2022年山东省德州市齐河县中考数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）（2022•徐州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≤1考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题；压轴题．分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选A．点评：本题考查了二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 2．（3分）（2022•东营）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（ ） A．50°B．30°C．20°D．15°考点：平行线的性质；三角形的外角性质．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．解答：解：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°．∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选C．点评：本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．两直线平行，同位角相等． 3．（3分）（2022•抚顺）下列运算正确的是（ ） A．a+a2=a3B．（3a）2=6a2C．a6÷a2=a3D．a•a3=a4考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法法则进行计算．解答：解：A、a与a2是相加，不是相乘，所以指数不能相加，故选本项错误；B、应为（3a）2=9a2，故本选项错误；C、应为a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；D、a•a3=a1+3=a4，正确．17\n故选D．点评：本题主要考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法法则．同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 4．（3分）（2022•河源）如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是（ ） A．这一天中最高气温是24℃ B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低考点：函数的图象．分析：根据广州市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．解答：解：0时至2时之间和14时至24时之间的气温在逐渐降低，剩下时段气温逐渐上升，所以其中A、B、C的说法都是正确的，故选D．点评：本题考查的是统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 5．（3分）（2022•张家界）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：简单几何体的三视图．分析：四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．解答：解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选B．点评：考查立体图形的左视图，考查学生的观察能力． 6．（3分）（2022•黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ） A．14B．12C．12或14D．以上都不对17\n考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．解答：解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形． 7．（3分）（2022•荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（ ） A．8B．4C．8D．6考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先由正方形ABCD的对角线长为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．解答：解：∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2×=2，∴AB=BC=CD=AD=2，由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．故选C．点评：此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用． 8．（3分）（2022•临沂）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A．B．C．D．1考点：概率公式；中心对称图形．17\n分析：确定既是中心对称的有几个图形，除以4即可求解．解答：解：∵是中心对称图形的有圆、菱形，所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是=；故选B．点评：此题考查了概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是能够找出中心对称图形． 9．（3分）（2022•齐河县一模）在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（ ） A．2个B．3个C．4个D．5个考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．专题：分类讨论．分析：以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，两个三角形中O与O一定是对应顶点，D与△AOB中的A可能是对应顶点，也可能与B是对应顶点，应分两种情况进行讨论．解答：解：当D与A是对应顶点时，过C作AB的平行线，与x轴的交点D就满足条件，以C为圆心，以CD为半径作弧，与x轴的负半轴的交点也满足条件；当D与B是对应顶点时，设OD=x，则=，即=，解得x=6，因而D的坐标是（6，0）或（﹣6，0）．故满足条件的点有4个，故选C．