2022年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2022•眉山）﹣2的倒数是（ ） A．2B．C．﹣D．﹣0.2考点：倒数．专题：计算题．分析：根据乘积为1的两数互为倒数，即可得出答案．解答：解：﹣2的倒数为﹣．故选C．点评：此题考查了倒数的定义，属于基础题，关键是掌握乘积为1的两数互为倒数． 2．（3分）（2022•南通一模）下列计算正确的是（ ） A．（﹣x）2=﹣x2B．3x2+2x3=5x5C．a4÷a=a3（a≠0）D．（x+y）2=x2+y2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．专题：计算题．分析：A、利用积的乘方运算法则计算得到结果，化简做出判断；B、本选项不能合并，错误；C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答：解：A、（﹣x）2=x2，本选项错误；B、本选项不能合并，错误；C、a4÷a=a3（a≠0），本选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选C点评：此题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 3．（3分）（2022•南通一模）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．19\n故选B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4．（3分）（2022•南通一模）计算（﹣a3）2的结果是（ ） A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8考点：幂的乘方与积的乘方．专题：计算题．分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：（﹣a3）2=a6故选A．点评：同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，记准法则是做题的关键． 5．（3分）（2022•南通一模）函数y=中，自变量x的取值范围（ ） A．x＞4B．x＜4C．x≥4D．x≤4考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，4﹣x≥0，解得x≤4．故选D．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 6．（3分）（2022•白银）如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：主视图是从正面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看，圆锥看见的是：三角形，两个正方体看见的是两个正方形．故答案为B．点评：此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法． 7．（3分）（2022•南通一模）如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（ ）19\n A．∠BAD=∠CAEB．∠B=∠DC．=D．考点：相似三角形的判定．分析：相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判断即可．解答：解：由题意得，∠C=∠E，A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、若添加=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、若添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是掌握相似三角形判定的三种方法． 8．（3分）（2022•宿迁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误；∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握． 19\n9．（3分）（2022•南通一模）已知函数y=k（x﹣1）和y=﹣（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．解答：解：一次函数y=k（x﹣1）可化为：y=kx﹣k，（k≠0），A、y=kx﹣k过二、四象限，k＜0；又y=kx﹣k与y轴负半轴相交，k＞0，错误；B、y=kx﹣k中k＞0，y=﹣中k＞0，正确；C、y=kx﹣k中k＞0，y=﹣中k＜0，错误；D、y=kx﹣k过一、三象限，k＞0；又y=kx﹣k与y轴正半轴相交，k＜0，错误．故选B．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 10．（3分）（2022•南通一模）如图，已知正方形ABCD的边长为a，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°，则阴影部分的面积为（ ） A．a2B．（2﹣）a2C．a2D．（﹣1）a2考点：旋转的性质；正方形的性质．分析：连接B′C，根据正方形的对角线平分一组对角可知AB′在正方形ABCD的对角线上，设B′C′交CD于E，根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出B′C，然后根据阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积，列式进行计算即可得解．解答：解：如图，连接B′C，∵旋转角为45°，正方形的对角线平分一组对角，∴AB′在正方形ABCD的对角线上，设B′C′交CD于E，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，B′C=a﹣a，19\n∴阴影部分的面积=a•a+（a﹣a）×（a﹣a）=a2+（a﹣a）2，=（2﹣）a2．故选B．点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，根据旋转角为45°判断出AB′在正方形ABCD的对角线上是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）（2022•南通一模）已知a是+1的整数部分，则a= 4 ．考点：估算无理数的大小．专题：计算题．分析：由于9＜13＜16，然后根据算术平方根的定义得到3＜＜4，则的整数部分为3，然后易得到a的值．解答：解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分为3，∴a=3+1=4．故答案为4．点评：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 12．（3分）（2022•南通一模）如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=35°，则∠A等于 55 °．考点：直角三角形的性质；对顶角、邻补角．分析：利用对顶角相等推知∠AOC=35°．然后由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数．解答：解：如图，∵∠BOD=35°，∴∠AOC=∠BOD=35°．又∵AC⊥CD，∴∠ACO=90°，∴∠A=90°﹣∠AOC=55°．故答案是：55°．点评：19\n本题考查了直角三角形的性质，对顶角、邻补角．