2022年山东省德州市中考数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）（2022•尤溪县质检）下列运算中，正确的是（ ） A．4﹣1=﹣4B．40=1C．D．|﹣4|=﹣4考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂．分析：根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，任何非零数的零次幂等于1，算术平方根的定义，绝对值的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、4﹣1=，故本选项错误；B、40=1，故本选项正确；C、=2，故本选项错误；D、|﹣4|=4，故本选项错误．故选B．点评：倍考查了负整数指数幂，零次幂，以及算术平方根，绝对值的性质，是基础概念题． 2．（3分）（2022•新疆）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ） A．30°B．45°C．60°D．75°考点：三角形的外角性质；平行线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．解答：解：如图，根据两直线平行，内错角相等，∴∠1=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠α=∠1+30°=75°．故选D．点评：本题利用了两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．（3分）（2022•德州一模）下列各式（题中字母均为正整数）中化简正确的是（ ） A．B．C．D．考点：二次根式的性质与化简．17\n分析：根据二次根式的性质：=|a|进行化简即可．解答：解：A、==，故此选项错误；B、=×2=，故此选项错误；C、=b，故此项选项错误；D、=b，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的性质：=|a|． 4．（3分）（2022•德州一模）由两个紧靠在一起的圆柱组成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A．两个内切的圆B．两个相交的圆C．两个外切的圆D．两个外离的圆考点：简单组合体的三视图；圆与圆的位置关系．分析：圆柱的俯视图是圆，再根据图中圆柱的位置可得两圆外切．解答：解：它的俯视图是两个外切的圆，故选：C．点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从上面看所得到的视图． 5．（3分）（2022•钦州）不等式组的解集是（ ） A．x＞﹣1B．﹣1＜x＜2C．x＜2D．x＜﹣1或x＞2考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：由①得，x＞﹣1，由②得，x＜2，∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．故选B．点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 6．（3分）（2022•德州一模）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100°的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（ ）17\n A．25°或50°B．20°或50°C．40°或50°D．40°或80°考点：剪纸问题．分析：折痕为AC与BD，∠BAD=100°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=40°，易得∠BAC=50°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，∵∠BAD=100°，∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°，∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．故选C．点评：此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角． 7．（3分）（2022•德州一模）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（ ） A．7mB．6mC．5mD．4m考点：相似三角形的应用．分析：此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．解答：解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，17\n解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选A．点评：此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角形，并建立适当的数学模型来解决问题． 8．（3分）（2022•莱芜）四名运动员参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数及方差S2如下表所示：甲乙丙丁8.39.29.28.5S2111.11.7如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，那么应选（ ） A．甲B．乙C．丙D．丁考点：统计量的选择．分析：先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．解答：解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，由于S2乙＜S2丙，故丙的方差大，波动大．故选B．点评：本题考查方差的定义与意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 9．（3分）（2022•德州一模）已知m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）为（ ） A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求得m+n=4，mn=﹣3，然后将其代入展开后的所求代数式中并求值即可．解答：解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个实数根，∴m+n=4，mn=﹣3，∴（m﹣2）（n﹣2）=mn﹣2（m+n）+4=﹣3﹣8+4=﹣7．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 10．（3分）（2022•宜城市模拟）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）17\n A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．分析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．解答：解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故本选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故本选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故本选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点． 11．（3分）（2022•齐河县一模）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．正确的说法个数是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上即可求出a、b、c的正负，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．解答：解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，∴a＞0，﹣＞0，c＜0，17\n即b＜0，∴abc＞0，∴①正确；根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，∴②正确；把x=1代入抛物线得：a+b+c＜0，∴③错误；对称轴是直线x==1，根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∴正确的个数有3个．