全国初中（初二）数学竞赛辅导第十七讲*集合与简易逻辑§17．1集合 我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C…等表示集合，小写字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n (i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素． (ii)自然数全体1，2，3，…组成一个集合(通常把它叫作自然数集)． (iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素． 总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识． 1．集合的描述方法 (1)列举法 当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如： (i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作A=｛a，b，c，d，e｝， 也可记作A=｛b，a，c，d，e)． (ii)由小于40的质数组成的集合B，记作B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝． (iii)平方等于1的有理数集合C，记作C=｛1，-1｝． (iv)三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作D=｛l1，l2，l3｝． (2)特征性质描述法 当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法．
所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素． 例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是A=｛x│x2=1｝， 或者A=｛x││x│=1｝． 全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是B=｛x│x是能被2整除的整数｝， 或者B=｛2n│n是整数｝． 全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是C=｛x│x是不能被2整除的整数｝， 或者C=｛2n＋1│n是整数｝，C=｛2n-1│n是整数｝． 一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：A=｛x│x具有性质α｝． 2．集合之间的关系和运算 (1)包含与子集 (i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者． (ii)设集合
例1设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集． ｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝． (2)交集运算 对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B表示A，B的交集(图2-88)．例如 (i)如图2-89，设A=｛x│x是12的正因数｝，B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝， 则 A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝． 所以A∩B=｛6，12｝． (ii)设l1，l2是平面上两条不同的直线，则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合． 如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝(图2-90)；
(3)并集运算 对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如 (i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合． (ii)设A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝， 则A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝． 注意在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次． (iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝， F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x2≥16}． 则E∪F=G． 一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即 A={x│x具有性质α}，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是A∪B=｛x│x具有性质α或β｝， 或者A∪B={x│x∈A或x∈B}． 例2设 A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，C={x│0≤x≤5，且x∈Z}． 求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C． 解根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)). (1)A∩B∩C=｛1，2，3｝； (2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．
例3设A={1，a，a2}，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值． 解因为A=｛1，a，a2｝，B=｛1，a，b｝，所以A∩B＝｛1，a｝． 已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于 A∪B=｛1，a，b，a2｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．
§17．2简易逻辑 逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍． 1．推出关系 如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α——4的倍数；B中元素具有性质β——2的倍数．我们知道：如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质 一般地说，如果具有性质α的元素也具有性质β，我们便说由α推 下面再举一个例子．
2．命题和证明 (1)命题和逆命题 人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断．例如： (i)雪是白的； (ii)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2； (iii)3+4=6； 上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真)，也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命题．
关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0(x＞y)，那么 因此，命题(iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)． 数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是“若α，则β”，“如果α，那么β”． 命题“若α，则β”或是真命题，或是假命题，二者必居其一．“若 当由α不可能推出β时，“若α，则β”便是假命题． 在命题“若α，则β”中，α叫作这个命题的条件，β叫作这个命题的结论．如果将命题“若α，则β”的条件和结论互换，就得到一个新命题“若β，则α”，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题． 当“如果α，则β”为真命题时，它的逆命题“如果β，则α”不一定是真命题．例如： (i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命题． (ii)“若a=0并且b=0，则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0并且b=0”就不是真命题． (iii)“如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角”就是假命题． (2)证明 我们要说明“若α，则β”是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即： 如果 那么 例如，(i)若 ∠1和∠2是对顶角，①
对顶角相等，② 则∠1=∠2．③ (ii)张三是人，① 凡人必有死，② 所以张三必有死．③ 上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论． 实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如“对顶角相等”的证明过程，可以像下面这样来理解． 已知：∠1是∠2的对顶角(图2-98)，求证：∠1=∠2． 证 从上述证明过程可知，要证明“若α，则β”，我们先设法找出一 应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法)．演绎法是证明数学问题的重要方法．
＝a2＋b2＋c2 (a+b-c)2=a2+b2+c2. 例2某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名．A说：“或者F，或者H是第一名．”B说：“我是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说的不对．”F说：“我不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？ 分解与解由已知条件可知：A与H同真假，E与F同真假，B与D必定一真一假． (i)如果A与H猜对了，那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，因此，A与H必定都猜错了． (ii)如果E与F猜对了，即F与H都不是第一名，这时若B猜对了，那么D就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．因此B猜的不对，D猜对了，这时已有E，F，D三人猜对，所以G，C都必定猜错了，所以C是第一名．练习十七 1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8}，写出集合： (1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C； (3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)． 3．有某种产品100个，通过两种检查，第一种检查合格品有90个，第二种检查合格品有78个，两种检查都合格的有72个．试问这100个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？ (1)a＞0□│a│＞0； (2)a＝0且b=0□a2＋b2=0；
(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b； (4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ． 5．写出下列命题的逆命题，并指出其真假． (1)若a=b，则(a-b)2=0； (2)若a=b，则a2-b2=0； (3)若a≠b，则a2＋b2＞2ab； 6．已知3(a2＋b2＋c2)=(a+b+c)2，求证：a=b=c．本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！