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应顶点的情况讨论是解题关键． 10．（3分）（2022•齐河县一模）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则tan∠EAB的值是（ ） A．B．C．D．17\n考点：相切两圆的性质；锐角三角函数的定义．分析：设两圆的半径分别为R，r利用R、r表示出AE、BE、AB，然后利用勾股定理列式求出R与r的关系，再用R与r表示出BE，tan∠EAB的值等于BE与AB的比值．解答：解：如图，设以AB为半径的圆弧的半径为R，以E为圆心的半圆的半径为r，则AB=R，AE=R+r，BE=R﹣r，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，即（R+r）2=R2+（R﹣r）2，整理的R=4r，∴BE=R﹣r=4r﹣r=3r，tan∠EAB===．故选C．点评：本题考查了两圆相切，圆心距等于两圆半径的性质，勾股定理以及三角函数的定义，利用勾股定理求出两圆半径的关系是解题的关键． 11．（3分）（2022•齐河县一模）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大．正确的说法个数是（ ） A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上即可求出a、b、c的正负，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．解答：解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，∴a＞0，﹣＞0，c＜0，即b＜0，∴abc＞0，∴①正确；根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，∴②正确；把x=1代入抛物线得：a+b+c＜0，∴③错误；对称轴是直线x==1，根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∴正确的个数有3个．17\n故选C．点评：本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目． 12．（3分）（2022•齐河县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ） A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；图表型．分析：连接PC，作PD⊥BC于D，构造直角三角形后利用相似三角形用t表示出PD、CD的长，利用勾股定理表示出y，即可确定其图象．解答：解：①连接PC，作PD⊥BC于D，∵∠ACB=90°，∴△BPD∽△BAC，∴，∵AP=t，AB=5cm，BC=3cm，∴BP=5﹣t，AC=4cm，∴，解得：PD=4﹣，BD=3﹣，∴DC=，∵y=PC2=PD2+DC2=（4﹣）2+（）2=t2﹣+16（t＜5），②当5≤t≤8时，PC2=（8﹣t）2=t2﹣16t+64．故选A．17\n点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是正确的构造直角三角形并利用相似三角形的知识表示出PC的平方． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（2022•广安）如图，条形图描述了某班随机抽取的部分学生一周内阅读课外书籍的时间，请找出这些学生阅读课外书籍所用时间的中位数是 6 ．考点：中位数．专题：图表型．分析：求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．解答：解：题目中数据共有37个，故按从小到大排列后第19个数作为中位数，故这组数据的中位数是6．故填6．点评：本题重点考查了中位数的求法．结合图形的题目不用把所有数都按从大到小或从小到大的顺序排列起来，可以从图中从下往上找中间的一点（数据总数为奇数个）或两点（数据总数为偶数个）即可．本题是一道较为简单的题目． 14．（4分）（2022•齐河县一模）小华的妈妈为小华买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元，则裤子的标价为 120 元．考点：一元一次方程的应用．分析：设裤子的标价是x元，根据小华买了一件上衣和一条裤子，共用306元．其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价是300元可列方程求解．解答：解：设裤子的标价是x元，300×0.7+0.8x=306，x=120．故裤子的价格是120元．故答案为：120．点评：此题考查了一元一次方程的应用，根据标价打折，以实际售价做为等量关系列方程求解是解题关键． 15．（4分）（2022•齐河县一模）如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6、3，则图中阴影部分的面积为 9﹣3π ．17\n考点：扇形面积的计算；切线的性质．专题：计算题．分析：连接OP，根据切线的性质和两个圆的半径，可求得∠A的度数，由勾股定理得出AP的长，进而得出∠AOB，用△AOB的面积减去扇形OCD的面积．解答：解：如图，∵AB切大⊙O，∴∠APO=90°，∵OA=6，OP=3，∴∠A=30°，AP=3，∴∠AOB=120°，∴S阴影=S△AOB﹣S扇形OCD=﹣=9﹣3π．故答案为：9﹣3π．点评：本题考查了切线的性质和扇形面积的计算，以及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大． 16．（4分）（2022•齐河县一模）如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为 ﹣2 ．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：由的图象经过点C，可求C（0，2），代入一次函数y=﹣x+m求m的值，得出A点坐标，计算△AOC的面积，由四边形DCAE的面积为4，可知矩形OCDE的面积，从而得出k的值．解答：解：∵的图象经过点C，∴C（0，2），将点C代入一次函数y=﹣x+m中，得m=2，17\n∴y=﹣x+2，令y=0得x=2，∴A（2，0），∴S△AOC=×OA×OC=2，∵四边形DCAE的面积为4，∴S矩形OCDE=4﹣2=2，∴k=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标求法，矩形面积与反比例系数的关系．