故选C．点评：本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目． 12．（3分）（2022•德州一模）如图是一个由正方形ABCD和半圆O组成的封闭图形，点O是圆心．点P从点A出发，沿弧AB，线段BC和线段CD，线段DA匀速运动，到达终点A．运动过程中OP扫过的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：解决本题的关键是读懂图意，根据题意写出各段的解析式，由此可得出答案．解答：解：∵设正方形的边长为1，则半圆的半径为0.5；设点P的运动速度为a，时间为t，当点P从点A到点B的过程中，OP扫过的面积S=at×0.5=at；当点P在线段BC上运动时，OP所扫过的面积=S△BOP+S半圆=×0.5×（at﹣π）+π×（）2=at；当点P在线段CD上时，OP所扫过的面积=S△OBC+S半圆+S△OCP=×1×+π×（）2+×1×（at﹣1﹣π）=at；当点P在线段AD上时，OP所扫过的面积=S△OBC+S半圆+S△OCD+S△OPD=×1×+π×（）2+×1×+××（at﹣2﹣π）=at．∴动过程中OP扫过的面积（S）随时间（t）变化的图象是正比例函数．17\n故选D．点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（2022•德州一模）2022年德州市参加中考人数约为39400人．39400用科学记数法表示为 3.94×104 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39400有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．解答：解：39400=3.94×104．故答案为：3.94×104．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 14．（4分）（2022•德州一模）定义运算，则（﹣2）⊗（﹣3）= ﹣2 ．考点：有理数的减法；有理数大小比较．专题：新定义．分析：先根据减去一个数等于加上这个数的相反数求出﹣2﹣（﹣3），再根据新定义解答．解答：解：∵﹣2﹣（﹣3）=﹣2+3=1，∴（﹣2）⊗（﹣3）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键，还要弄明白新定义的运算规则． 15．（4分）（2022•德州一模）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 0＜x＜3 ．考点：二次函数与不等式（组）．专题：数形结合．分析：根据图形抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，即可得出关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，∴关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集是0＜x＜3．故答案为：0＜x＜3．点评：17\n本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式． 16．（4分）（2022•德州一模）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO•AP=OB2．其中正确的序号是 ①②③ ．（把你认为正确的序号都填上）考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：设AD=x，AB=2x，根据矩形的性质得出AD=BC=x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，求出DE=CE=x，CP=x，BP=x，根据tan∠CEP=，tan∠EBC=，求出∠CEP=30°，∠EBC=30°，∠CEB=60°，即可判断①；证出∠F=∠EBP和∠PEB=∠PEB，即可推出△EBP∽△EFB，判断②即可；证△ECP∽△FBP和△ABP≌△FBP，即可判断③，证出△AOB∽△BOP，得出=，推出OB2=AO•OP，即可判断④．解答：解：设AD=x，AB=2x，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，∵E为CD中点，∴DE=CE=x，∵CP：BP=1：2，∴CP=x，BP=x，∵tan∠CEP===，tan∠EBC===，∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，∵∠C=90°，∴∠CEB=60°，∴∠BEP=30°=∠CEP，即EP平分∠CEB，∴①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∵∠EBP=30°，∴∠F=∠EBP，∵∠PEB=∠PEB，∴△EBP∽△EFB，∴②正确；∵DC∥AB，∴△ECP∽△FBP，∴==，17\n∴EC=BF，∵E为CD中点，AB=CD，∴EC=CD=AB，∴AB=BF，在△ABP和△FBP中，∴△ABP≌△FBP，∵△ECP∽△FBP，∴△ABP∽△ECP，∴③正确；∵△ABP≌△FBP，∴∠PAB=∠F=∠CEP=30°，∵∠ABC=90°，∴∠APB=60°，∵∠EBC=30°，∴∠AOB=30°+60°=90°=∠POB，∵∠PAB=∠PBO=30°，∴△AOB∽△BOP，∴=，∴OB2=AO•OP，∴AO•AP=OB2不对，∴④错误；故答案为：①②③．点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大，综合性比较强． 17．（4分）（2022•平遥县模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0）．过A作AA1⊥OB，垂足为A1；过A1作A1A2⊥x轴，垂足为A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为A4…；这样一直作下去，则A2022的纵坐标为 ．17\n考点：规律型：点的坐标．分析：根据锐角三角函数关系得出A1A2，A2A3…的长，进而得出各点的纵坐标关系，进而得出规律求出答案．解答：解：过A作AA1⊥OB，垂足为A1；过A1作A1A2⊥x轴，过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为A4…∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），∴A1A=AO=1，∴A1A2=A1A×cos30°=，∴A2A3=A1A2×cos30°=×，…则A2022的纵坐标A2022A2022=（）2022．故答案为：（）2022．点评：此题主要考查了点的坐标规律，根据已知得出点A纵坐标变化规律是解题关键． 三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（2022•德州一模）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值．分析：首先把分式的分子分母分解因式，然后约分化简，注意运算的结果要化成最简分式或整式，再把给定的值代入求值．解答：解：原式=•﹣，=﹣，=﹣，当时，原式=﹣=﹣．点评：此题主要考查了分式的化简求值，解答此题的关键是正确把分式化简，然后代入a的值计算． 19．（8分）（2022•河南）为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如右的调查问卷（单选）．在随机调查了奉市全部5000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：17\n根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m= 20 ；（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．专题：压轴题．分析：（1）先算出C组里的人数，根据条形图B的人数，和扇形图B所占的百分比求出总人数，然后减去其他4组的人数，求出C的人数．（2）全市所以司机的人数×支持选项B的人数的百分比可求出结果．（3）根据（2）算出的支持B的人数，以及随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则可算出支持该选项的司机小李被选中的概率是多少．解答：解：（1）69÷23%﹣60﹣69﹣36﹣45=90（人）．