二次函数与几何图形综合 (2022·贵阳)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2，0)，B两点．(1)a________0，b2－4ac________0(填“＞”或“＜”)；(2)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形．若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】 (1)根据二次函数的图象与性质，确定a及b2－4ac的正负；(2)用待定系数法求抛物线的函数表达式；(3)由平行四边形性质及点在抛物线上求得点E的坐标．【解答】 (1)由抛物线开口向上，可知a＞0；由抛物线与x轴有两个不同的交点，可知b2－4ac＞0.(2)由题意得解得∴抛物线的函数表达式是y＝x2－x－4.(3)存在．理由如下：①当点E在x轴下方，过点E作AC的平行线交x轴于点F，如图1,∵四边形ACEF是平行四边形，∴CE∥AF，这时点E的纵坐标为－4，则x2－x－4＝－4，解得x＝0或x＝4，故E点的坐标是(4，－4)．②当点E在x轴上方，过点E作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，过点E作ED⊥x轴于点D，如图2,∵四边形ACFE是平行四边形，∴EF＝AC，EF∥AC.∴∠EFD＝∠CAO，又∵∠AOC＝∠FDE＝90°.∴△ACO≌△FED.∴ED＝OC.这时点E的纵坐标为4，则x2－x－4＝4，解得x＝2±2.故E点的坐标是(2＋2，4)，(2－2，4)．综上所述，E点坐标为(4，－4)或(2＋2，4)或(2－2，4)．18\n(1)解决存在性问题的一般步骤是：首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论，若结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；若出现与题目要求或是定义定理相悖的情况，则假设错误，不存在．(2)分类讨论是一种重要的数学思想，当问题涉及的元素具有不确定性时，往往需要运用分类讨论思想对该元素的不同情况进行分类讨论．对于某些不确定的情况，如由于时间变化引起的数量变化、等腰三角形的腰或底的不确定、直角三角形直角的不确定、运动问题、旋转问题等，当情况不唯一时，我们就要分类讨论．在进行分类讨论时，要根据题目要求或是时间变化等，做到不重不漏地解决问题． (2022·遵义)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；(3)以AB为直径作⊙M，直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线的解析式．【思路点拨】 (1)根据A、B、C三点为抛物线上的点列出方程组，求出抛物线的解析式；(2)过D作DH⊥x轴交直线AC于点G，设D点横坐标为m，用割补法把△ACD的面积用含m的式子表示出来，求出△ACD面积的最大值及D点坐标；(3)过E的直线与⊙M切于点N交x轴于点F，利用相似三角形的性质与判定或用三角函数求出点F坐标，从而求出直线的解析式．【解答】 (1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(－4，0)，B(2，0)，C(0，2)三点，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.(2)过D作DH⊥x轴交直线AC于点G，设D点横坐标为m，则DH＝－m2－m＋2，AH＝m＋4，OH＝－m.设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线AC的解析式为y＝x＋2.∴G(m，m＋2)．∴DG＝－m2－m＋2－(m＋2)＝－m2－m.∵S△ADC＝S△ADG＋S△CDG＝DG·AH＋DG·OH＝DG(AH＋OH)＝DG·AO，∴S△ADC＝(－m2－m)×4＝－m2－2m＝－(m＋2)2＋2.∵－＜0，∴S△ADC面积有最大值．∴当m＝－2时，S△ADC面积的最大值为2，此时D点的坐标为(－2，2)．18\n(3)如图，设过点E的直线与⊙M切于点N，交x轴于点F，连接MN，∵A(－4，0)，B(2，0)，AB为⊙M的直径，∴AB＝6，M(－1，0)．∴MN＝AB＝3.∵E(－1，－5)，∴ME＝5，∠FME＝90°.∵EF与⊙M切于点N，∴∠MNE＝90°.∴EN＝＝＝4.∵∠MNE＝∠FME，∠MEN＝∠FEM，∴△MNE∽△FME.∴＝，即＝.∴MF＝.∴FO＝＋1＝或FO＝－1＝.∴F(－，0)或(，0)．设直线EF的解析式为y＝kx＋b，当F(－，0)时，则有解得∴直线EF的解析式为y＝－x－.当F(，0)时，则有解得∴直线EF的解析式为y＝x－.综上所述，直线EF的解析式为y＝－x－或y＝x－.解这类问题关键是：(1)善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件；(2)会用待定系数法求函数解析式；(3)利用“数形结合”的思想，按照“解析式→坐标→距离(线段长度)→几何图形性质及应用”的思路进行思考；(4)周长最短、面积最大等，一般都是先化为二次函数的顶点式，再得出最大值或最小值． (2022·黔南)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c，过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b，c的值；18\n(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)用待定系数法求出二次函数的解析式，从而得到b、c的值；(2)利用△AOP∽△PEB，用含t的式子表示出D的坐标，再代入到二次函数的解析式中求出t的值；(3)当P在线段OC上和点C的右侧时，根据相似三角形的对应关系分类讨论．