2022年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把相应的选项标号填写在答题卡上相应的位置）1．（3分）（2022•滨湖区一模）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故选B．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．（3分）（2022•滨湖区一模）计算（2a2）3的结果是（ ） A．2a6B．8a6C．8a5D．8a8考点：幂的乘方与积的乘方．分析：利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．解答：解：（2a2）3=8a6．故选B．点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键． 3．（3分）（2022•滨湖区一模）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（ ） A．|a+b|=a+bB．|a+b|=a﹣bC．|a﹣b|=a+bD．|a﹣b|=a﹣b考点：实数与数轴；绝对值．分析：根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，A、B、|a+b|=﹣（a+b），故本选项错误；C、|a﹣b|=a﹣b，故本选项错误；D、|a﹣b|=a﹣b，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键． 4．（3分）（2022•聊城）一次函数y=﹣3x+2的图象不经过（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：一次函数的性质．分析：根据k，b的值判断一次函数y=﹣3x+2的图象经过的象限．解答：解：∵k=﹣3＜0，b=2＞0，∴该图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．19\n故选C．点评：通过本题需要掌握根据k，b的值判断一次函数的图象经过的象限． 5．（3分）（2022•滨湖区一模）下图中几何体的主视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看应得到第一层有3个正方形，第二层从左面数第1个正方形上面有1个正方形，故选D．点评：此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 6．（3分）（2022•滨湖区一模）如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是（ ） A．90°B．100°C．110°D．120°考点：圆周角定理；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据三角形的内角和定理先求出∠A，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，从而可得出答案．解答：解：∵∠B=60°，∠C=70°，∴∠A=50°，∴∠BOD=100°，故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理以及圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍． 7．（3分）（2022•滨湖区一模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，CD=4，DA=3，则sinB的值是（ ）19\n A．B．C．D．考点：直角梯形；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：先过点C作CE⊥AB，再分别求出CE和BC的长，最后根据sinB=代入计算即可．解答：解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠A=90°，∴CE=AD=3，AE=CD=4，∴BE=AB﹣AE=8﹣4=4，在Rt△CEB中，∵BC===5，∴sinB==；故选A．点评：此题考查了直角梯形，用到的知识点是矩形的性质、勾股定理，关键是做出辅助线，把直角梯形分解为矩形和直角三角形，再进行求解． 8．（3分）（2022•滨湖区一模）有一组数据：3，4，5，6，6，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ） A．4.8，6，6B．5，5，5C．4.8，6，5D．5，6，6考点：众数；算术平均数；中位数．分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．解答：解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；而将这组数据从小到大的顺序排列3，4，5，6，6，处于中间位置的数是5，平均数是：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，故选：C．点评：此题主要考查了平均数，众数，中位数的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题． 9．（3分）（2022•滨湖区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=2，点O为AB的中点，以点O为圆心作半圆与边AC相切于点D．则图中阴影部分的面积为（ ） A．1﹣πB．1﹣πC．2﹣πD．2﹣π19\n考点：扇形面积的计算；切线的性质．专题：数形结合．分析：连接OD，那么△ABC上边的阴影部分的面积可用△AOD和乘以2来得出，由此可得出所求的结果．解答：解：连接OD，则OD⊥AC，△AOD为等腰直角三角形，∵AB=4，O是AB的中点，∴OA=；OD=1，∴△AOD中的阴影面积=×1×1﹣=﹣；则图中阴影部分的面积是1﹣．故选A．点评：此题综合考查切线的性质、等腰直角三角形的性质和扇形的面积计算，解答本题的关键是作出辅助线求出一部分阴影部分的面积． 10．（3分）（2022•湖州二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（ ） A．（3，）B．（4，）C．（，）D．（5，）考点：反比例函数综合题．分析：由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数为：，继而可求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数联立，即可求得点B的坐标．