2022年江苏省无锡市梅里中学中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）（2022•惠山区一模）1的相反数是（ ） A．0B．1C．﹣1D．±1考点：相反数．分析：根据相反数定义可直接得到答案．解答：解：1的相反数是﹣1，故选：C．点评：此题主要考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．﹙﹣a2﹚3=﹣a6B．a2+a2=a4C．a2•a3=a6D．a3÷a=a考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、（﹣a2）3=﹣a6，故本选项正确；B、a2+a2=2a2，故本选项错误；C、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；D、a3÷a=a3﹣1=a2，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，合并同类项法则，熟记性质与法则并理清指数的变化是解题的关键． 3．（3分）（2022•河池）函数y=的自变量x的取值范围是（ ） A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1考点：函数自变量的取值范围．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：由题意得x﹣1≥0，解得x≥1．故选C．点评：考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数． 4．（3分）（2022•密云县）若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ） A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．19\n解答：解：根据题意，得R+r=5+1=6=圆心距，∴两圆外切．故选C．点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． 5．（3分）（2022•惠山区一模）小丽在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些不同面额的钞票中，众数是（ ） A．10B．23C．50D．100考点：众数．分析：根据众数的定义，找到出现次数最多的数即为众数．解答：解：在这组数据中，10元出现了23次，出现次数最多，是众数，故选A．点评：本题考查了众数，要知道，一组数据中出现次数做多的数叫做众数． 6．（3分）（2022•铜仁地区）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选B．点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7．（3分）下列命题中正确的是（ ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的平行四边形是矩形 C．两边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形考点：命题与定理．专题：应用题．分析：两组对边平行的四边形是平行四边形；两条对角线相等的四边形是矩形；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形．解答：解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项错误．19\nB、两条对角线相等的四边形是矩形，故本选项正确．C、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误．D、对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，要熟记这些判定定理． 8．（3分）（2022•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ） A．30πB．40πC．50πD．60π考点：圆锥的计算．专题：压轴题．分析：易利用勾股定理求得母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：由勾股定理得AB=10，BC=6，则圆锥的底面周长=12π，旋转体的侧面积=×12π×10=60π，故选D．点评：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 9．（3分）如图，已知双曲线经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C，△AOC的面积为（ ） A．10B．7.5C．5D．2.5考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|；由点A的坐标为（2x，2y），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=10，再利用△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，进而求出即可．解答：解：∵OA的中点是D，双曲线经过点D，∴k=xy=﹣5，D点坐标为：（x，y），则A点坐标为：（2x，2y），19\n∴△BOC的面积=|k|=2.5．又∵△AOB的面积=×|2x×2y|=2|xy|=10，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=10﹣2.5=7.5．故选B．点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 10．（3分）如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+．其中正确结论的序号是（ ） A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP，然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠APD=135°，然后求出∠BEP=90°，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE列式计算即可判断出④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，先求出∠BEF=45°，从而判断出△BEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为，判断出②错误．解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∵AP⊥AE，∴∠BAE+∠BAP=90°，又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，∴∠BAE=∠DAP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；∵AE=AP，AP⊥AE，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP=∠APE=45°，∴∠AEB=∠APD=180°﹣45°=135°，∴∠BEP=135°﹣45°=90°，∴EB⊥ED，故③正确；∵AE=AP=1，∴PE=AE=，19\n在Rt△PBE中，BE===2，∴S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE，=×1×1+××2，=0.5+，故④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，∵∠BEF=180°﹣135°=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=×2=，即点B到直线AE的距离为，故②错误，综上所述，正确的结论有①③④．