【解答】 (1)由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，得解得(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP∽△PEB，且相似比为＝＝2.∵AO＝4，∴PE＝2，OE＝OP＋PE＝t＋2.又∵DE＝OA＝4，∴点D的坐标为(t＋2，4)．∴点D落在抛物线上时，有－(t＋2)2＋(t＋2)＋4＝4.解得t＝3或t＝－2.∵t＞0，∴t＝3，故当t为3时，点D落在抛物线上．(3)存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：①当0＜t＜8时，若△POA∽△ADB，则＝，即＝，整理得t2＋16＝0，所以t无解．若△POA∽△BDA，同理，得t＝－2＋2(负值舍去)；②当t＞8时，若△POA∽△ADB，则＝，即＝，解得t＝8＋4(负值舍去)．若△POA∽△BDA，同理，得t无解．综上所述，当t＝－2＋2或t＝8＋4时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似．关于动点的问题，一般都要注意动点在不同位置时，对几何图形的影响．三角形相似时，若没有用相似符号标记，也要注意不同的对应关系．所以对于这样的一类问题需要分类讨论，做到不重复，也不要遗漏． (2022·铜仁)如图，已知：关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问M、N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积．18\n【思路点拨】 (1)根据A、C两点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)分别以线段BC为腰和底确定P点的位置并求得坐标；(3)把△MNB的面积用二次函数的表达式表示出来，应用二次函数求得△MNB的最大面积．【解答】 (1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0),C(0，3)，∴解得∴二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.(2)存在．令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.∴B(3，0)．①当以BC为底边时，由于OB＝OC＝3，∴点O符合条件，即有点P1(0，0)，使△PBC为等腰三角形；②当以PB为底边时，BC为腰时，PC＝BC＝＝3，当点P在C点上方时，P2点坐标为(0，3＋3)；当点P在C点下方时，P3点坐标为(0，3－3)．③当以PC为底边时，BC为腰时，OP＝OC，∴P点和C点关于原点对称，即点P4坐标为(0，－3)．综上所述，符合条件的P点有P1(0，0)，P2(0，3＋3)，P3(0，3－3)，P4(0，－3)，使△PBC为等腰三角形．(3)设点M运动t个单位时，△MNB的面积最大，∵二次函数y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0),B(3，0)，∴OA＝1，OB＝3.∴BM＝OB－OA－AM＝3－1－t＝2－t.∵点N的速度是点M的2倍，∴DN＝2t.S△MNB＝(2－t)×2t＝－(t－1)2＋1，∴当t＝1时，△MNB的面积有最大值为1.即当M(2，0)、N(2，2)或N(2，－2)时，△MNB的面积最大，最大面积为1.(1)会用待定系数法求函数解析式；(2)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性求出存在的条件(即要求的点的坐标)．当图形的形状无法确定唯一时，还应该根据已知条件进行分类；(3)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决；对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用．类型之一 二次函数与存在等腰三角形 1．(2022·黔东南)如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.(1)求二次函数的解析式及点B的坐标；18\n(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．(2022·贵阳)如图，经过点A(0，－6)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，0)，C两点．(1)求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)在(2)的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．类型之二 二次函数与存在相似三角形 1．(2022·安顺)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A(0，2)，D(2，2)，AB＝2，连接AC.(1)求出直线AC的函数解析式；(2)求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；18\n(3)在抛物线上有一点P(m，n)(n＜0)，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．