普陀区2022学年第二学期高三理科数学质量调研1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数的定义域为.2.若，（表示虚数单位），且为纯虚数，则实数.3.若且，则.4.若点在幂函数的图像上，则函数的反函数=.5.若，则=.6.若函数是偶函数，则函数的最小值为.7.若双曲线:的焦距为，点在的渐近线上，则的方程为.8.某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为，则的方差=.9.若曲线：（为参数且），则的长度为.10.若三条直线和相交于一点，则行列式的值为.11.△中，角、、所对的边为、、，若，，则=.12.若圆的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点，点是圆上的动点，则11的最大值为.13.函数的定义域为，值域为，则的取值范围是.14.若表示阶矩阵中第行、第列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为，且（、）,则=.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若集合，，则………………………（）........16.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、，则:=……………………………………………………………………………（）.1:1..2：1..3:2..4:1.17.若，则“关于的方程无实根”是“（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的……………………………………………（）.充分非必要条件..必要非充分条件..充要条件..既非充分又非必要条件.18.如图，△是边长为的正三角形，点在△所在的平面内，且11（为常数）.下列结论中，正确的是…………………………………（）第18题.当时，满足条件的点有且只有一个..当时，满足条件的点有三个..当时，满足条件的点有无数个..当为任意正实数时，满足条件的点总是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数（,,）的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和第19题（1）求函数的解析式；（2）若锐角满足，求的值.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知且，函数，，记（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.1121.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.第21题如图，正方体的棱长为（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求四棱锥的体积.22.（本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，方向向量为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于、两点（1）若点在轴的上方，且，求直线的方程；（2）若，且△的面积为，求的值；第22题（3）当（）变化时，是否存在一点，使得直线和的斜率之和为,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：①；②存在实数,使得成立.（1）数列、中，、（），判断、11是否具有“性质”；（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，，证明：数列具有“性质”，并指出的取值范围；（3）若数列的通项公式（）.对于任意的（），数列具有“性质”，且对满足条件的的最小值，求整数的值.11普陀区2022学年第二学期高三理科数学质量调研试题答案一.填空题1.2.3.4.（）5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二.选择题题号15161718答案ACBC三.解答题19.解：（1）由题意可得……………………………………………………………1分即，………………………………………………3分，由且，得………………………………………5分函数……………………………………………………6分由于且为锐角，所以……………………………………8分…………………………………10分………………12分20.解：（1）（且），解得，所以函数的定义域为……2分11令，则……（*）方程变为，，即……3分解得，……4分经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为……5分所以函数的零点为.……6分（2）（）……8分……9分设，则函数在区间上是减函数…11分当时，此时，，所以………………12分①若，则，方程有解；…………13分②若，则，方程有解.……14分21.解：（1）以为坐标原点，分别以射线、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则,,,……1分,,……2分设是平面的法向量，则,即令，则…3分11设直线与平面所成角为，则……4分由于，所以……5分即直线与平面所成角的大小为；……6分（2）由（1）得……8分所以点到平面的距离……10分因为四边形是矩形，所以面积……12分……14分22.【解】（1）由题意，得，所以……………………1分且点在轴的上方，得………………………………2分，……………………………………3分直线：，即直线的方程为…………………………4分（2）设、，直线：…………5分将直线与椭圆方程联立，…6分消去得，……7分恒成立，……………8分11……………9分所以化简得，由于，解得……10分（3）假设存在这样的点，使得直线和的斜率之和为0,由题意得，直线：（）消去得……12分恒成立，……13分，，……14分所以，……15分解得，所以存在一点，使得直线和的斜率之和为0.……16分23.解：（1）在数列中，取，则，不满足条件①，所以数列不具有“性质”；……2分在数列中，，，，，，则，，11，所以满足条件①；（）满足条件②，所以数列具有“性质”。……4分（2）因为数列是各项为正数的等比数列，则公比，将代入得，，解得或（舍去），……6分所以，，……7分对于任意的，，且……8分所以数列数列具有“性质”……9分.……10分（3）由于，则，由于任意且，数列具有“性质”，所以即，化简得，……12分即对于任意且恒成立，所以……①……14分=由于及①，所以即时，数列是单调递增数列，且……16分只需，解得……②……17分由①②得，所以满足条件的整数的值为2和3.经检验不合题意，舍去，满足条件的整数只有……18分1111