解答：解：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（x＞0）上，点A的坐标为（1，2），∴2=，解得：k=2，19\n∴双曲线的解析式为：y=，直线OA的解析式为：y=2x，∵OA⊥AB，∴设直线AB的解析式为：y=﹣x+b，∴2=﹣×1+b，解得：b=，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+，将直线AB与反比例函数联立得出：，解得：或，∴点B（4，）．故选B．点评：题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式．此题难度适中，注意掌握垂直直线的系数的关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把结果直接填在答题卷上相应的位置）11．（2分）（2022•滨湖区一模）用科学记数法表示0.000031，结果是 3.1×10﹣5 ．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：计算题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：0.000031=3.1×10﹣5．故答案为：3.1×10﹣5．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（2分）（2022•盐城）分解因式：a2﹣4b2= （a+2b）（a﹣2b） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．点评：本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键． 19\n13．（2分）（2022•滨湖区一模）方程的根是 ﹣2 ．考点：解分式方程．分析：首先方程两边同乘以最简公分母，去掉分母，然后解方程求解，即可，最后要把x的值代入最简公分母进行检验．解答：解：∵，方程两边同乘以x﹣2得：x2=4，∴x1=2，x2=﹣2，检验：当x1=2时，x﹣2=0，所以x1=2不是原方程的解，当x2=﹣2时，x﹣2=﹣4，所以x2=﹣2为原方程的解．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查解分式方程，关键在于找出最简公分母，去掉分母，注意最后要把x的值代入最简公分母进行检验． 14．（2分）（2022•滨湖区一模）若抛物线y=x2﹣x+m与x轴只有一个公共点，则m= ．考点：抛物线与x轴的交点．分析：令y=0，则关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0的根的判别式△=0，据此列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．解答：解：令y=0，则当抛物线y=x2﹣x+m与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0的根的判别式△=0，即（﹣1）2﹣4m=0，解得m=．故答案是：．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，运用“二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数与系数的关系：当b2﹣4ac=0时，只有一个交点”求解即可． 15．（2分）（2022•滨湖区一模）在5张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形和圆．在看不见图形的情况下随机摸出1张，则这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ．考点：概率公式；中心对称图形．分析：由在5张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形和圆中是中心对称图形的是：平行四边形、正六边形和圆，利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在5张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形和圆中是中心对称图形的是：平行四边形、正六边形和圆，∴这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．故答案为：．19\n点评：此题考查了概率公式的应用与中心对称图形．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 16．（2分）（2022•滨湖区一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的全面积为 21π cm2．考点：圆锥的计算．分析：利用圆面积公式即可求得底面积，然后利用扇形的面积公式即可求得侧面积，二者的和就是全面积．解答：解：底面积是：9πcm2，底面周长是6πcm，则侧面积是：×6π×4=12πcm2．则这个圆锥的全面积为：9π+12π=21πcm2．故答案是：21π．点评：本题利用了圆锥的计算，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用． 17．（2分）（2022•滨湖区一模）如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且AC=6，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为 3或或9或 ．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．专题：分类讨论．分析：根据E点在直线AC上，得出对应点不同求出的EC长度不同，分别得出即可．解答：解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，AC=6，∴BC==8，∵点D为BC的中点，∴CD=4，当DE∥AB时，△CED∽△CAB，∴=，∴=，解得：EC=3，∴AE=6﹣EC=3，当=，且∠ACB=∠DCE′时，△CE′D∽△CBA，19\n则=，解得：CE′=，∴AE′=6﹣=；当=，且∠ACB=∠DCE1时，△CE1D∽△CBA，则=，解得：CE1=，∴AE1=6+=；当=，且∠ACB=∠DCE″时，△CE″D∽△CBA，则=，解得：CE″=3，∴AE″=6+3=9；综上所述：点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为3或或9或．故答案为：3或或9或．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，注意在直线AC上有一点E，进行分类讨论得出是解题关键． 18．（2分）（2022•滨湖区一模）如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为（1，），动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE+DE+DB的最小值是 4 ．