2．(2022·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2(m>0)与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B(x1，0)，C(x2，0)，且x2－x1＝4.直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0)，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；(3)当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 类型之三 二次函数与存在特殊四边形1．(2022·毕节)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；(3)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18\n2．(2022·泸州)如图，已知二次函数的图象M经过A(－1，0)，B(4，0)，C(2，－6)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点G是线段AC上的动点(点G与线段AC的端点不重合)，若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；(3)设图象M的对称轴为l，点D(m，n)(－1<m<2)是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．类型之四 二次函数与线段相关的存在性问题 1．(2022·黔东南)如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．18\n2．(2022·毕节)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为A(－1，－1)，与x轴交点M(1，0)．C为x轴上一点，且∠CAO＝90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线AC的解析式及B点坐标；(3)过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D(0，－2)且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．类型之五 二次函数与面积问题 1．(2022·黔西南)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y＝－x2＋2x＋3经过点A、C、A′三点．(1)求A、A′、C三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．18\n2.(2022·六盘水)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是(2，0)，B点的坐标是(8，6)．(1)求二次函数的解析式；(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；(3)该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积；(4)抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP＝S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)将A(4，0)代入y1＝－x2＋x＋c，得－42＋×4＋c＝0，解得c＝3.∴所求二次函数的解析式为y1＝－x2＋x＋3.∵当x＝0时，y1＝3，∴点B的坐标为(0，3)．(2)满足y1<y2的自变量x的取值范围是：x<0或x>4.(3)存在，理由如下：作线段AB的中垂线l，垂足为C，交x轴于点P1，交y轴于点P2.∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3.∴在Rt△AOB中，AB＝＝5.18\n∴AC＝BC＝.∵Rt△ACP1与Rt△AOB有公共∠OAB，∴Rt△ACP1∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得AP1＝.而OP1＝OA－AP1＝4－＝，∴点P1的坐标为(，0)．又∵Rt△P2CB与Rt△AOB有公共∠OBA，∴Rt△P2CB∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得P2B＝.而OP2＝P2B－OB＝－3＝，∴点P2的坐标为(0，－)．∴所求点P的坐标为(，0)或(0，－)．2．(1)将A(0，－6)，B(－2，0)代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴y＝x2－2x－6，∴顶点坐标为(2，－8)．(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线y1＝(x－2＋1)2－8＋m，∴P(1，－8＋m)．在抛物线y＝x2－2x－6中易得C(6，0)，∴直线AC为y2＝x－6.当x＝1时，y2＝－5，∴－5＜－8＋m＜0.解得3＜m＜8.(3)∵A(0，－6)，B(－2，0)，∴线段AB的中点坐标为(－1，－3)，直线AB的解析式为y＝－3x－6.∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为y＝x－.