关键是通过求三角形的面积确定矩形的面积． 17．（4分）（2022•仙桃）如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为 2n﹣1 ．考点：一次函数综合题．专题：压轴题；规律型．分析：解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n=1，n=2…总结出规律．解答：解：根据题意不难得出第一个正方体的边长=1，那么：n=1时，第1个正方形的边长为：1=20n=2时，第2个正方形的边长为：2=21n=3时，第3个正方形的边长为：4=22…第n个正方形的边长为：2n﹣1点评：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（2022•哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中x=cos30°+．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：先将括号内的分式通分，然后进行加减，再将除法转化为乘法进行计算，然后化简x=cos30°+，将所得数值代入化简后的分式即可．解答：解：原式=•=•=x+1，17\n∵x=cos30°+=×+=+=2，∴原式=2+1=3．点评：本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟悉因式分解及分式的除法法则是解题的关键． 19．（8分）（2022•龙岩）某校为了解八年级300名学生期中考的数学成绩，随机抽查了该年级50名学生的期中考数学成绩进行分析，绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图．频数分布表
成绩分组频数频率30≤x＜4010.0240≤x＜5010.0250≤x＜6030.0660≤x＜70100.270≤x＜80150.380≤x＜90150.390≤x＜10050.1合计501（1）以上分组的组距= 10 ；（2）补全频数分布表和频数分布直方图；（3）请你估计该校八年级期中考数学成绩优秀（不低于80分为优秀）的总人数．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．专题：常规题型．分析：（1）观察每个分组的起末数据，即可得出答案；（2）总的调查学生为50人，根据第三组的频数为3，即可求出该组的频率；根据第四组的频率，可求出该组的频数；继而即可补全频数分布表和频数分布直方图即可；（3）用总人数乘以第五组和第六组的频率，计算即可得解．解答：解：（1）以上分组的组距=10；（2）∵总的调查学生为50人，第三组的频数为3，∴该组的频率==0.06，∵第四组的频率为0.2，∴该组的频数=0.2×50=10，17\n补全频数分布表如下所示：成绩分组频数频率30≤x＜4010.0240≤x＜5010.0250≤x＜6030.0660≤x＜70100.270≤x＜80150.380≤x＜90150.390≤x＜10050.1合计501补全频数分布直方图如下所示：（3）该校八年级期中考数学成绩优秀（不低于80分为优秀）的总人数为：300×（0.1+0.3）=120（人）．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（8分）（2022•莆田）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧的中点．（1）求证：四边形AOBD是菱形；（2）延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线．考点：切线的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）连接OD．则∠AOD=∠DOB=60°，△AOD、△BOD都是等边三角形，所以四边形四边都相等，判定为菱形；17\n（2）要证明AP是⊙O的切线，只需证出OA⊥PA即可．连接AC，易证△APB为等边三角形，得AC=CO；根据BP=3OB，可得PC=CO，所以AC=PO，从而得∠PAO=90°．解答：证明：（1）连接OD．∵∠AOB=120°，点D为劣弧的中点，∴∠AOD=∠DOB=60°．∵OA=OD=OB，∴△AOD、△BOD都是等边三角形，∴OA=OB=BD=AD，∴四边形AOBD是菱形；（2）连接AC．∵BP=3OB，OB=OC，∴PC=CO．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．又OA=OC，∴△AOC是等边三角形，AC=OC．∴AC=PO．∴∠PAO=90°．∴OA⊥PA，∴AP是⊙O的切线．点评：此题考查了切线的判定、菱形的判定等知识点，难度中等． 21．（10分）（2022•齐河县一模）国美电器“家电下乡”指定型号冰箱、空调的进价和售价如下表所示：类别冰箱空调进价（元/台）23001800售价（元/台）24201940（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴．到该商场购买了冰箱、空调各一台，可以享受多少元的政府补贴？（2）为满足农民需求，商场决定用不超过8万元采购冰箱、空调共40台，且冰箱的数量不少于空调数量的．①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价﹣进价），最大利润是多少？考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意得出式子2420×13%+1940×13%，求出即可；17\n（2）①设采购了x台冰箱，利润是y元，采购了（40﹣x）台空调，得出x≥0，x≥（40﹣x），40﹣x≥0，2300x+1800（40﹣x）≤80000，求出不等式组成的不等式组的解集即可；②根据x的范围得出x可以为12、13、14、15、16六种情况，求出每种情况所获得的利润，比较即可得出答案．