江苏省南通市启东市2022年中考数学一模试卷（解析版）

2022年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷　一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．1．（3分）（2022•呼和浩特）﹣2的倒数是（　　）　A．2B．﹣2C．D．考点：倒数．分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．　2．（3分）（2022•启东市一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科学记数法表示为（　　）　A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．2.5×10﹣6D．25×10﹣7考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＜0，n=﹣6．解答：解：将0.0000025用科学记数法表示为：2.5×10﹣6．故选：C．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．用科学记数法表示一个数的方法是：（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．　3．（3分）（2022•启东市一模）如图所示，下列各式正确的是（　　）　A．∠A＞∠2＞∠1B．∠1＞∠2＞∠AC．∠2＞∠1＞∠AD．∠1＞∠A＞∠2考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角解答．解答：解：由图可知，∠1＞∠2，∠2＞∠A，所以，∠1＞∠2＞∠A．故选B．23\n点评：本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键．　4．（3分）（2022•启东市一模）若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是（　　）　A．1B．0C．D．考点：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：先根据几个非负数的和的性质得到x﹣2=0，y+1=0，解得x=2，y=﹣1，然后把它们求x﹣y的算术平方根．解答：解：∵|x﹣2|+（y+1）2=0，∴x﹣2=0，y+1=0，∴x=2，y=﹣1，∴==．故选C．点评：本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，其中正的平方根叫a的算术平方根，记作（a≥0）．也考查了非负数的性质．　5．（3分）（2022•启东市一模）下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（　　）　A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．　6．（3分）（2022•启东市一模）杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：颜色黄色绿色白色紫色红色数量（件）10018022080550经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（　　）　A．平均数B．众数C．中位数D．方差考点：统计量的选择．分析：百货商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．解答：解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．故选B．23\n点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．　7．（3分）（2022•启东市一模）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（　　）　A．1B．2C．﹣1D．﹣2考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n=0，求出即可．解答：解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，代入得：n2+mn+2n=0，∵n≠0，∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，∴m+n=﹣2．故选D．点评：本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．　8．（3分）（2022•启东市一模）如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC=2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（　　）　A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得到AC与OD平行，故选项①正确；由CO垂直于AB，OA=OC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，得到∠CAB为45度，再由两直线平行同位角相等得到∠DOB为45度，即∠COD为45度，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠ADC为45度，得到一对角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形CED与三角形OCD相似，由相似得比例可得出CD为CE与CO的比例中项，故选项③正确；取弧AC的中点F，得到弧AF与弧CF相等，再由弧AC=2弧CD，得到三条弧相等，利用等弧对等弦得到CF=AF=CD，即CF+AF=2CD，而CF+AF大于AC，可得出AC不等式2CD，故选项②错误．解答：解：∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，故选项①正确；23\n∵OC⊥AB，OA=OC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，∵∠ADC与∠AOC都对，∴∠ADC=∠AOC=45°，∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，∴△DCE∽△OCD，∴=，即CD2=CE•OC，故选项③正确；取的中点F，可得=，∵=2，∴==，∴AF=FC=CD，即AF+FC=2CD，∵AF+FC＞AC，则2CD＞AC，故选项②错误，则正确的选项有：①③．故选B点评：此题考查了圆周角定理，圆心角、弧及弦之间的关系，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．　9．（3分）（2022•启东市一模）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）　A．y=（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3）2D．y=（x﹣3）2考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm23\n，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．　10．（3分）（2022•鄂州）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为（　　）　A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：首先设正方形的面积分别为S1，S2…S2022，由题意可求得S1的值，易证得△BAA1∽△B1A1A2，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S2的值，继而求得S3的值，继而可得规律：Sn=5×（）2n﹣2，则可求得答案．