①当3＜m＜时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；②当m＝时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；③当＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．类型之二 二次函数与存在相似三角形(1)由A(0，2)知OA＝2，在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝2，∴OB＝＝＝2.∴B(－2，0)．根据等腰梯形的对称性可得C点坐标为(4，0)．18\n设直线AC的函数解析式为y＝kx＋n，则解得∴直线AC的函数解析式为y＝－x＋2.(2)设过点A，C，D的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，则解得∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.(3)∵点P(m，n)(n＜0)在抛物线y＝－x2＋x＋2上，∴m＜－2或m＞4，n＝－m2＋m＋2＜0.∴PM＝m2－m－2.∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，∴＝＝或＝＝2.①若m＜－2，则MC＝4－m.当＝＝时，＝，解得m1＝－4，m2＝4(不合题意，舍去)，此时点P的坐标为(－4，－4)；当＝＝2时，＝2，解得m1＝－10，m2＝4(不合题意，舍去)，此时点P的坐标为(－10，－28)；②若m＞4，则MC＝m－4.当＝＝时，＝，解得m1＝0，m2＝4，不合题意，舍去；当＝＝2时，＝2，解得m1＝6，m2＝4(不合题意，舍去)，此时点P的坐标为(6，－4)．综上所述，所求点P的坐标为(－4，－4)或(－10，－28)或(6，－4)．2．(1)由题意知x1，x2是方程mx2－8mx＋4m＋2＝0的两根，∴x1＋x2＝8.由解得∴B(2，0)，C(6，0)．则4m－16m＋4m＋2＝0，解得m＝.∴该抛物线的解析式为y＝x2－2x＋3.(2)由(1)知A(0，3)，C(6，0)，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3.要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：①当0＜t＜6时，设直线l与AC的交点为F，则F(t，－t＋3)．18\n∵P(t，t2－2t＋3)，∴PF＝－t＋3－(t2－2t＋3)＝－t2＋t.∴S△APC＝S△APF＋S△CPF＝(－t2＋t)·t＋(－t2＋t)·(6－t)＝(－t2＋t)×6＝－(t－3)2＋.∴当t＝3时，△APC面积的最大值是.②当6＜t≤8时，延长AC交直线l于点H，则H(t，－t＋3)，则PH＝t2－2t＋3－(－t＋3)＝t2－t.∴S△APC＝S△PAH－S△PCH＝(t2－t)·t－(t2－t)·(t－6)＝(t2－t)×6＝(t－3)2－.此时，当t＝8时，△APC面积的最大值是12＞.综上所述，当t＝8时，△APC面积的最大值是12.(3)由题意可知OA＝3，OB＝2，Q(t，3)，t＞2.①当点P在直线AD下方时，令△AOB∽△AQP，∴＝，∴＝.解得t＝0(舍去)或t＝；令△AOB∽△PQA，∴＝，∴＝.解得t＝0(舍去)或t＝2(舍去)；②当P在直线AD上方时，令△AOB∽△AQP，∴＝，∴＝.解得t＝0(舍去)或t＝；令△AOB∽△PQA，∴＝，∴＝.解得t＝0(舍去)或t＝14.18\n综上所述，满足条件的点P有3个，此时t的值分别是，，14.类型之三 二次函数与存在特殊四边形1．(1)由题意，将A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入抛物线方程得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线顶点M(1，－4)，其关于x轴的对称点M′(1，4)．设直线AM′的解析式为y＝kx＋m，则解得∴直线AM′的解析式为y＝2x＋2.由解得∴直线AM′与抛物线的交点A(－1，0)，C(5，12)．又AB＝4，∴S△ABC＝AB·yc＝×4×12＝24.(3)假设存在满足条件的抛物线使四边形APBQ为正方形．由该抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设抛物线方程为y＝a(x＋1)(x－3)，其中a≠0.∵y＝a(x2－2x－3)＝a(x－1)2－4a，∴抛物线顶点P(1，－4a)．∴P(1，－4a)关于x轴的对称点Q(1，4a)．∴PQ＝|8a|.∵四边形APBQ为正方形，其对角线PQ与AB互相垂直平分且相等，∴PQ＝AB，即|8a|＝4.∴a＝±.∴假设成立，存在满足条件的抛物线，其解析式为y＝x2－x－或y＝－x2＋x＋.2．(1)∵二次函数的图象M经过A(－1，0)，B(4，0)两点，∴可设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)．∵二次函数的图象M经过点C(2，－6)，∴－6＝a(2＋1)(2－4)，解得a＝1.∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－4)，即y＝x2－3x－4.(2)设直线AC的解析式为y＝sx＋t，把A、C坐标代入可得解得∴直线AC的解析式为y＝－2x－2，设点G的坐标为(k，－2k－2)(－1<k<2)．∵G与C点不重合，∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．