2022深圳外国语学校综合测试理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答.超出答题区域书写的答案无效．2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考数据：锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．第I卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集＜，集合，则等于A．B． C．D．2.是虚数单位，若，则等于A．1 B． C． D．3．若，对任意实数都有，且，则实数的值等于A．；B．；C．或D．5或14．在等比数列中，，公比．若，则（）A．9 B．10 C．11 D．125．实数满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为A．2 B．3 C．4 D．136．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为A．24 B．36 C．48 D．607．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．8．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的是()A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④第II卷（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题(9～13题)9．已知向量、的夹角为，且，，则________.10.运行如右图所示的程序框图,则输出的值为________.11.直线与抛物线围成的图形的面积等于______.12.已知双曲线（）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.13.已知函数的图象关于点对称，且函数为奇函数，则下列结论：①点的坐标为；②当时，恒成立；③关于的方程有且只有两个实根。其中正确结论的题号为。A．①② B．②③ C． D．①②③13（二）选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与两交点的距离为________.DACBE（第15题）15．（几何证明选讲选做题）如图,是两圆的交点,是小圆的一条直径,和分别是和的延长线与大圆的交点,已知,且,则________________．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知函数，(I)求函数的最小正周期及单调增区间；(Ⅱ)在中，角A、B、C所对的边分别是、、，又，，的面积等于，求边长的值．17．（本小题满分l2分）如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).(Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率；(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；(Ⅲ)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ13)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.18．（本小题满分l4分）如图，在矩形中，，为的中点，将沿折起，使；再过点作，且．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求直线与所成角的正弦值；(Ⅲ)求点到的距离．19．（本小题满分l4分）已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．（1）求a的值；（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分l4分)如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线的方程；13（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值．21．(本小题满分l4分)设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质.（I）设函数，（），其中为实数①求证：函数具有性质；②求函数的单调区间；(II)已知函数具有性质，给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围。数学(理科)参考答案一、选择题DBCC ABAC二、填空题9． 10． 11． 12． 13．①③1314． 15．三、解答题16、解：（1）因为………2分故的最小正周期为………3分即………5分所以，函数的增区间为………6分（2）………8分………10分由余弦定理………12分17、解：(Ⅰ)记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）.所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为.……………2分（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况.所以所以某个家庭获奖的概率为.……………4分(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是……5分13…………………………10分所以X分布列为：X01234P…………………………12分18、（1）证明：折叠前，矩形中，连接，中，，，即，………1分，交线为，，………3分而………4分（2）由（1）知，是直线与所成的角，………6分在中，，………8分故直线与所成角的正弦值为。………9分（3）设点到的距离为，且，13四边形为平行四边形，，从而，故点到的距离等于点到的距离，………11分，作，，交线为，，则是D到面ABCE的距离，而………12分由………13分点到的距离为………14分19．（本小题满分14分）解：（1）由已知，得．由，得．因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．…………………1分再由，得．由，故，即．由b≥3，故，解得．…………………………………………3分于是，根据，可得．……………………………………4分（2）由，对于任意的，均存在，使得，则．又，由数的整除性，得b是5的约数．故，b=5．13所以b=5时，存在正自然数满足题意．……………………………8分（3）设数列中，成等比数列，由，，得．化简，得．（※）…………………………10分当时，时，等式（※）成立，而，不成立．…………………11分当时，时，等式（※）成立．………………………………………12分当时，，这与b≥3矛盾．这时等式（※）不成立．………………………………………………………13分综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………14分20、解（1）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为．（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，设，，∴，∴，∴．．法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，联立方程组，得，13∵∴，．同理可得，，∴．（3）法一：设，∵，∴，可得，直线的方程为，同理，直线的方程为，∴，，∴直线的方程为，令，可得，∵关于的函数在单调递增，∴．法二：设点，，．以为圆心，为半径的圆方程为，①⊙方程：．②①-②得：直线的方程为．当时，直线在轴上的截距，∵关于的函数在单调递增，∴．21、（1）(i)………………1分∵时，恒成立，∴函数具有性质；……………2分13(ii)（方法一）设，与的符号相同。当时，，，故此时在区间上递增；………………3分当时，对于，有，所以此时在区间上递增；………4分当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，，故此时在区间上递增；……5分（方法二）当时，对于，所以，故此时在区间上递增；…………………………5分当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，………………………6分而当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增…………7分(2)（方法一）由题意，得：又对任意的都有>0，所以对任意的都有，在上递增。…………8分13又。…………9分当时，，且，…………11分…………12分……13分综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。…………14分（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。…………8分①当时，有，，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有||<||，符合题设。…………10分②当时，，，于是由及的单调性知，所以||≥|13|，与题设不符。…………12分③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。…………14分13