解答该题时，也可以利用直角△ACO的内角和定理求∠A的度数． 13．（3分）（2022•贵港）我国“神州八号”飞船在太空上飞行约11000000千米，用科学记数法表示11000000为 1.1×107 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将11000000用科学记数法表示为：1.1×107．故答案为：1.1×107．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．（3分）（2022•南通一模）体育课上训练毽球，小明记录了自己6次练习的成绩，数据如下：13、11、13、10、13、12，则这组数据的众数是 13 ．考点：众数．分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出答案．解答：解：数据13、11、13、10、13、12中，13出现的次数最多，故众数为13．故答案为：13．点评：本题考查了众数的知识，属于基础题，掌握众数的定义是解答本题的关键． 15．（3分）（2022•南通一模）当a=，b=﹣1时，﹣= ﹣2 ．考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：由a与b求出ab与b﹣a的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵a=+1，b=﹣1，∴ab=（+1）（﹣1）=1，b﹣a=﹣2，则原式==﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：平方差公式，二次根式的化简公式，以及分式的加减运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 16．（3分）（2022•南通一模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+﹣x1x2= 7 ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：19\n根据题意利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣1，则x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=4+3=7．故答案为：7．点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 17．（3分）（2022•南通一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点（点C不与点A、点B重合），若∠P=30°，则∠ACB的度数是 105 °．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OA，OB，由PA，PB为圆O的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，进而求出大角∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB的度数．解答：解：连接OA，OB，∵PA，PB分别为圆O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOB=150°，即大角∠AOB=360°﹣150°=210°，则∠ACB=大角∠AOB=105°．故答案为：105点评：此题考查了切线的性质，四边形的内角和定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 18．（3分）（2022•南通一模）如图，在反比例函数y=上有两点A（3，2），B（6，1），在直线y=﹣x上有一动点P，当P点的坐标为 （，﹣） 时，PA+PB有最小值．19\n考点：反比例函数综合题．分析：设A点关于原点的对称点为A′，连接A′B，交直线y=﹣x为P点，此时PA+PB有最小值，求出直线A′B的直线解析式，再与y=﹣x联立，求出交点坐标，P点坐标即可求出．解答：解：设A点关于原点的对称点为A′，连接A′B，交直线y=﹣x为P点，此时PA+PB有最小值，∵A点关于原点的对称点为A′，A（3，2），∴A′（﹣2，﹣3），设直线A′B的直线解析式为y=kx+b，，解得k=，b=﹣2，∴直线A′B的直线解析式为y=x﹣2，联立，解得x=，y=﹣，即P点坐标（，﹣），故答案为（，﹣）．点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是求出A点关于原点的对称点，此题难度不大． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2022•南通一模）计算（1）（﹣1）2022+6×（﹣）+19\n（2）+tan60°+．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）先根据0指数幂、有理数乘方的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）分别根据负整数指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：（1）原式=﹣1+6×（﹣）+1=﹣1﹣1+1=﹣1；（2）原式=3﹣2++3=6﹣．点评：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂的运算法则及绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 20．（10分）（2022•南通一模）解方程（1）﹣=1（2）x2﹣1=4（x﹣1）考点：解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．分析：（1）方程两边同乘x﹣2得出方程3+（1﹣x）=x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可；（2）移项后分解因式即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：（1）解：原方程可变为：+=1，方程两边同乘x﹣2，得：3+（1﹣x）=x﹣2，解得：x=3，检验：∵当x=3时，x﹣2≠0，∴原方程的解为x=3；（2）解：x2﹣1﹣4（x﹣1）=0，（x+1）（x﹣1）﹣4（x﹣1）=0，（x﹣1）（x+1﹣4）=0，x﹣1=0，x+1﹣4=0，x1=1，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程和分式方程的应用，解（1）关键是能把分式方程转化成整式方程，解（2）的关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程． 21．（9分）（2022•南通一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）平移△AOB，使得点A移动到点D，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．19\n考点：菱形的性质；矩形的判定；作图-平移变换．分析：（1）根据已知和平移的性质化成图形即可；（2）得出矩形ODEC，根据菱形得出∠DOC=90°，OC=DE，OD=CE，得出四边形OCDE是平行四边形，根据矩形的判定推出即可．