C选项的频数为90，m%=60÷（69÷23%）=20%．所以m=20；（2分）（2）支持选项B的人数大约为：5000×23%=1150．（6分）（3）∵总人数=5000×23%=1150人，∴小李被选中的概率是：=．（9分）点评：本题考查认知条形统计图和扇形统计图的能力，条形统计图告诉每组里面的具体数据，扇形统计图告诉部分占整体的百分比以及概率等概念从而可求出解． 20．（8分）（2022•贵港）已知点P（1，2）在反比例函数y=的图象上．（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：17\n（1）把点P的坐标代入反比例函数解析式可得到比例系数k，然后把x=﹣2代入即可求得相应的函数值y；（2）把x=1，x=4代入函数关系式，得到对应的y的值，那么y的取值在这两个得到的值之间．解答：解：（1）∵点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，∴2=，∴k=2，∴y=，当x=﹣2时，y=；（2）∵当x=1时，y=2；当x=4时，y=；又∵反比例函数y=在x＞0时，y值随x的增大而减小，∴当1＜x＜4时，y的取值范围为＜y＜2．点评：用到的知识点为：点在函数解析式上，那么这点的横纵坐标应适合这个函数解析式；给定两个变量中的一个量，根据函数关系式可得另一个量． 21．（10分）（2022•德州一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．分析：（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只需证明∠ABF=90°；（2）连接DO，EO．利用圆心角、弧、弦间的关系推知△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质知，在直角△ABF中，∠OAD=60°，AB=2AD=10，所以通过解该三角形即可求得线段BF的长度．解答：（1）证明：∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF．又∵AC=CF，∴CB=AF，∴△ABF是直角三角形．∴∠ABF=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：连接DO，EO．∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD=60°．又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∠OAD=60°，OA=AD=5．17\n又∵∠ABF=90°，AB=2OA=10，∴BF=10．点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质等．解题时，充分利用了圆心角、弧、弦间的关系． 22．（10分）（2022•德州一模）在市政府实施市容市貌工程期间，某中学在教学楼前铺设小广场地面．其图案设计如图1，正方形小广场地面的边长是40m，中心建一直径为20m的圆形花坛，四角各留一个边长为10m的小正方形花坛，种植高大树木．图中其余部分铺设广场砖．（1）请同学们帮助计算铺设广场砖部分的面积S（π取3）；（2）某施工队承包铺设广场砖的任务，计划在一定时间内完成，按计划工作一天后，由于改进了铺设工艺，每天比原计划多铺60m2，结果提前3天完成了任务，原计划每天铺设多少m2？（3）如图2表示广场中心圆形花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植6种不同颜色的花卉，为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各花卉的种植面积相等．请你帮助设计一种方案，画在图2上．（不必说明方案，不写作法，保留作图痕迹）考点：作图—应用与设计作图；分式方程的应用．分析：（1）实际铺设面积=总面积﹣圆面积﹣4×矩形面积；（2）等量关系为：原计划铺设天数=实际铺设天数+3．实际铺设天数又有两部分：1+改进提高工作效率后的天数，由此可设出未知数，列出方程；（3）本小题即是将圆的面积六等分，方案不唯一，可以画出六个全等的扇形．解答：解：（1）根据题意可知：S=402﹣π×102﹣4×102=900（m2）；（2）设原计划每天铺设xm2广场砖，由题意可列方程：=1++3，解此方程得：x1=100，x2=﹣180（舍去）．经检验x=100符合题意，所以原计划每天铺设100m2；（3）设计方案如下（方案不唯一）：17\n点评：此题主要考查了图形面积的计算，分式方程的应用，应用与设计作图，难度适中．分析题意，找到关键描述语，由阴影面积=总面积﹣圆面积﹣4×矩形面积，求得阴影面积，解分式方程一定要验根．根据圆的性质正确的六等分圆是解（3）小题的关键． 23．（10分）（2022•东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF；（2）首先延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD；（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．解答：（1）证明：∵四边形是ABCD正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE=GF，17\n∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC．…（7分）∵∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…（8分）∴10=4+DG，即DG=6．设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…（9分）∴AB=12．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．即梯形ABCD的面积为108．…（10分）点评：此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 24．（12分）（2022•平遥县模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．17\n考点：二次函数综合题．分析：（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再利用在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=（4﹣m）2，求出m的值，进而得出O，A，B的坐标，再利用交点式求出抛物线解析式即可；（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐标，进而得出关于PM的解析式，即可得出二次函数最值；（3）①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．②当AO为平行四边形的边时，分别得出E点坐标即可．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB﹣BH=2，OA=4﹣m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=（4﹣m）2，得m=．∴OC=，OA=AC﹣OC=，∴O（0，0）A（，0），B（﹣，3）．设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x﹣）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：17\n解之得：，∴直线AB的解析式为y=．设动点P（t，），则M（t，）．∴d=（）﹣（）=﹣=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．（3）设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，﹣）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（﹣，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，﹣），E2（，），E3（﹣，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和平行四边形的性质等知识，得出A，B点的坐标是解题关键． 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