专题七动点问题动点试题是近几年中考命题的热点，与一次函数、二次函数等知识综合，构成中考试题的压轴题.动点试题大致分为点动、线动、图形动三种类型.动点试题要以静代动的解题思想解题.下面就中考动点试题进行分析. 例1 （2022年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD. 1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积； 2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）. （1）求S关于t的函数关系式； （2）求S的最大值. 1.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置. 由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积. 略解：由AP=2，∠A=60°得AE=1，EP=.因此. 2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况： （1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6. ②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.21\n ⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6. AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=t,AG=(t+2),由三角函数PG=(t+2), FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S=·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+. ②当6＜t≤8时， S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP. 易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2. 而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2. ∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8 ⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值.0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值. 略解：由于所以t=6时，S最大＝；21\n 由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6. 综上所述,当t=8时，S最大=6. 例2．（2022年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). 1.求A、B两点的坐标； 2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式； 3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标. 解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)， ∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=. ∴A(2,)，B（6,）. 2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一. 直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况： ①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①). ②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②). ③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).21\n 略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2. ②S=ON·MN=t·2=t. ③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2-(t-4)=6-t, ∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t. 方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=-t2+3t. 方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=, =4×2=8,=·2·(t-2)=t-2, =·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2, ∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t. 3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值. 略解：由2知，当0≤t≤2时，=×22=2； 当2＜t≤4时，=4；21\n 当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+， ∴当t=3时，函数S＝-t2+3t的最大值是. 但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不是. 而当t＞3时，函数S＝-t2+3t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4. 综上所述，当t=4秒时，=4. 练习1（2022年南安市）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． ⑴求P点从A点运动到D点所需的时间； ⑵设P点运动时间为t（秒）. 当t＝5时，求出点P的坐标； 若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）． 解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）. （2）当t＝5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2. 过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2. ∴OE=OA+AE=10+2=12.∴点P的坐标为（12，3）． 分三种情况： ．当0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t=t2.21\n ．当3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t，∴s=×2t×3=3t. ．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP=t， ∴DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t.∴s=×2t×(11-t)=-t2+11t. 综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s=t2；当3＜t≤8时，s=3t；当8＜t＜11时，s=-t2+11t. 练习2 如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE． （1）当CD=1时，求点E的坐标； （2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)正方形OABC中，因为ED⊥OD，即∠ODE=90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，所以∠COD=∠EDB.又因为∠OCD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED. 所以，即，BE=，则.因此点E的坐标为（4，）． (2)存在S的最大值． 由于△CDO∽△BED，所以，即，BE=t－t2. ×4×(4＋t－t2)． 故当t=2时，S有最大值10．1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；21\n②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？AQCDBP（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？解：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．（4分）②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．（7分）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．（12分）2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；21\nxAOQPBy（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）1分当在线段上运动（或0）时，1分当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得，1分1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）1分3分3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.21\n∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴，∴∴，∴，∴.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：21\n5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．ACBPQED图16（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与21\nt的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．解：（1）1，；ACBPQED图4（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴．由△AQF∽△ABC，，得．∴．∴，ACBPQED图5AC(E))BPQD图6GAC(E))BPQD图7G即．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC，得，即．解得．②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP ∽△ABC，得，即．解得．（4）或．①点P由C向A运动，DE经过点C．连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．，．由，得，解得．②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．，】6（09河南））如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；21\nOECBDAlOCBA（备用图）（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形.……………6分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO==.……………………8分在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形……………………10分ADCBMN7（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长．（2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形∴……………………1分在中，2分在中，由勾股定理得，∴……………3分（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形∵（图①）ADCBKH∴∴∴……………4分由题意知，当、运动到秒时，21\n∵∴又∴（图②）ADCBGMN∴……………5分即解得，……………6分（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴……………7分ADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE②当时，如图④，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，∴解得8分解法二：∵∴∴即∴……………8分③当时，如图⑤，过作于点.解法一：（方法同②中解法一）21\n（图⑤）ADCBHNMF解得解法二：∵∴∴即∴综上所述，当、或时，为等腰三角形9分8（09江西）如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.解（1）如图1，过点作于点1分∵为的中点，∴在中，∴……………2分∴即点到的距离为……………3分（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．21\n图1ADEBFCG∵∴∵∴，同理……………4分如图2，过点作于，∵∴图2ADEBFCPNMGH∴∴则在中，∴的周长=6分②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．当时，如图3，作于，则类似①，∴7分∵是等边三角形，∴此时，8分当时，如图4，这时此时，当时，如图5，则又∴因此点与重合，为直角三角形．∴此时，21\n综上所述，当或4或时，为等腰三角形．10分9（09兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）（1，0）……………1分点P运动速度每秒钟1个单位长度．……………2分（2）过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．∴．在Rt△AFB中，……………3分过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．∵∴△ABF≌△BCH．∴．∴．∴所求C点的坐标为（14，12）．……………4分（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF．∴．．∴．∴．设△OPQ的面积为（平方单位）∴（0≤≤10）……………5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵<0∴当时，△OPQ的面积最大．6分此时P的坐标为（，）．7分（4）当或时，OP与PQ相等．9分21\n10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；ADFCGEB图1（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．（1分）证明：在上取一点，使，连接．（2分）．，．是外角平分线，，．．，，．（ASA）．……………（5分）．……………（6分）（2）正确．……………（7分）证明：在的延长线上取一点．使，连接．……………（8分）．．四边形是正方形，．．．（ASA）．……………（10分）．……………（11分）xyBOA11（09天津）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，21\nxyBOA则.设点的坐标为.则.于是.在中，由勾股定理，得，xyBOA即，解得.点的坐标为.……………4分（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即6分由点在边上，有，解析式为所求.当时，随的增大而减小，的取值范围为.7分（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有..有，得.9分在中，设，则.由（Ⅱ）的结论，得，解得.21\n图（1）ABCDEFMN点的坐标为.10分12（09太原）问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图（1）中，若则的值等于；若则的值等于；若（为整数），则的值等于．（用含的式子表示）联系拓广图（2）NABCDEFM如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于．（用含的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接．由题设，得四边形和四边形关于直线对称．∴垂直平分．∴……………1分∵四边形是正方形，∴∵设则在中，．N图（1-1）ABCDEFM∴解得，即…………3分在和在中，，，∴…………5分设则∴N图（1-2）ABCDEFMG解得即…………6分∴…………7分方法二：同方法一，…………3分如图（1－2），过点做交于点，连接∵∴四边形是平行四边形．∴21\n同理，四边形也是平行四边形．∴ ∵ 在与中 ∴５分∵…………6分∴…………7分类比归纳（或）；；…………10分联系拓广…………12分070809动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。②一个动点速度是参数字母。③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）三年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤21\n探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。21