解答：解：（1）如图：△DEC为所求；（2）还有特殊的四边形是矩形OCED，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，由平移知：AO=CO，BO=CE，∴OC=DE，OD=CE，∴四边形OCDE是平行四边形∵AC⊥BD∴∠COD=90°∴□OCED是矩形．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定的应用，注意：菱形的对角线互相平分且垂直． 22．（8分）（2022•崇左）自古以来，钓鱼岛及其附属岛屿都是我国固有领土．如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛（又称为鸟岛）两侧端点A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了800米，在点D测得端点B的俯角为45°，求北小岛两侧端点A、B的距离．（结果精确到0.1米，参考数≈1.73，≈1.41）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米19\n，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．解答：解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF，由题意可知：AE=BF=100米，CD=800米．在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．∴CE===（米）．在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100．∴DF===100（米）．∴AB=EF=CD+DF﹣CE=800+100﹣≈900﹣×1.73≈900﹣57.67≈842.3米．答：岛屿两侧端点A、B的距离为842.3米．点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 23．（8分）（2022•南通一模）如图，直线y1=k1x﹣1与x轴正半轴交于点A（2，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交直线y1于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．（1）求点F的坐标；（2）设直线OF的解析式y2=k2x，y1﹣y2＞0，求x的取值范围．考点：一次函数综合题．分析：（1）把点A的坐标代入直线AD方程求得k1=，则直线AD的解析式为y1=x﹣1；然后由正方形的性质求得点D的纵坐标为2，则由一次函数y1=x﹣1图象上点的坐标特征知点D的横坐标是6，则易求正方形BDEF的边长为4．所以易求点F的坐标；（2）把F的坐标代入直线OF的解析式求得k2=3，所以由已知条件“y1﹣y2＞0”19\n列出关于x的不等式x﹣1﹣3x＞0，通过解不等式可以求得x的取值范围．解答：解：（1）将A（2，0）代入y1=k1x﹣1得：k1=．则直线AD的解析式为y=x﹣1．∵四边形OABC是正方形，∴BC=OC=AB=OA=2，在y=x﹣1中，当y=2时，x=6，∴CD=6∴BD=CD﹣BC=6﹣2=4∵四边形BDEF是正方形∴BF=BD=4∴AF=AB+BF=2+4=6∴点F的坐标为（2，6）（2）将F（2，6）代入y2=k2x，得k2=3，∵y1﹣y2＞0，∴x﹣1﹣3x＞0，解得：x＜﹣．点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质以及一元一次不等式的解法．解答（2）题时，也可以求得直线OF与AD的交点的横坐标，然后利用图象直接写出x的取值范围． 24．（9分）（2022•南通一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若AC=2，CD=1，求ED的长．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．分析：（1）利用△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，得到两条对应边相等，然后得到其夹角相等即可证得两三角形全等；（2）解：在△ABC中求得BC=2、BD=BC﹣CD=4﹣1=3，再根据△ACE≌△ABD得到∠ACE=∠B=45°，最后得到∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°，利用勾股定理求得ED长即可解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC，∠BAC=90°同理AB=AE，∠CAE=90°∵∠BAC=∠CAE=90°19\n∴∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°∴∠EAC=∠DAB在△ACE与△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS）（2）解：在△ABC中BC=∴BD=BC﹣CD=4﹣1=3∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ACB=∠B=45°∵△ACE≌△ABD∴∠ACE=∠B=45°，EC=DB=3∵∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°∴△ECD是直角三角形∴ED==．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识，全等三角形是一种非常重要的工具，应该利用好． 25．（8分）（2022•益阳）某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率分布表中a= ，b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少？分组49.5～59.559.5～69.569.5～79.579.5～89.589.5～100.5合计频数2a2016450频率0.040.160.400.32b119\n考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式．专题：图表型．分析：（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得到总人数，再计算故a的值；根据频率=频数÷数据总数计算b的值；（2）据（1）补全直方图；（3）不低于90分的学生中共4人，小华是其中一个，故小华被选上的概率是：．解答：解：（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，且知总人数为50人，故a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=8，根据频数与频率的关系可得：b==0.08；（2）如图：（3）小华得了93分，不低于90分的学生中共4人，故小华被选上的概率是：．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．（10分）（2022•南通一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线与点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD并延长交AE于点F，若EC∥AB，OA=6，求AF的长．