第8讲 一元一次不等式(组)命题点年份考查频次2022考查方向一元一次不等式的解法2022选择4个近三年考查得不多，只有部分地市对此进行了考查，基本上都是以单独考查的形式出现，考查得较为基础.2022解答2个2022选择2个填空1个一元一次不等式组的解法2022选择2个解答4个考查得较多，大部分地市都有考查，考查的类型比较单一，主要是求一元一次不等式的解集或整数解．预计2022年仍会对此知识进行考查.2022选择4个解答1个2022选择2个填空2个解答3个一元一次不等式的应用2022解答5个考查得不多，基本上都是与一次方程(组)、函数结合考查，题型以解答题为主，预计2022年对此考查的可能性不大.2022解答4个2022解答2个 不等式的概念及性质不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集.不等式的基本性质性质1若a＜b，则a±c＜b±c.性质2若a＜b且c＞0，则ac①__bc(或②__).性质3若a＜b且c＜0，则ac③__bc(或④____). 【易错提示】 不等式的两边乘(或除以)同一负数时，不等号的方向一定要改变． 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.不等式组的解集情况(假设b＜a)x＞a同大取大9\nx≤b同小取小b≤x＜a大小小大中间找无解大大小小无处找 不等式的应用列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)⑤____作答．1．已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法：(1)利用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定．2．列不等式(组)解应用题应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词列出不等量关系式，进而求解． 命题点1 一元一次不等式的解法 (2022·贵港模拟)解不等式：－≤1，并求出其负整数解．【思路点拨】 通过观察发现，先去分母、去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可．【解答】 一元一次不等式的解法步骤一般是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.值得注意的是：系数化为1时，如果两边同时乘以或除以的数为负数时，不等号的方向一定要改变． 1．(2022·桂林)下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( )A．5B．4C．3D．22．(2022·梧州)不等式x－2＞1的解集是( )A．x＞1B．x＞2C．x＞3D．x＞43．(2022·南宁)不等式2x－3<1的解集在数轴上表示为( )9\n4．(2022·桂林)解不等式4x－3＞x＋6，并把解集在数轴上表示出来．命题点2 一元一次不等式组的解法 (2022·玉林)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】 先分别求出每个不等式的解集，再求出公共解集，并在数轴上表示出来．【解答】 求不等式组的解集时，先分别求出各个不等式的解集，然后再按口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)”或者通过数轴来求公共解，但是用口诀速度快些；用数轴表示不等式的解集时要注意包含界点需用实心的小圆圈，不包含界点需用空心的小圆圈．在数轴上表示不等式组的解集时，该用实心圆圈时易忽略． 1．(2022·河池)不等式组的解集是( )A．－1<x<2B．1＜x≤2C．－1＜x≤2D．－1＜x≤32．(2022·钦州)不等式组的整数解共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2022·贵港)解不等式组并在数轴上表示不等式组的解集．命题点3 一元一次不等式的应用9\n (2022·玉林)我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：(1)从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？(2)在(1)的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？(结果精确到0.1%)【思路点拨】 (1)根据题意求出今年将报废电动车的数量，进而根据明年电动车数量列出不等式求出即可；(2)分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．【解答】 此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键． 1．(2022·来宾)甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x张(x≥9)．(1)分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；(2)购买的椅子至少多少把时，到乙厂家购买更划算？2．(2022·贺州)某商场销售一批同型号的彩电，第一个月售出50台．为了减少库存，第二个月每台降价500元将这批彩电全部售出，已知第一个月9台的销售额与第二个月10台的销售额相等，这两个月销售总额超过40万元．(1)求第一个月每台彩电销售价格；9\n(2)这批彩电最少有多少台？1．(2022·南宁模拟)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( )A．a＋c＜b＋cB．a－c＞b－cC．ac＜bcD．ac＞bc2．(2022·崇左)不等式5x≤－10的解集在数轴上表示为( )3．(2022·来宾)不等式组的解集是( )A．1<x≤2B．