故选A．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．（2分）（2022•恩施州）25的平方根是 ±5 ．考点：平方根．分析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．解答：解：∵（±5）2=25∴25的平方根±5．故答案为：±5．点评：本题主要考查了平方根定义的运用，比较简单． 12．（2分）（2022•惠山区一模）据统计，截止到5月31日上海世博会累计入园人数803.27万人．803.27万这个数字（保留两位有效数字）用科学记数法表示为
8.0×106 人．考点：科学记数法与有效数字．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于803.27万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：803.27万=8.032700×106≈8.0×106．故答案为：8.0×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．19\n 13．（2分）（2022•江西）分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．考点：因式分解-运用公式法．专题：压轴题．分析：直接利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反． 14．（2分）（2022•吉林）方程的解是x= 5 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：观察可知，这个分式方程的公分母为（x﹣2）．去分母，转化为整式方程求解，结果有检验．解答：解：两边都乘以（x﹣2），得：3=x﹣2，解得x=5．经检验是x=5原方程的根．点评：本题比较容易，考查解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程．具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是分式方程的根，因此要注意检验． 15．（2分）（2022•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=50°，点D是上一点，则∠D= 40 度．考点：圆周角定理．专题：压轴题．分析：欲求∠D的度数，需先求出同弧所对的∠A的度数；Rt△ABC中，已知∠ACB的度数，即可求得∠A，由此得解．解答：解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°；∴∠A=180°﹣90°﹣50°=40°，∴∠D=∠A=40°．点评：此题主要考查圆周角定理的应用． 16．（2分）将一个含30°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合．若AB=，DE=6，则EB= 3﹣4 ．19\n考点：解直角三角形．分析：根据直角三角形的性质，求得BC，再求得EC，由此可以求出CE，再利用BE=CE﹣BC即可求出EB．解答：解：在Rt△ABC中，∵AB=4，∠A=45°，∴BC=4×=4．在Rt△EDC中，∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin∠EDC=6×=3，∴BE=CE﹣BC=3﹣4．故填空答案：3﹣4．点评：本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数分别求出CE与BC的长度是解题的关键． 17．（2分）如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°．∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是 2 ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=4，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=4×=2．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=2．故答案为：2．19\n点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 18．（2分）（2022•宝应县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=6，点D在AB边上，点E在BC边上（不与点B、C重合）．若DA=DE，则AD的取值范围是 6﹣6≤AD＜3 ．考点：等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．解答：解：以D为圆心，AD的长为半径画圆①当圆与BC相切时，DE⊥BC时，∵∠ABC=45°，∴DE=BD，∵AB=6，∴设AD=DE=x，则DB=6﹣x，∴（6﹣x）=x∴x=AD=6﹣6；②当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD=AB=3，∴AD的取值范围是6﹣6≤AD＜3．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键． 三、解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）计算：（1）（）﹣2﹣|1﹣|（2）．考点：分式的加减法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数关系和绝对值的性质分别化简得出即可；19\n（2）首先将原式通分，进而化简得出即可．解答：解：（1）（）﹣2﹣|1﹣|=3﹣2×+4﹣（﹣1）=+5；（2）=﹣=．点评：此题主要考查了实数的运算以及分式的加减运算，正确将分式进行通分再化简得出是解题关键． 20．（8分）（1）解方程：x2﹣6x﹣5=0﹔（2）解不等式组．考点：解一元二次方程-配方法；解一元一次不等式组．分析：（1）先把原式变形为x2﹣6x=5，再把方程两边都加上9得出（x﹣3）2=14，然后用直接开平方法解方程即可．（2）先把每一个不等式解出来，再求出解集的公共部分，即可得出答案．解答：解：（1）x2﹣6x﹣5=0，移项得：x2﹣6x=5，方程两边都加上9得：x2﹣6x+9=5+9，即（x﹣3）2=14，得：x﹣3=±，则x1=3+，x2=3﹣；（2），由①得：x≥﹣1，由②得：x＜3，则不等式组的解集是﹣1≤x＜3．点评：此题考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式组的解，掌握配方法的步骤先把方程ax2+bx+c=0（a≠0）的常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，直接开平方法解方程和解一元一次不等式组的步骤，先把每一个不等式解出来，再求出解集是本题的关键． 