19\n考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OCE=90°，再由OA=OC，OD垂直于AC，利用三线合一得到一对角相等，利用SAS得到三角形COE与三角形AOE全等，由全等三角形的对应角相等得到∠OAE=∠OCE=90°，利用垂直的定义得到AE与AO垂直，即可得证；（2）设BF与OC交于点G，由EC与AB平行，利用两直线平行同旁内角互补，及三个角为直角的四边形为矩形得到四边形AECO为矩形，再由OA=OC，得到四边形AECO为正方形，可得出OG平行于AE，AE=AO=6，OD=ED，由OG与AF平行，利用平行线得比例得到OG=EF，再由OG与AF平行，得到比例式，得到AF=2OG=2EF，即可求出AF的长．解答：（1）证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵OA=OC，OD⊥AC，∴∠COE=∠AOE，∵在△COE和△AOE中，，∴△COE≌△AOE（SAS），∴∠OAE=∠OCE=90°，∴OA⊥AE，∴AE与⊙O相切；（2）解：设BF与OC相交于点G，∵EC∥AB，∴∠AEC=∠OAE=90°，∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°，∴四边形OAEC是矩形，∵OA=OC，∴矩形OAEC是正方形，∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，∵OG∥AE，∴==1，∴OG=EF，∵OG∥AE，∴==，19\n∴=，∴AF=AE=×6=4．点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 27．（12分）（2022•南通一模）某花木公司在20天内销售一批马蹄莲．其中，该公司的鲜花批发部日销售量y1（万朵）与时间x（x为整数，单位：天）部分对应值如下表所示．时间x（天）048121620销量y1（万朵）0162424160另一部分鲜花在淘宝网销售，网上销售日销售量y2（万朵）与时间x（x为整数，单位：天）关系如图所示．（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与x的变化规律，写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）观察马蹄莲网上销售量y2与时间x的变化规律，请你设想商家采用了何种销售策略使得销售量发生了变化，并写出销售量y2与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设该花木公司日销售总量为y万朵，写出y与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总量y最大，并求出此时最大值．考点：二次函数的应用．分析：（1）先判断出y1与x之间是二次函数关系，然后设y1=ax2+bx+c（a≠0），然后取三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）销售量增加，从降价促销上考虑，然后分两段利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）分①0≤x≤8时，②8＜x≤20时两种情况，根据总销售量y=y1+y2，整理后再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1）由图表数据观察可知y1与x之间是二次函数关系，设y1=ax2+bx+c（a≠0），19\n则，解得，故y1与x函数关系式为y1=﹣x2+5x（0≤x≤20）；（2）销售8天后，该花木公司采用了降价促销（或广告宣传）的方法吸引了淘宝买家的注意力，日销量逐渐增加；当0≤x≤8，设y=kx，∵函数图象经过点（8，4），∴8k=4，解得k=，所以，y=x，当8＜x≤20时，设y=mx+n，∵函数图象经过点（8，4）、（20，16），∴，解得，所以，y=x﹣4，综上，y2=；（3）当0≤x≤8时，y=y1+y2=x﹣x2+5x=﹣（x2﹣22x+121）+=﹣（x﹣11）2+，∵抛物线开口向下，x的取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当x=8时，y有最大值，y最大=﹣（8﹣11）2+=28；当8＜x≤20时，y=y1+y2=x﹣4﹣x2+5x，=﹣（x2﹣24x+144）+32，=﹣（x﹣12）2+32，∵抛物线开口向下，顶点在x的取值范围内，∴当x=12时，y有最大值为32，∴该花木公司销售第12天，日销售总量最大，最大值为32万朵．19\n点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售量的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣时取得． 28．（14分）（2022•南通一模）已知：如图，直y=2x+b交x轴于点B，交y轴于点C，点A为x轴正半轴上一点，AO=CO，△ABC的面积为12．（1）求b的值；（2）若点P是线段AB中垂线上的点，是否存在这样的点P，使△PBC成为直角三角形？若存在，试直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点Q为线段AB上一个动点（点Q与点A、B不重合），QE∥AC，交BC于点E，以QE为边，在点B的异侧作正方形QEFG．设AQ=m，△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S，试求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．考点：一次函数综合题．分析：（1）根据△ABC的面积是12，即可得到一个关于b的方程，解方程求得b的值；（2）线段AB中垂线的解析式是y=1，然后分A、B、P是直角顶点三种情况进行讨论即可求得；（3）在Rt△AOC中利用勾股定理求得AC的长度，然后根据平行线分线段成比例定理利用m表示出EQ的长度，然后分0＜m≤和＜m＜6两种情况求得．解答：解：（1）由题意得：B（﹣，0），C（0，b）∴OB=，OC=b∵AO=BO∴A（b，0）．∴OA=b，AB=b+=b．∵S△ABC=AB•OC=12∴×b•b=12解得：b1=4，b2=﹣4（舍去）∴b=4（2）AB的中垂线是x=1，当A是直角△BCP的直角顶点时，设BP的解析式是：y=﹣x+c，把B的坐标代入得：1+c=0，解得：c=﹣1，则BP的解析式是：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣，19\n则P的坐标是（1，﹣）；同理，当C是直角顶点时求得P的坐标是（1，）；当P是直角顶点时，BC==2，BC的中点的坐标是（﹣1，2），设P的坐标是（1，x），则（x﹣2）2+（1+1）2=（）2，解得：x=1或3，则P的坐标是（1，1）或（1，3）．总之，P的坐标是：P1（1，1），P2（1，3），P4（1，），P3（1，﹣）．（3）如图，设正方形QEFG与AC相交于点M．∵B（﹣2，0），A（4，0）∴AB=6在Rt△AOC中AC==4∵EQ∥AC∴=∴EQ===．∵EQ∥AC∴∠AMQ=∠EQM=90°∠MAQ=45°∴△QMA为等腰直角三角形∴QM=AQ=m当QM=QG时，正方形QEFG的边FG恰好与AC共线．此时=m，解得：m=当0＜m≤时，S=QE•QM=•m=﹣m2+4m．当＜m＜6时，S=QE2=[（6﹣m）】2=（m﹣6）2．∴S与m之间的函数关系式为S=．19\n点评：本题考查了一次函数与直角三角形的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理的综合应用，正确分类讨论是关键． 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