普陀区2022学年第二学期高三文科数学质量调研1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数的定义域为.2.若且，则=.3.若点在幂函数的图像上，则函数的反函数=.4.若，（表示虚数单位），且为纯虚数，则实数.5.若，则.6.若函数是偶函数，则函数的最小值为.7.若双曲线:的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为.8.若某班从名男生、名女生中选出人参加志愿者服务，则至少选出名男生的概率为.9.若实数满足不等式组，则的最大值为.10.若三条直线和相交于一点，则行列式的值为.11.△中，角、、所对的边为、、，若，，则=.12.若圆的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点，点是圆上的动点，则10的最大值为13.已知函数，若，则实数的取值范围是.14.若表示阶矩阵中第行、第列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为，且（、）,则.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若集合，，则………………（）........16.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、，则:=…………………………………………………………().1:1..2：1..3:2..4:1.17.若，则“关于的方程无实根”是“（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………（）.充分非必要条件..必要非充分条件..充要条件..既非充分又非必要条件.18.如图，△是边长为的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（）第18题.当时，满足条件的点有且只有一个..当时，满足条件的点有三个..当时，满足条件的点有无数个.10.当为任意正实数时，满足条件的点是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数（,,）的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和第19题（1）求函数的解析式；（2）若锐角满足，求的值.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点.（1）求三棱锥的体积.第20题（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知且，函数，，记10（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围.、22.（本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，方向向量为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于、两点（1）若点在轴的上方，且，求直线的方程；（2）若，，求△的面积；第22题（3）当（且）变化时，试求一点，使得直线和的斜率之和为.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：①；②存在实数,使得成立.（1）数列、中，、（），判断、是否具10有“性质”；（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，，求证：数列具有“性质”；（3）数列的通项公式（）.对于任意且，数列具有“性质”，求实数的取值范围.10普陀区2022学年第二学期高三文科数学质量调研试题答案一.填空题1.2.3.（）4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二.选择题题号15161718答案ACBC三.解答题19.[解]（1）由题意可得……………………………………………………………1分即，………………………………………………3分，由且，得………………………………5分函数………………………………………………6分（2）由于且为锐角，所以……………………………8分……………………10分……………12分20.[解]（1）…………………………1分第20题由题意得平面且…………………………3分…………………………5分…………………………6分（2）取的中点为，连接,10由于,所以直线与所成的锐角或直角即为异面直线与所成的角……9分在中，,,由余弦定理得，……12分所以即异面直线与所成的角的大小为…………14分21.解：（1）（且），解得，所以函数的定义域为……2分令，则…（*）……3分方程变为，即……………………5分解得，，经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为即函数的零点为.……6分（2）（）……8分，设……9分函数在区间上是减函数……………………11分当时，此时，，所以………………12分①若，则，方程有解…………………………13分②若，则，方程有解.…………………………14分1022.【解】（1）由题意，得，所以………………………………1分且点在轴的上方，得………………………………2分，……………………………………3分直线：，即直线的方程为…………………………4分（2）设、，当时，直线：…………5分将直线与椭圆方程联立，……………………7分消去得，，解得，……………………9分，所以……10分（3）假设存在这样的点，使得直线和的斜率之和为0,由题意得，直线：（），消去得，……12分恒成立，……13分，……14分所以……15分10解得，所以存在一点，使得直线和的斜率之和为0.…16分23.解：（1）在数列中，取，则，不满足条件①，所以数列不具有“性质”；……2分在数列中，，，，，，则，，，所以满足条件①；（）满足条件②，所以数列具有“性质”。……4分（2）由于数列是各项为正数的等比数列，则公比，将代入得，，解得或（舍去）………………………………………6分所以，，………………………………………………8分对于任意的，，且所以数列满足条件①和②，所以数列具有“性质”……………………10分（3）由于，则，………11分由于任意且，数列具有“性质”，所以即，化简得，，即对于任意且恒成立，所以……①………………14分10=由于及①，所以即时，数列是单调递增数列，所以最大项的值为满则条件②只需即可，所以这样的存在②…………………………………17分所以即可。……………………………………18分10
