上海甘泉外国语中学2022高考数学（理）考前热身（一）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、（理）不等式的解集是。2、（理）若复数（为虚数单位），则3、设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则4、（理）函数的值域是.5、若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.6、（理）圆锥曲线的方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于.7、在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是千米。8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为9、在二项式的展开式中，常数项的值是，则=.10、如图的程序框图运行后输出的结果是________.开始输出n是结束否第10题图1011、（理）如果随机变量的概率分布律由下表给出：设，则12、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．13、已知的外接圆的圆心为，则．14、在数列中，如果对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：①若数列满足，则该数列不是比等差数列；②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．其中所有真命题的序号是.二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）ABCD16、．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．17、设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，18、直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数10的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19、已知复数，，若为纯虚数，求的值．20、如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径，（1）计算球的表面积；（2）若是截面小圆上一点，，分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角(结果用反三角函数表示).21、如图，围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的一扇门,已知旧墙的维修费用为元/m,新墙的造价为元/m,一扇门的造价为元，设利用的旧墙的长度为m，总造价为元.（1）将表示为的函数；（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.1022、已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.（1）当时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；（3）是否存在实数，使得的边长为连续的自然数.23、设，对于项数为的有穷数列，令为中的最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．（Ⅰ）若，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列；（Ⅱ）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．上海甘泉外国语中学2022高考数学（理）考前热身（一）答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、（理）不等式的解集是。2、（理）若复数（为虚数单位），则6-2i3、设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则164、（理）函数的值域是.105、若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.6、（理）圆锥曲线的方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于.7、在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是千米。8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为9、在二项式的展开式中，常数项的值是，则=.10、如图的程序框图运行后输出的结果是________.开始输出n是结束否第10题图11、（理）如果随机变量的概率分布律由下表给出：设，则12、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．13、已知的外接圆的圆心为，则．-141014、在数列中，如果对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：①若数列满足，则该数列不是比等差数列；②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．其中所有真命题的序号是.①②二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）DABCD16、．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）BA．B．C．D．17、设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）AA．，B．，C．，D．，18、直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是（）AA．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19、已知复数，，若为纯虚数，求的值．解：………………2分若为纯虚数，则，………………4分10解得………………6分………………9分………………12分20、如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径，（1）计算球的表面积；（2）若是截面小圆上一点，，分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角(结果用反三角函数表示).解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为（2分）在中，,的由勾股定理知，，（4分）所以，球的表面积为：（）.（7分）（2）由得，为异面直线AC与MN所成的角（或补角）.（9分）在中，AB=8,则AC=4，（10分）连接OC,在中，OA=OC=5,由余弦定理知：，（12分）故异面直线AC与MN所成的角为.（14分21、如图，围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的一扇门,已知旧墙的维修费用为元/m,新墙的造价为元/m,一扇门的造价为元，设利用的旧墙的长度为m，总造价为元.10（1）将表示为的函数；（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：（1）如图，设矩形的另一边长为am，则=45x+180(x-2)+180·2a+600=225x+360a+240，由已知xa=360,得，所以（7分）(2).（10分）当且仅当225x=时，即x=24等号成立.（14分）22、已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.（1）当时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；（3）是否存在实数，使得的边长为连续的自然数.（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,当=1时，由题意得，a=2c=2,,所以椭圆的方程为.（4分）（2）依题意知直线的斜率存在，设，由得，，由直线与抛物线有两个交点，可知.设，由韦达定理得，则=（6分）10因为的周长为，所以，（8分）解得，从而可得直线的方程为（10分）（3）假设存在满足条件的实数，由题意得，又设，设，对于抛物线M，有对于椭圆C，由得（13分）由解得：，所以，从而，因此，的边长分别为、、，（15分）当时，使得的边长为连续的自然数.（16分）23、设，对于项数为的有穷数列，令为中的最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．（Ⅰ）若，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列；（Ⅱ）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列有6个，3，5，1，2，4；……………………………………………………………2分3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4；3，5，2，4，1；3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分（Ⅱ）存在数列的创新数列为等比数列．设数列的创新数列为，10因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等比数列，设公比为，因为，所以．……………7分当时，为常数列满足条件，即为数列当时，为增数列，符合条件的数列只能是，又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．………………………………………………………………10分（Ⅲ）存在数列，使它的创新数列为等差数列，设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等差数列，设公差为，因为，所以．且当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式），此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；………………………………………14分当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个；当时，又这与矛盾，所以此时不存在.综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．……………………………………………18分10