解答：解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA=1，OD=2，设正方形的面积分别为S1，S2…S2022，根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x，∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，23\n∴AB=AD=BC=，∴S1=5，∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，∴∠ADO=∠BAA1，∴tan∠BAA1===，∴A1B=，∴A1C=BC+A1B=，∴S2=×5=5×（）2，∴==，∴A2B1=×=，∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×（）2，∴S3=×5=5×（）4，由此可得：Sn=5×（）2n﹣2，∴S2022=5×（）2×2022﹣2=5×（）4022．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律Sn=5×（）2n﹣2．　二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上．11．（3分）（2022•启东市一模）（1）计算：（﹣ab2）3=　﹣a3b6　；（2）化简：（x＞0）=　3　．考点：二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方．分析：（1）利用积的乘方公式和幂的乘方公式即可求解；（2）首先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解．解答：解：（1）原式=﹣a3b6；（2）原式=2+3﹣2=3．故答案是：﹣a3b6，3．点评：本题考查了二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．　12．（3分）（2022•启东市一模）如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3=　65　°．23\n考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由l1∥l2，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由∠1的度数求出∠4的度数，再由对顶角相等，由∠2的度数求出∠5的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠3的度数．解答：解：∵l1∥l2，∠1=40°，∴∠1=∠4=40°，又∠2=∠5=75°，∴∠3=180°﹣（∠4+∠5）=65°．故答案为：65点评：此题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．　13．（3分）（2022•启东市一模）如果实数x，y满足方程组，那么x2﹣y2=　2　．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：，①×2得，2x+2y=8③，②+③得，4x=9，解得x=，把x=代入①得，+y=4，解得y=，23\n∴方程组的解是，∴x2﹣y2=（）2﹣（）2==2．故答案为：2．点评：本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．　14．（3分）（2022•南通）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是　　．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AC=2CD=4，则sinB==．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．　15．（3分）（2022•黑河）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别．现从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为，需要往这个口袋再放入同种黑球　2　个．考点：概率公式．分析：利用黑球的概率公式列出方程求解即可．解答：解：设需要往这个口袋再放入同种黑球x个．根据题意得：=；解得18+x=4（3+x），x=2．需要往这个口袋再放入同种黑球2个．点评：此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　23\n16．（3分）（2022•日照）如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B=　18°　．考点：圆周角定理．专题：压轴题．分析：连接DE、CE，则∠2=θ，∠5=∠6=2θ，∠5+∠6+∠1=180°，在△ACE中，∠3=∠CAE=63°，∠4=180°﹣∠3﹣∠CAE，进而1可得出∠θ的度数．解答：解：连接DE、CE，则∠2=θ，∠5=∠6=2θ，∵∠6是△BDE的外角，∴∠6=∠2+∠ABC=2θ，∵∠5+∠6+∠1=180°，∴4θ+∠1=180°①，在△ACE中，∵AE=CE，∴∠3=∠CAE=63°，∴∠4=180°﹣∠3﹣∠CAE=180°﹣63°﹣63°=54°，∵∠4+∠1+∠2=180°，即54°+∠1+θ=180°②，①②联立得，θ=18°．故答案为：18°．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．　17．（3分）（2022•湖州）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为　5.6　米．23\n考点：相似三角形的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．解答：解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=5.6米．故答案为：5.6．点评：应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．　18．（3分）（2022•启东市一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为　3　．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；探究型．分析：先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=﹣和y=的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．解答：解：设P（0，b），∵直线AB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），又∵点B在反比例函数y=的图象上，∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），23\n∴AB=﹣（﹣）=，∴S△ABC=•AB•OP=••b=3．故答案为：3．点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．　三、解答题（本题共10小题，共96分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答．19．（10分）（2022•启东市一模）（1）计算：2﹣1﹣tan60°+（﹣1）0（2）解不等式≥﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；特殊角的三角函数值．分析：（1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角形函数值、零指数幂；然后计算加减法；（2）先去分母，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1来解不等式．