解答：（1）解：2420×13%+1940×13%=566.8（元），答：购买了冰箱、空调各一台，可以享受566.8元的政府补贴；（2）解：设采购了x台冰箱，利润是y元，采购了（40﹣x）台空调，则x≥0，x≥（40﹣x），40﹣x≥0，解得：12≤x≤40，①∵为满足农民需求，商场决定用不超过8万元采购冰箱、空调共40台，∴2300x+1800（40﹣x）≤80000，解得：x≤16，②由①②得：12≤x≤16，∴x可以为12、13、14、15、16，①有以下5种方案：方案一：采购12台冰箱，28台空调，方案二：采购13台冰箱，27台空调，方案三：采购14台冰箱，26台空调，方案四：采购15台冰箱，25台空调，方案五：采购16台冰箱，24台空调；②解：当x=12，40﹣x=28时，y=12×（2420﹣2300）+28×（1940﹣1800）=5360；当x=13，40﹣x=27时，y=13×（2420﹣2300）+27×（1940﹣1800）=5340；当x=14，40﹣x=26时，y=14×（2420﹣2300）+26×（1940﹣1800）=5320；当x=15，40﹣x=25时，y=15×（2420﹣2300）+25×（1940﹣1800）=5300；当x=16，40﹣x=24时，y=16×（2420﹣2300）+24×（1940﹣1800）=5280；∴选择x=12，40﹣x=28时利润最大，即选择采购12台冰箱，28台空调时，商场获得的利润最大，最大利润是5360元．点评：本题考查了有关利润问题，解此题的关键是能把实际问题转化成数学问题，题目比较好，但是有一定的难度． 22．（10分）（2022•齐河县一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一点，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．（1）求证：；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；（2）FD与DG垂直，由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论．解答：（1）证明：在△ADC和△EGC中，17\n∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，∴△ADC∽△EGC，∴；（2）答：FD与DG垂直，证明：在四边形AFEG中，∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，∴四边形AFEG为矩形．∴AF=EG．∵，∴，又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD=∠C=90°﹣∠DAC，∴△AFD∽△CGD．∴∠ADF=∠CDG．∵∠CDG+∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=90°．即∠FDG=90°．∴FD⊥DG．点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的对应边的比相等，对应角相等． 23．（10分）（2022•菏泽）如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．17\n考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）易证BD=AB，则很容易求解．（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，把求CD的问题转化为求DO和CO的问题．解答：解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC=∠EAC=60°．∵∠FBD=30°∴∠DBC=∠FBC﹣∠FBD=30°．（2分）又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∴∠ADB=15°．∴∠DAB=∠ADB．∴BD=AB=2．即BD之间的距离为2km．（4分）（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，∴CD=DO﹣CO=（km）．即C，D之间的距离km．（8分）点评：考查直角三角形、锐角三角函数等基础知识，这样的题目可让思维和能力不同的考生能有不同的表现． 24．（12分）（2022•郴州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17\n考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式x=﹣求出对称轴；（2）如答图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出点M的坐标；（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，∴，解得a=，b=，c=3，∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3；其对称轴为：x=﹣=1．（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．如答图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA+MB=MA+MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（4，0），C（0，3），∴，解得k=，b=3，∴直线AC的解析式为：y=x+3，令x=1，得y=，∴M点坐标为（1，）．（3）结论：存在．如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．17\n由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求．抛物线解析式为：y=x2+x+3，令y=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．设CP2与x轴交于点N，∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形，∴AN=BC=2，∴N（2，0）．设直线CN的解析式为y=kx+b，则有：，解得k=，b=3，∴直线CN的解析式为：y=x+3．∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：y=x2+x+3上，∴x+3=x2+x+3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为﹣6，∴P2（6，﹣6）．∵▱ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣6）．17\n点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及梯形的定义与应用等知识点，属于代数几何综合题，有一定的难度．第（3）问为存在型问题，注意P点不止一个，此处为易错点． 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