19\n考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质；菱形的性质．分析：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE+DE+BD的值最小，求出CE+DE+BD=AE′，求出∠E′BA=90°，BF=EF′=，AB=2，根据勾股定理求出即可．解答：解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE+DE+BD的值最小，∵四边形OCBA是菱形，∴AC⊥OB，AO=OC，即A和C关于OB对称，∴CE=AE，∴DE+CE=DE+AE=AD，∵B和E′关于OC对称，∴DE′=DB，∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE′，过C作CN⊥OA于N，∵C（1，），∴ON=1，CN=，由勾股定理得：OC=2即AB=BC=OA=OC=2，∴∠CON=60°，∴∠CBA=∠COA=60°，∵四边形COAB是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB=∠COA=60°，∵B和E′关于OC对称，∴∠BFC=90°，∴∠E′BC=90°﹣60°=30°，∴∠E′BA=60°+30°=90°，CF=BC=1，由勾股定理得：BF==E′F，在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′==4，即CE+DE+DB的最小值是4．故答案为：4．点评：19\n本题考查了菱形性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是找出符合条件的点D和E的位置． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卷指定区域内作答，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）19．（8分）（2022•滨湖区一模）计算：（1）（2）化简．考点：分式的加减法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）根据零指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=+2﹣1﹣2×，然后进行乘法运算后合并即可；（2）先进行通分得到原式=﹣，然后进行同分母的分式的减法运算．解答：解：（1）原式=+2﹣1﹣2×=1；（2）原式=﹣==．点评：本题考查了分式的加减法：先把各分式化为同分母，再把分母不变，分子进行加减运算，然后进行约分得到最简分式或整式．也考查了实数的运算、零指数幂以及特殊角的三角函数值． 20．（8分）（2022•滨湖区一模）（1）解方程：﹣=0；（2）解不等式组：．考点：解分式方程；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）观察方程可得最简公分母是：x（x﹣2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答；（2）先解两个不等式，再根据不等式组解集的四种情况求解即可．解答：解：（1）方程两边同乘以x（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）=0，解得x=6．经检验：x=6是原方程的解；（2），由①得，x≥﹣2，19\n由②得，x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x．点评：本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式组的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）不等式组解集的四种情况：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小找不到． 21．（8分）（2022•滨湖区一模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于F，连结BF．（1）求证：CF=BD；（2）若CA=CB，∠ACB=90°，试判断四边形CDBF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，求tan∠AFC的值．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．分析：（1）根据全等三角形的判定方法可证明△ADE≌△FCE，所以CF=AD，因为D是AB的中点，所以AD=BD，所以CF=BD；（2）四边形CDBF是正方形，根据邻边相等和有一个角为90°的平行四边形为正方形证明即可；（3）由平行线的性质可得：∠AFC=∠BAF，所以求tan∠AFC的值可转化为求tan∠FAB的值．解答：（1）证明：∵AB∥CF，∴∠DAE=∠EFC，∵E是CD的中点，∴DE=CE，∵在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD=CF，∵AD=BD∴CF=BD；（2）四边形CDBF是正方形，理由如下：证明：∵CF∥BD，CF=BD，∴四边形CDBF是平行四边形，∵∠ACB=90°，AD=BD，∴CD=AB=BD，∴四边形CDBF是正方形；（3）解：∵四边形CDBF是正方形，∴BF=BD，∵AD=BD，19\n∴AB=2BF，∵CF∥AB，∴∠AFC=∠FAB，∴tan∠AFC=tan∠FAB=．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，题目的综合性较强，难度中等． 22．（6分）（2022•滨湖区一模）无锡地铁1、2号线即将于2022年通车，为了解市民对地铁票的定价意向，市物价局向社会公开征集定价意见．现某校课外小组也开展了“你认为无锡地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，征求社区居民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：根据统计图解答：（1）同学们一共随机调查了 300 人；（2）请你把条形统计图补充完整；（3）如果在该社区随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元”的概率是 0.4 ；（4）假定该社区有1万人，请估计该社区支持“起步价为3元”的居民大约有 3500 人．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．专题：计算题．