2022年高考模拟试题理科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数满足方程(i为虚数单位)，则=（A）（B）（C）（D）2．已知集合则（A）（B）（C）（D）907655413557甲乙1233．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（A），（B），（C），（D），4．下列选项中叙述错误的是（A）命题“若，则”的逆否命题为真命题（B）若，则（C）“”是“”的充分不必要条件（D）若“p∧q”为假命题，则“p∨q”为真命题5．设则的大小关系是（A）（B）（C）（D）6．要得到函数的图象，只需将函数的图象12（A）向左平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向右平移个单位长度1侧视图第7题图1正视图117．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）俯视图8．2022年中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（A）51种（B）224种（C）240种（D）336种O1．-19．如图是函数的部分图象，函数的零点所在的区间是，则的值为（A）-1或0（B）0（C）-1或1（D）0或110．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40（B）-20（C）20（D）4011．已知矩形ABCD的边AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数的一个完整周期的图象，则当变化时，矩形ABCD的周长的最小值为（A）（B）（C）（D）12．某农户计划种植黄瓜和西红柿，种植面积不超过50亩，投入资金不超过48万元，假设种植黄瓜和西红柿的产量成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元西红柿6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和西红柿的种植面积（单位:亩）分别为：（A）10，40（B）20，30（C）30，20（D）40，102022年高考模拟试题12理科数学2022.5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.13．若不等式的解集为，则实数.14．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为.BAOxyDC15．已知三棱锥P—ABC，点P，A，B，C都在球面上，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=2，PC=3，则此球的表面积为.16．如右图放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则·的最大值是.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知的图象上两相邻对称轴间的距离为.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）在△ABC中，分别是角A,B,C的对边，若△ABC的面积是，求的值.BACP18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P—ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA=PC.（Ⅰ）求证：平面APB⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角B—AP—C的余弦值.19．（本小题满分12分）已知当时，二次函数取得最小值，等差数列的前n项和，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列的前n项和为且，证明.1220．（本小题满分12分）月收入(元)4000300010000.00050.0002频率/组距0.000120000.00030某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），单位：元）.（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布和数学期望.21．（本小题满分13分）已知直线圆椭圆的离心率直线l被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点.（1）若=2求直线l的方程；（2）若动点P满足=+，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分13分）已知函数e为自然对数的底数）.（Ⅰ）若不等式对于一切恒成立，求的最小值；（Ⅱ）若对任意的在上总存在两个不同的使成立，求的取值范围.122022年高考模拟试题数学试题（理）参考答案及评分标准2022.5说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：（每小题5分，满分60分）1.(B)2.(A)3.(B)4.(D)5.(A)6.(C)7.(D)8.(C)9.(C)10.(A)11.(B)12.(A)二、填空题：（每小题4分，满分16分）13.114.15.16.2三、解答题：17.解：由已知，函数周期为.…………………………………………（1分）∵………（2分）,……………………………………………（3分）∴,∴.……………………………（4分）（Ⅰ）由得∴∴的单调减区间是.………………………（6分）12（Ⅱ）由得，.…………………（7分）∵，∴，…………………………………（8分）∴，.…………………………………………………（9分）由得，……………………………………………………………………（10分）∴,………………（11分）故…………………………………………………………………（12分）OBPxzyAC18．解（Ⅰ）过P作PO⊥AB，垂足为O，连结OC.设AB=2，则,……………………………（1分）在△AOC中，,由余弦定理得………………………（2分）在△POC中，,则,∴PO⊥OC.………………………………………（3分）又，∴PO⊥平面ABC…………………………………………（4分）又平面APB，………………………………………………………（5分）∴平面APB⊥平面ABC.…………………………………………………（6分）（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OP所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直线坐标系，则.……………………………………（7分）∴12设平面APC的一个法向量为则∴……………………………………（9分）令则.而平面APB的一个法向量为…………………………………（10分）设二面角B-AP-C的平面角为，易知为锐角，则.……………………………………（11分）即二面角B-AP-C的余弦值为.………………………………………（12分）19．（Ⅰ）当时，………………………………………（1分）当时，………………………………（2分）又适合上式，得∴.………………………（3分）由已知解方程组得……………………………………（5分）∴.……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）,∴①②……………………………………（7分）①-②得……………………………（8分）12,………………………………………………………（9分）∴.…………………………………………………………（10分）则,,,………………………………………………………（11分）当时，∴,综上，得.……………………………………………………………（12分）20．解（Ⅰ）居民月收入在[1500,2000)的概率约为…………………………（2分）……………………………………………（3分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x，则…………………………（5分）解得.……………………………………………………………（6分）（Ⅲ）居民月收入在[1000,2000)的概率为…………………………………………………（7分）由题意知，X~B（3,0.3）,…………………………………………………（8分）因此…………………………………（9分）………………………………………（10分）X0123P0.3430.4410.1890.027故随机变量X的分布列为……（11分）X的数学期望为3×0.3=0.9.……………………………………………（12分）21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为12…………………………………………………（1分）∴.…………………………………………………（2分）由题意得…………………………………………（3分）解得故椭圆C的方程为……………………………………（4分）（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知设由，得则有①………………………………………………………（5分）设直线l：联立消去x，整理得∴结合①，得…………………………（6分）代入得×即解得12故直线l的方程是…………………………………………（7分）（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得成立.…………（8分）当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线l的方程为用（1）的设法，可得P若点P在椭圆C上，则即又点A,B在椭圆上，有则即②……………………（10分）由（1）知代入②式得解得，即.……………………………………………（11分）当时，当时，12…………………（12分）故椭圆C上存在点P，使得成立，即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，公共点的坐标是.…（13分）22．解：（Ⅰ）由题意得在内恒成立，即在内恒成立，……………………………（1分）设则…（2分）设则∴在内是减函数，∴…（4分）∴在内为增函数，则∴故的最小值为………………………………………（6分）（Ⅱ）∵∴∴在（0,1）内递增，在（1,e）内递减.又∵∴函数在（0,e）内的值域为（0,1]…………………………………（7分）由得①当时，在（0,e]上单调递减，不合题意；……（8分）12②当时，令则令则ⅰ）当，即时，在（0,e]上单调递减，不合题意；………………………………………（9分）ⅱ）当，即时，在上单调递减，在上单调递增.令则∴在上单调递增，在上单调递减；∴即在上恒成立.………（10分）令，则设则∴在（0,1）内单调递减，在上单调递增，∴即∴，∴即.∵当时,且在上连续.………………………………………………………（11分）欲使对任意的在上总存在两个不同的使成立，则需满足，即又∵，∴……………（12分）∴综上所述，……………………………（13分）12