21．（6分）扬州体育场下周将举办明星演唱会，小莉和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法求小莉去体育场看演唱会的概率；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．19\n分析：（1）用列表法列举出所以出现的情况，再用概率公式求出概率即可．（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．解答：解：（1）所有可能的结果如下表：（也可用树状图）和123545679678911789101289101113一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，偶数一共有6个，故P（小莉去上海看演唱会）==；（2）由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏不公平，对哥哥有利；游戏规则改为：若和为偶数则小莉得（5分），若和为奇数则哥哥得（3分），则游戏是公平的（其它的规则同等给分）．点评：此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平． 22．（6分）某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况．随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本．按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所绘信息解答下列问题：说明：A级：90～100分﹔B级：75分～89分﹔C级：60分～74分﹔D级：60分以下．（1）样本中D级的学生人数占全班人数的百分比是 10% ﹔（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数时 72° ﹔（3）请把条形统计图补充完整﹔（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用整体1减去其它所占的百分比，就是D级的学生人数占全班人数的百分比；（2）根据A级学生所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案；（3）根据A等人数和所占比，求出抽查的总学生数，再根据D级的学生所占的百分比，即可求出D级的学生的人数，从而补全统计图；（4）根据A级和B级的学生所占的百分比，乘以500，即可得出答案．解答：解：（1）根据题意得：D级的学生人数占全班人数的百分比是：1﹣20%﹣46%﹣24%=10%；（2）A级所在的扇形的圆心角度数是：20%×360°=72°；（3）∵A等人数为10人，所占比例为20%，∴抽查的学生数=10÷20%=50（人），19\n∴D级的学生人数是50×10%=5（人），补图如下：（4）根据题意得：体育测试中A级和B级的学生人数之和是：500×（20%+46%）=330（名），答：体育测试中A级和B级的学生人数之和是330名．故答案为：10%；72°．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．会画条形统计图．也考查了用样本估计总体． 23．（8分）（2022•本溪）如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：=1.4，=1.7，=2.4）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：应用题．分析：本题可通过作辅助线构造直角三角形来解决问题，（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出．（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．解答：解：（1）延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E=23°，∴∠GAE=67°．又∵∠BAC=38°，∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．19\nsin∠ADC=，∴AH=2．在Rt△ACH中，∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，∴AC=2，CH=AH=2．∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决． 24．（8分）（2022•宁夏）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．考点：切线的判定．专题：综合题．分析：（1）连接OP，要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90°即可；（2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长．解答：（1）证明：连接AP，OP，∵AB=AC，∴∠C=∠B，又∵OP=OB，∠OPB=∠B，∴∠C=∠OPB，∴OP∥AD；又∵PD⊥AC于D，∴∠ADP=90°，∴∠DPO=90°，∵以AB为直径的⊙O交BC于点P，∴PD是⊙O的切线．（2）解：连接AP，19\n∵AB是直径，∴∠APB=90°；∵AB=AC=2，∠CAB=120°，∴∠BAP=60°，∴BP=，∴BC=2．点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 25．（8分）（2022•惠山区一模）一公司面向社会招聘人员，要求如下：①对象：机械制造类和规划设计类人员共150名；②机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月．（1）本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，若要使公司每月所付工资总额最少，则这两类人员各招多少名？此时最少工资总额是多少？（2）在保证工资总额最少条件下，因这两类人员表现出色，公司领导决定另用20万元奖励他们，其中机械人员人均奖金不得超过规划人员的人均奖金，但不低于200元，试问规划设计类人员的人均奖金的取值范围．考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）设机械制造人员招x名，所付工资总额为w元，则规划设计人员为2x，由“规划设计人员不少于机械制造人员的2倍”可得x的取值范围，由题意可得w关于x的表达式．（2）设机械类人均奖金为a元，规划设计类人均奖金为b元．由题意得：，求解可得．解答：解：（1）设机械制造人员招x名，所付工资总额为w元，则由题意得：w=600x+1000（150﹣x）（1分）=﹣400x+150000∵150﹣x≥2x∴x≤50∴当x=50时，w有最小值为﹣400×50+150000=130000元∴本次招聘机械制造人员50名，规划设计人员100名，最少工资总额是130000元．（2）设机械类人均奖金为a元，规划设计类人均奖金为b元．由“其中机械人员人均奖金不得超过规划人员的人均奖金，但不低于200元”和“总额为20万”得：，解得≤b≤1900．所以规划设计类人员人均奖金范围为元至1900元之间．