分析：（1）由5元的人数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；（2）由2元的人数除以总人数求出所占的百分比，用单位1减去其他所占的百分比，求出3元所占的百分比，用总人数乘以3元与4元所占的百分比即可求出相应的人数，补充图形即可；（3）根据2元占的百分比即可求出所求概率；（4）用10000乘以“起步价为3元”所占的百分比，即可求出相应的人数．19\n解答：解：（1）根据题意得：30÷10%=300（人），则同学们一共随机调查了300人；（2）2元所占的百分比为×100%=40%，3元所占的百分比为1﹣40%﹣10%﹣15%=35%，则3元的人数为300×35%=105（人），4元的人数为300×15%=45（人），补充图形，如图所示；（3）根据题意得：起步价为2元的概率为40%=0.4；（4）根据近题意得：10000×35%=3500（人），该社区支持“起步价为3元”的居民大约有3500人．故答案为：（1）300；（3）0.4；（4）3500．点评：此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，解题的关键是掌握算所占的百分比的正确的计算方法，以及用样本估计总体的方法． 23．（8分）（2022•随州）有3张扑克牌，分別是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s﹣t|≥l的概率．（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？考点：列表法与树状图法．专题：压轴题．分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）分别求得两个方案中甲获胜的概率，比较其大小，哪个大则甲选择哪种方案好．解答：解：（1）画树状图得：列表：红桃3红桃4黑桃5红桃3（红3，红3）（红3，红4）（红3，黑5）红桃4（红4，红3）（红4，红4）（红4，黑5）黑桃5（黑5，红3）（黑5，红4）（黑5，黑5）∴一共有9种等可能的结果，|s﹣t|≥l的有（3，4），（3，5），（4，3），（4，5），（5，3），（5，4）共6种，19\n∴|s﹣t|≥l的概率为：=；（2）∵两次抽得相同花色的有5种，两次抽得数字和为奇数有4种，A方案：P（甲胜）=；B方案：P（甲胜）=；∴甲选择A方案胜率更高．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（8分）（2022•滨湖区一模）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．考点：切线的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，则有OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE；（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，则DP=DE=3，由⊙O的半径为5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，则AP=9，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有=，即可求出BF．解答：（1）证明：连OD，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2（等弦对等角），又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角对等边），∴∠1=∠3（等量代换），而DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，∵AD为∠BAC的平分线，DE=3，∴DP=DE=3，又⊙O的半径为5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，则AP=9，∵BF⊥AB，∴DP∥FB，∴=，即=，∴BF=．19\n点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了平行线分线段成比例定理． 25．（8分）（2022•滨湖区一模）某批发商以50元/千克的成本价购入了某产品800千克，据市场预测，该产品的销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=70+2x，但保存这批产品平均每天将损耗10千克，且最多保存15天．另外，批发商每天保存该批产品的费用为100元．（1）若该批发商将这批产品保存x天时一次性卖出，试求他所获利润w（元）与x（天）之间的函数关系式；（2）求批发商所获利润w的最大值．考点：二次函数的应用．分析：（1）根据利润=售价×销售量﹣成本列出函数关系式即可；（2）利用配方法即可求出利润最大值．解答：解：（1）由题意得：销售量=800﹣10x，则利润w=（800﹣10x）（70+2x）﹣100x﹣50×800=﹣20x2+800x+16000；（2）w=﹣20x2+800x+16000=﹣20（x﹣20）2+24000∵0＜x≤15，∴x=15时，w最大=23500．答：批发商所获利润w的最大值为23500元．点评：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题用函数表示出来，注意掌握配方法求二次函数最值得应用． 26．（8分）（2022•滨湖区一模）某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙、丙3人发现了该图案的以下性质：甲：这是一个中心对称图形；乙：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴；丙：这是一个轴对称图形，且它的对称轴经过5粒棋子．他们想，若去掉其中的若干个棋子，上述性质能否仍具有呢？例如，去掉图案正中间一粒棋子（如图2，用“×”表示去掉棋子），则甲、乙发现的性质仍具有．请你帮助他们一起进行探究：（1）在图3中，请去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质．（2）在图4中，请去掉4个棋子，使所得图形仅保留丙所发现的性质．（3）在图5中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙、丙3人所发现的性质．19\n考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．分析：根据题意要求，分别去掉一些棋子，本题答案不唯一，可以发散思维．解答：解：所设计图形如下：说明：答案不唯一，只要符合题意即可．第（1）、（2）小题各（2分），第（3）小题（4分）．点评：本题考查了利用旋转涉及图案的知识，属于开放型题目，注意发散思维，按要求求解，难度一般． 