－1<x≤2C．x>－1D．－1<x≤44．(2022·贺州)不等式的解集在数轴上表示正确的是( )5．(2022·南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正实数，则m的取值范围是( )A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．m＜26．(2022·柳州)如图：身高为xcm的1号同学和身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x________y．(用“＞”或“＜”填空)7．(2022·绍兴)解不等式：3x－5≤2(x＋2)．9\n8．(2022·东营)解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．9．(2022·柳州模拟)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？10．(2022·来宾)已知购买一个足球和一个篮球共需130元，购买2个足球和一个篮球共需180元．(1)求每个足球和每个篮球的售价；(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？11．(2022·南宁改编)“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元；9\n(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和80万人次．若该公司要确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次，且每种车型不少于3辆，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？参考答案考点解读①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤检验各个击破例1 去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6.去括号，得4x－2－9x－2≤6.移项，得4x－9x≤6＋2＋2.合并同类项，得－5x≤10.把x的系数化为1，得x≥－2.所以不等式的负整数解为－1，－2.题组训练 D C D 4.4x－x＞6＋3，3x＞9，x＞3.解集在数轴上表示出来为：例2 解不等式①，得x≥1.解不等式②，得x<4.∴原不等式组的解集是1≤x<4.在数轴上表示如图所示．题组训练 C 9\nB 由①得x＜1.由②得x≥－1.∴不等式组的解集为－1≤x＜1.把解集表示在数轴上为：例3 (1)设从今年年初起每年新增电动车数量是x万辆，由题意可得：今年将报废电动车：10×10%＝1(万辆)，∴[(10－1)＋x](1－10%)＋x≤11.9.解得x≤2.答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆．(2)∵今年年底电动车拥有量为(10－1)＋x＝11(万辆)，明年年底电动车拥有量为11.9万辆，∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11(1＋y)＝11.9.解得y≈0.082＝8.2%.答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%.题组训练 (1)甲厂家所需金额为3×800＋80(x－9)＝1680＋80x；乙厂家所需金额为(3×800＋80x)×0.8＝1920＋64x.由题意，得1680＋80x＞1920＋64x，解得x＞15.答：购买的椅子至少16把时，到乙厂家购买更划算． (1)设第一个月每台彩电的售价为x元，则第二个月每台彩电的售价为(x－500)元．由题意得：9x＝10(x－500)．解得x＝5000.答：第一个月每台彩电的销售价格为5000元．设这批彩电有y台，由题意得：5000×50＋(5000－500)(y－50)>400000.解得y>83.∵y为整数，∴y≥84.答：这批彩电最少有84台．整合集训B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.＜ 去括号，得3x－5≤2x＋4.移项、合并同类项，得x≤9. 解不等式①，得x<1.解不等式②，得x≥－.∴不等式组的解集为－≤x<1.不等式组的解集在数轴上表示如下：不等式组的解集中的整数解为－1，0. 9\n设小明答对x道题，由题意得10x－5(20－x)＞90.解得x＞12.∵x取整数，∴x最小值为13.答：他至少要答对13道题． (1)设每个足球的售价为x元，每个篮球的售价为y元，根据题意，得解得答：每个足球和每个篮球的售价分别为50元、80元．设可购买z个篮球，根据题意，得50(54－z)＋80z≤4000.解得z≤43.∵z取整数，∴z最大值为43.答：最多可买43个篮球． (1)设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，依题意列方程，得解得答：购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元．设购买y辆A型公交车，则购买(10－y)辆B型公交车，依题意，得60y＋80(10－y)≥680.解得y≤6，因为每种车型不少于3辆，所以3≤y≤6.有四种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车5辆，B型公交车5辆；③购买A型公交车4辆，B型公交车6辆；④购买A型公交车3辆，B型公交车7辆．因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第一种购车方案总费用最少，最少费用为6×100＋150×4＝1200(万元)．答：该公司有四种购车方案，第一种购车方案的总费用最少，最少总费用是1200万元．9