∴＝.∵AB＝5，AC＝＝3，AG＝＝|k＋1|，∴＝，∴|k＋1|＝，∴k＝或k＝－(舍去)．18\n∴点G的坐标为(，－)．(3)能．理由如下：过D点作x轴的垂线交AC于点H，∵D(m，n)(－1＜m＜2)，∴H(m，－2m－2)．∵点D(m，n)在图象M上，∴D(m，m2－3m－4)．∵△ACD的面积为，∴[－2m－2－(m2－3m－4)][(m＋1)＋(2－m)]＝，即4m2－4m＋1＝0，解得m＝.∴D(，－)．∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－，∴图象M的对称轴l为x＝.∵点D关于l的对称点为E，∴E(，－)，∴DE＝－＝2.若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则PQ∥DE且PQ＝DE＝2.∴点P的横坐标为＋2＝或－2＝－.∴点P的纵坐标为(－)2－＝－.∴点P的坐标为(，－)或(－，－)．类型之四 二次函数与线段相关的存在性问题1．(1)∵B(4，m)在直线y＝x＋2上，∴m＝4＋2＝6，∴B(4，6)．∵A(，)、B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6.(2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)，18\n∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋.(＜n＜4)∵－2<0，∴当n＝时，线段PC有最大值为.(3)①当∠PAC＝90°时，设直线AC的解析式为y＝－x＋c，把A(，)代入，得＝－＋c，解得c＝3.∴直线AC解析式为y＝－x＋3.∵点C在抛物线上，设C(n，2n2－8n＋6)，代入y＝－x＋3，得2n2－8n＋6＝－n＋3.整理得2n2－7n＋3＝0.解得n＝3或n＝(与A点重合，应舍去)．∴P(3，5)．②当∠ACP＝90°时，可知AC∥x轴，∴C点纵坐标为，可求得C点横坐标为.∴P点横坐标为，纵坐标为yP＝＋2＝.∴P点坐标为(，)．综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3，5)或(，)．2．(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)2－1，将(1，0)代入得0＝a(1＋1)2－1，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)2－1.(2)∵A(－1，－1)，∴∠COA＝45°.∵∠CAO＝90°，∴△CAO是等腰直角三角形．∴AC＝AO.∴C(－2，0)．设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将A，C点代入，得解得∴直线AC的解析式为y＝－x－2.将y＝(x＋1)2－1和y＝－x－2联立得解得∴B点坐标为(－5，3)．(3)过点B作BP⊥EF于点P，由题意可得：E(－5，－2)，设直线EF的解析式为：y＝mx＋n，则解得18\n∴直线EF的解析式为y＝x＋.∵直线BP⊥EF，∴设直线BP的解析式为y＝－2x＋e.将B(－5，3)代入得3＝－2×(－5)＋e.解得e＝－7.∴直线BP的解析式为y＝－2x－7.∴将y＝－2x－7和y＝x＋联立得解得∴P(－3，－1)．故存在P点使得BP⊥EF，此时P(－3，－1)．类型之五 二次函数与面积问题1．(1)当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴C(－1，0)，A′(3，0)．当x＝0时，y＝3，∴A(0，3)．(2)设A′C′与OB相交于点D.∵C(－1，0)，A(0，3)，∴B(1，3)．∴OB＝＝.∴S△BOA＝×1×3＝.又∵平行四边形ABOC旋转90°得到平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA.∴＝()2＝()2.∴S△C′OD＝.(3)设M点的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，连接OM.S△AMA′＝S△MOA′＋S△MOA－S△AOA′＝×3×(－m2＋2m＋3)＋×3×m－×3×3＝－m2＋m＝－(m－)2＋.(0<m<3)当m＝时，S△AMA′取到最大值，∴M(，)．2．(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(8，6)．18\n∴解得∴二次函数解析式为y＝x2－4x＋6.(2)由y＝x2－4x＋6，得y＝(x－4)2－2，∴函数图象的顶点坐标为(4，－2)．∵点A，D是y＝x2＋bx＋c与x轴的两个交点，A(2，0)，对称轴为x＝4，∴点D的坐标为(6，0)．(3)∵二次函数的对称轴交x轴于C点，∴C点的坐标为(4，0)．设BC所在直线的解析式为y＝kx＋b，∵B(8，6)，∴解得∴BC所在的直线解析式为y＝x－6.∵E点是y＝x－6与y＝x2－4x＋6的交点，∴x－6＝x2－4x＋6.解得x1＝3，x2＝8(舍去)．当x＝3时，y＝－，∴E(3，－)．∴S△BDE＝S△CDB＋S△CDE＝×2×6＋×2×＝.(4)存在，设点P到x轴的距离为h.∵S△BCD＝×2×6＝6，S△ADP＝×4×h＝2h，S△ADP＝S△BCD，∴2h＝6×，解得h＝.当P在x轴上方时，＝x2－4x＋6，解得x1＝4＋，x2＝4－.当P在x轴下方时，－＝x2－4x＋6，解得x1＝3，x2＝5.∴存在4个这样的点P，它们分别是P1(4＋，)，P2(4－，)，P3(3，－)，P4(5，－)．18
