专题五以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例1.在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）分析：不论P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否则∠CPQ就不可能为直角。以CQ为直径做半圆D。①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以设，则在中，，即解得：，所以即当且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形。③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时，△CPQ不可能为直角三角形。所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。例2.如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E因为∠B＝∠A＝90°所以AD、BC为⊙O的切线即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，和是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。例3.如图5，△ABC的外部有一动点P（在直线BC上方），分别连结PB、PC2\n，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系。（02年广州市中考）分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆，问题就会迎刃而解。（1）当点P在△ABC外接圆外时，如图5，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC又因为∠BDC＝∠BAC，所以∠BPC＜∠BAC；（2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6，根据同弧所对的圆周角相等，∠BPC＝∠BAC；（3）当点P在△ABC外接圆内时，如图7，延长BP交△ABC外接圆于点D，连结CD，则∠BPC＞∠BDC，又∠BDC＝∠BAC，故∠BPC＞∠BAC。综上，知当点P在△ABC外接圆外时，∠BPC＜∠BAC；当点P在△ABC外接圆上时，∠BPC＝∠BAC；当点P在△ABC外接圆内时，∠BPC＞∠BAC。2