27．（10分）（2022•滨湖区一模）已知抛物线y=x2﹣2ax+a2（a为常数，a＞0），G为该抛物线的顶点．（1）如图1，当a=2时，抛物线与y轴交于点M，求△GOM的面积；（2）如图2，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°，所得新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），D为x轴的正半轴上一点，以OD为一对角线作平行四边形OQDE，其中Q点在第一象限．QE交OD于点C，若QO平分∠AQC，AQ=2QC．①求证：△AQO≌△EQO；②若QD=OG，试求a的值．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）先求出点M的坐标，再把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后求出点G的坐标，从而得到OM、OG，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）①根据平行四边形的对角线互相平分可得OC=CE=QE，然后求出AQ=EQ，再根据角平分线的定义可得∠AQO=∠EQO，然后利用“边角边”证明△AQO和△EQO全等；19\n②根据平行四边形的对边相等可得OE=QD，再根据全等三角形对应边相等可得OA=OE，从而得到点A的坐标，再根据旋转的性质求出点A旋转前的坐标，然后代入抛物线解析式进行计算即可求出a的值．解答：解：（1）当a=2时，令x=0，则y=a2=4，∴点M（0，4），∵y=x2﹣2ax+a2=（x﹣a）2，∴当a=2时，顶点G（2，0），∴OM=4，OG=2，S△GOM=OM•OG=×4×2=4；（2）①∵四边形OQDE为平行四边形，∴OC=CE=QE，又∵AQ=2QC，∴AQ=EQ，∵QO平分∠AQC，∴∠AQO=∠EQO，∵在△AQO和△EQO中，，∴△AQO≌△EQO（SAS）；②∵由题意知G（a，0），∴OG=a，∵QD=OG，∴QD=a，∵四边形OQDE为平行四边形，∴OE=QD=a，又∵△AOQ≌△EOQ，∴OA=OE=a，即A（0，a），由旋转知，旋转前抛物线点A的坐标为（2a，a），把（2a，a）代入y=x2﹣2ax+a2得，4a2﹣2a•a+a2=a，即a2=a，解得a=1或0，∵a为常数，a＞0∴a=0不合题意，舍去，∴a=1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与y轴的交点的求解，顶点坐标，全等三角形的判定与性质，平行四边形的对边相等，以及旋转的性质，（2）中求出点A的坐标以及旋转前的坐标是解题的关键，也是本题的难点． 28．（12分）（2022•滨湖区一模）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与直线AB：y=x+b交于点E（2，n）．（1）m= n ，点B的纵坐标为 n+1 ；（用含n的代数式表示）；（2）若△BDE的面积为2，设直线AB与y轴交于点F，问：在射线FD上，是否存在异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19\n（3）在（2）的条件下，现有一动点M，从O点出发，沿x轴的正方向，以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t（s），问：是否存在这样的t，使得在直线AB上，有且只有一点N，满足∠MNC=45°？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．考点：反比例函数综合题．分析：（1）根据点E（2，n）和点D（4，m）在反比例函数的图象上，得出k=2n，k=4m，即可求出m的值；根据点E（2，n）在直线y=x+b上，得出点E的坐标是（2，1+b），b=n﹣1，再根据点B的横坐标是4，点B在直线y=x+b上，得出点B的坐标是（4，2+b），纵坐标是2+n﹣1，再进行整理即可；（2）根据（1）中E（2，n），D（4，n），B（4，n+1）和S△BDE=2，求出n的值，再根据直线AB的解析式，求出点A、B、D、C和F的坐标，从而得出FD∥AC，最后根据射线FD上，异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，只可能为△BFP∽△CAB，得出=，求出FP的值，得出点P的坐标．（3）以MC为斜边，作等腰直角△QMC，则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q，与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC=45°，则⊙Q恰好与AB相切，得出点Q到AB的距离d=QM=MC，再分两种情况讨论①当点M在C点左侧时，S△QAB+S△QAC+S△QBC=S△ABC，②当M在C点右侧时，S△QAB+S△QAC﹣﹣S△QBC=S△ABC，然后代入计算即可．解答：解：（1）∵点E（2，n）和点D（4，m）在反比例函数的图象上，∴k=2n，k=4m，∴4m=2n，∴m=n，∵点E（2，n）在直线y=x+b上，∴点E的坐标是（2，1+b），∴1+b=n，∴b=n﹣1，∵点B的横坐标是4，点B在直线y=x+b上，∴点B的坐标是（4，2+b），∴点B的纵坐标是2+n﹣1=n+1；故答案为：n；n+1．19\n（2）∵E（2，n），D（4，n），B（4，n+1），∵△BDE的面积为2，∴×（n+1）×2=2，解得n=2，∴直线AB的解析式为：y=x+1，A（﹣2，0）、F（0，1）．∴B（4，3），D（4，1），C（4，0），∴FD∥AC，∵在射线FD上，异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，只可能为△BFP∽△CAB，∴=，=，解得FP=5，从而可得P（5，1）．（3）以MC为斜边，作等腰直角△QMC，则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q，与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC=45°，由题意知，在直线AB上，有且只有一点N，满足∠MNC=45°，∴⊙Q恰好与AB相切，∴点Q到AB的距离d=QM=MC，①当运动时间为t（s）时，则M（2t，0），当点M在C点左侧时，则MC=4﹣2t，由S△QAB+S△QAC+S△QBC=S△ABC可得：×3×（4﹣2t）+×6×+×3×=×6×3．解得t=20﹣6，19\n②当M在C点右侧时，则MC=2t﹣4，利用S△QAB+S△QAC﹣﹣S△QBC=S△ABC，同理可得t=．点评：此题考查了反比例函数的综合应用，关键是根据题意画出图形，要注意分两种情况进行讨论，用到的知识点是圆的有关性质、切线的性质、圆周角定理． 19