点评：19\n本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质． 26．（10分）（2022•惠山区一模）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．解答：解：（1）①CF⊥BD，CF=BD…（2分）故答案为：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD=∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD与△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°∴CF⊥BD…（7分）（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G…（9分）则∵∠ACB=45°∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC，AD=AF，∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∴∠GAD=∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）∴∠ACF=∠AGD=45°19\n∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°∴CF⊥BC…（12分）点评：本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 27．（10分）（2022•惠山区一模）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过（1，），（2，）两点，与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B．（1）求此二次函数的解析式并画出这个二次函数的图象；（2）求线段AB的中垂线的函数解析式．考点：二次函数综合题．分析：（1）将（1，），（2，）代入y=ax2+bx+3，利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可画出这个二次函数的图象；（2）根据二次函数的解析式为y=﹣x2+x+3，求出A、B两点的坐标．连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于M，交OA于N，则点M为AB的中点，根据中点坐标公式得到M点坐标为（2，）．设N点坐标为（x，0），则ON=x，根据线段垂直平分线的性质得出AN=BN=4﹣x，然后在直角△OBN中，由勾股定理得出OB2+ON2=BN2，求出x的值，得到N点坐标为（，0）．设直线MN的解析式为y=mx+n，将M，N两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解．解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象经过（1，），（2，）两点，∴将两点坐标代入二次函数解析式，得：，解得：，∴此二次函数的解析式为y=﹣x2+x+3．图象如右所示：（2）解方程﹣x2+x+3=0，即4x2﹣13x﹣12=0，解得x1=4，x2=﹣．19\n∵抛物线y=﹣x2+x+3与x轴的两个交点的右边一个交点为点A，与y轴交于点B，∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）．连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于M，交OA于N，连接BN，则点M为AB的中点，其坐标为（2，）．设N点坐标为（x，0），则ON=x，AN=BN=4﹣x，在△OBN中，∵∠BON=90°，OB=3，ON=x，BN=4﹣x，∴OB2+ON2=BN2，即32+x2=（4﹣x）2，解得x=，∴N点坐标为（，0）．设直线MN的解析式为y=mx+n，将M（2，），N（，0）代入，得，解得，∴直线MN的解析式为y=x﹣．即线段AB的中垂线的函数解析式为y=x﹣．19\n点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，中点坐标公式，线段垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中． 28．（12分）（2022•兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题；坐标与图形性质；一次函数的图象；三角形的面积；直角三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）根据题意，观察图象可得x与t的关系，进而可得答案；（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，易得BF=8，OF=BE=4，进而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；进一步易得△ABF≌△BCH，再根据BH与OG的关系，可得C的坐标；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，易得△APM∽△ABF；进而可得对应边的比例关系，解可得AM、PM与t的关系，由三角形面积公式，可得答案．（4）此题需要分类讨论：当P在BC上时，求得t的值；当P在CD上时，求得t的值；即当t=时；当P在BA上时，求得t的值．19\n解答：解：（1）Q（1，0）（1分）Q的图象是一条直线，且过点（11，0）．且点P运动速度每秒钟1个单位长度．（2分）（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4．∴AF=10﹣4=6．在Rt△AFB中，AB==10，（3分）过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．∵∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABF≌△BCH．∴BH=AF=6CH=BF=8．∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．∴所求C点的坐标为（14，12）．（4分）（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，则△APM∽△ABF．∴，∴．∴AM=t，PM=t，∴PN=OM=10﹣t，ON=PM=t．设△OPQ的面积为S（平方单位），∴S=×（10﹣t）（1+t）=5+t﹣t2（0≤t≤10），（5分）说明：未注明自变量的取值范围不扣分．∵a=﹣，∴当t=﹣=时，△OPQ的面积最大．（6分）此时P的坐标为（，）．（7分）（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，当P在BC上时，8+（t﹣10）=（t+1），解得：t=﹣15（舍去）当P在CD上时，14﹣（t﹣20）=（t+1），解得：t=，即当t=时，OP与PQ相等．当P在BA上时，t=，OP与PQ相等，（9分）∴当t=或t=时，OP与PQ相等．19\n点评：本题是一道动态解析几何题，对学生的运动分析，数形结合的思想作了重点的考查，有一定的难度． 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