解答：解：（1）原式=﹣+1=﹣（2）原不等式化为2（x﹣1）≥3x﹣6．2x﹣2≥3x﹣6．x≤4．不等式的解集在数轴上表示如下：点评：本题考查了实数的运算，一元一次不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．解答不等式这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．　20．（8分）（2022•河南）先化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题；开放型．分析：首先利用分式的运算方法进行化简，本题有两种方法：一是对括号里的式子先通分、合并，再将后式除法变为乘法，分解因式后约分；二是先把后式除法变乘法，再利用乘法分配律化简．在选值计算时，要保证在分式有意义的情况下选值．解答：解：原式=23\n=，∵x﹣1≠0，x+1≠0，∴x≠±1，当x=时，原式=．点评：本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．　21．（8分）（2022•启东市一模）如图，有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角．请你任意选择其中的三个角（不可选择未标注的角），尝试找到它们的关系，并选择其中一组予以证明．考点：同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．分析：根据三角形的外角和为360°，三角形的内角和为180°以及三角形外角和定理即可写出三个角之间的数量关系．解答：解：如∠2+∠4+∠6=360°，∠1+∠5+∠7=180°，∠2=∠5+∠7，∠3=∠1+∠8，已知如图：有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的八个角，求证：∠1+∠5+∠7=180°，证明：∵∠DAC+∠7+∠5=180°，又∵∠1=∠DAC，∴∠1+∠5+∠7=180°．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．　22．（8分）（2022•启东市一模）列方程或方程组解应用题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染、请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？考点：一元二次方程的应用．专题：其他问题．分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．解答：解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得（1+x）2=81，解，得23\n1+x=±9，x=8或﹣10（不合题意，应舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．点评：能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．　23．（9分）（2022•启东市一模）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，半径为2，AB=6，求线段AD、AE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）《根据2022江苏扬州市中考试题改编》考点：圆的综合题．分析：（1）作出AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆即可得出答案，再利用平行线的判定得出∠ODB=∠C，由切线的判定得出即可；（2）首先利用直角三角形的性质求出AD的长，进而得出△ADO的面积，进而得出扇形ODE的面积，即可得出答案．解答：解：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．判断结果：BC是⊙O的切线．如图2，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即：OD⊥BC∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．（2）如图3，过点O作OF⊥AD于点F，∵r=2，AB=6，∴OB=4，再由DO=2，OD⊥BC，∴∠OBD=30°，∠DOB=60°，∵OE=OD，∴△EOD为等边三角形，即可得出∠OAD=∠ODA=30°，∴FO=AO=1，∵AE=4，∴DA=cos30°AE=×AE=2，∵△ADO的面积为×AD×=×1×2=，23\n扇形ODE的面积为，∴阴影部分的面积为：+π．点评：此题主要考查了切线的判定以及扇形面积求法和三角形面积求法等知识，利用锐角三角函数得出AD的长是解题关键．　24．（8分）（2022•南昌）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；（2）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案．解答：解：（1）方法一画树状图得：23\n方法二列表得：甲乙丙丁甲/甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲/乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙/丙、丁丁丁、甲丁、乙丁、丙/∴所有等可能性的结果有12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：=；（2）∵一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，∴恰好选中乙同学的概率为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　25．（9分）（2022•茂名）如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．（1）证明：△OAB∽△EDA；（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：综合题．分析：（1）由于四边形ABCD是矩形，则∠BAD=90°，那么∠OBA、∠DAE同为∠BAO的余角，即∠OBA=∠DAE，而∠BOA、∠DEA都是直角，由此可证得△OAB∽△EDA．（2）若△OAB与△EDA全等，则AB=AD，在Rt△OAB中，利用勾股定理易求得AB=5，那么a=AD=AB=5；求C到OE的距离，可过C作CH⊥OE于H，过B作BF⊥CH于F；那么CH就是所求的距离，通过上面的解题思路，易证得△CBF≌△ABO，得CH=OA=4，BO=BF，那么四边形BOHF是正方形，由此可得FH=BO=3，根据CH=CF+FH即可求得C到OE的距离．解答：（1）证明：如图所示，∵OA⊥OB，23\n∴∠1+∠2=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，（1分）∵OA⊥OB，OE⊥OA，∴∠BOA=∠DEA=90°，（2分）∴△OAB∽△EDA．（3分）（2）解：在Rt△OAB中，AB==5，（4分）由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，∴当a=AD=AB=5时，△AOB与△EDA全等．（5分）当a=AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形，∴BC=AB，如图，过点C作CH⊥OE交OE于点H，则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F，则∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，∴∠1=∠4，（6分）又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，∴△OAB≌△FCB（AAS），（7分）∴CF=OA=4，BO=BF．