DO×CO＝24，则有：S△COD＝S△AOB＝24，即BO×OA＝DO×CO，∴DO·OC＝BO·OA.【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大，试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4|k|；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．【针对练习】4．(2022云南中考)已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；(3)设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．解：(1)连结OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC∥OP，∴∠OAC＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP.∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°；在△OCP和△OBP中，∴△OCP≌△OBP(SAS)，∴∠OCP＝∠OBP，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，∴∠OCP＝90°.9\n∴OC⊥PC，且OC为半径，∴PC是⊙O的切线；(2)过点O作OD⊥AC于点D.∵OP＝AC，∴＝，设OP＝3k，AC＝2k，∴CD＝AC＝k.∵∠ODC＝∠PCO＝90°，∠DCO＝∠COP，∴△CDO∽△OCP.∴＝，∴OC2＝CD·OP＝k·3k＝3k2，OC＝k.∴sin∠CPO＝＝＝；(3)过点A作AE⊥MC于点E，并延长交⊙O于点K，则AE＝d.过点B作BF⊥MC于点F，则BF＝f.连结BK，则四边形EKBF是矩形，∴EK＝BF，∴d＋f＝AE＋BF＝AE＋EK＝AK，∴AC≤AK≤AB，∴9≤d＋f≤15. 【解题心得】9