∴四边形OHFB为正方形，∴HF=OB=3，∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7．（8分）点评：此题主要考查了矩形、正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定和性质，难度适中．　26．（10分）（2022•启东市一模）小强和爸爸上山游玩，两人距地面的高度y（米）与小强登山时间x（分）之间的函数图象分别如图中折线OAC和线段DE所示，根据函数图象进行以下探究：信息读取（1）爸爸登山的速度是每分钟　10　米；（2）请解释图中点B的实际意义；图象理解23\n（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）计算、填空：m=　6.5　；问题解决（5）若小强提速后，他登山的速度是爸爸速度的3倍，间：小强登山多长时间时开始提速？此时小强距地面的高度是多少米？考点：一次函数的应用．分析：（1）用爸爸登山的高度÷登山用的时间，就可以求出爸爸登山的速度；（2）表示小强和爸爸在高度为165米的地方相遇；（3）由线段DE经过（0，100）和（20，300）两点，直接用待定系数法就可以直接求出其解析式．并可以确定自变量的取值范围．（4）把y=165代入线段DE的解析式就可以求出x的值就是m的值．（5）由题意可以知道小强在登上165米到300米所用的时间是t﹣m，这样就可以用速度的关系建立等量关系就可以t的值，求出C的解析式，用待定系数法就可以求出BC的解析式，再求出OA的解析式，再求出这两条直线的交点坐标就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得=10．故答案为：10．（2）图中点B的实际意义是：距地面高度为165米时人相遇（或小强追上爸爸）；（3）因为D（0，100），E（20，300），设线段DE的解析式为：y=kx+b，由图象，得，解得，故线段DE的解析式为y1=10x+100（0≤x≤20）（4）当y=165时，则165=10m+100，m=6.5．故答案为：6.5．（5）∵由图知=3×10，∴t=11．∴C（11，300）．∵B（6.5，165），设直线BC的解析式为y2=kx+b，由题意，得，23\n解得∴直线BC的解析式为y2=30x﹣30．∵线段OA过点（1，15），直线OA的解析式为：y3=kx，∴k=15，∴直线OA的解析式为：y3=15x∴解得：∴A（2，30）即登山2分钟时小强开始提速，此时小强距地面的高度是30米．点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了速度=路程÷时间的运用，理解函数图象的意义，待定系数法求函数的解析式的运用，方程组的解法等多个知识点．解答中读懂图象的意义是关键．　27．（12分）（2022•重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由于点Q从点O运动到点C需要秒，点P从点A→O→B需要秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜；②≤t＜．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果；23\n（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4．解答：解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．在Rt△ODC中，OC===（1分）（i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA﹣AP=2﹣3t．过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）在Rt△OEQ中，∵∠AOC=30°，∴QE=OQ=，∴S△OPQ=OP•EQ=（2﹣3t）•=﹣+t，即S=﹣+t；（3分）（ii）当＜t≤时（如图）OQ=t，OP=3t﹣2．∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°．∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t﹣2）=﹣t，即S=﹣t；故当0＜t＜时，S=﹣+t，当＜t≤时，S=﹣t（5分）（2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9分）（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，∴△MOC≌△FAC，∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA﹣∠MCN=60°，∴∠FCN=∠MCN．在△MCN和△FCN中，，∴△MCN≌△FCN，∴MN=NF．（11分）∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=4．∴△BMN的周长不变，其周长为4．23\n点评：本题综合考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定．难度很大．注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．　28．（14分）（2022•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；数形结合；待定系数法．23\n分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可；（2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP﹣yD求出二函数最值即可；②当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以得出P点坐标，当点F落在y轴上时，x=﹣﹣x+，解得x=，可得P点坐标．解答：解：（1）对于，当y=0，x=2．当x=﹣8时，y=﹣．∴A点坐标为（2，0），B点坐标为．由抛物线经过A、B两点，得解得．∴．（2）①设直线与y轴交于点M，当x=0时，y=．∴OM=．∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2．∴AM=．∵OM：OA：AM=3：4：5．由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．∴DE：PE：PD=3：4：5．∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∵PD⊥x轴，∴PD两点横坐标相同，∴PD=yP﹣yD=﹣﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∴=．∴．∴x=﹣3时，l最大=15．②当点G落在y轴上时，如图2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以，如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS⊥x轴于点S，23\n由△PNF≌△PSA，PN=PS，可得P点横纵坐标相等，故得当点F落在y轴上时，x=﹣﹣x+，解得x=，可得，（舍去）．综上所述：满足题意的点P有三个，分别是．23\n点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定以及待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合进行分析以及灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键．　23