上海甘泉外国语中学2022高考数学考前热身（二）一．填空题（本大题满分56分）1．设集合，，则___________．2．设、，为虚数单位，若，则复数的模______．3．函数的最小值为_____________．4．已知是函数的反函数，则________．5．（理）一质地均匀的正方体三个面标有数字，另外三个面标有数字.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望=___________.（文）设、满足约束条件，则目标函数的最大值为.6．设等差数列的前n项和为，若，则通项公式.7．已知的展开式中的第项为，则___________．ABO1O8．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点________．9．如图：球O的半径为2，圆是一球O的一个小圆，，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为.10．已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则整数的值为.11．有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中。现从这张卡片中任取一张，则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于的概率为.7\n12．在中,是边的中点，,点在直线上，且满足,则等于.13．若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是.14．已知函数，点为函数图像上横坐标为（）的点，为坐标原点，向量．记为向量与的夹角，则_________．二．选择题（本大题满分20分）15．“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件16．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则17．（理）参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是（）(A)圆和直线(B)直线和直线(C)椭圆和直线(D)椭圆和圆CABDP（文）如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面平行）可能是（）A．B．C．D．18．对任意实数，关于的方程恒有解，则实数的取值范围是（）7\nA．B．C．D．三．解答题（本大题满分74分）OxyABC19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．如图，角的始边落在轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点、（），△为等边三角形．（1）若点的坐标为，求的值；（2）设，求函数的解析式和值域。ECBAA1B1C120．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，在正三棱柱中，，．（1）求三棱柱的表面积；（2）设为棱的中点，求异面直线与所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知（1）若（2）若，且在上恒成立，求的取值范围。22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．设向量，（），函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足，．（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由。7\n23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知椭圆（）满足，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于且与交于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）设曲线与轴交于点，上有不同的两点、，且满足，求点的横坐标的取值范围．参考答案1、2、3、4、5、6、7、18、9、10、111、12、413、14、15、B16、C17、D18、C19（1）由题意，，因为点的坐标为，所以，，…………（3分）所以．…………（6分）（2）解法一：在△中，由余弦定理，，……（7分）所以．…………（10分）因为，所以，……7\n所以．…………（12分）因此，函数（），的值域是．解法二：由题意，，，……（7分）所以……………………………………（10分）因为，所以，…（11分）所以．所以，函数（），的值域是．（12分）20FECBAA1B1C1（1），……（1分）．……（3分）所以．……（6分）（2）取中点，连结、．因为∥，所以就是异面直线与所成角（或其补角）．……（8分）在△中，，，．…………（12分）所以异面直线与所成角的大小为．…………（14分）21（1）在上任意取由题意，得在上恒成立所以：（2）22（1）由已知，……（2分）7\n而函数在上是增函数，……（3分）所以．……（4分）（2）因为，所以（），………………（6分）两式相减，得（．…………（8分）所以，数列的通项公式为…………（10分）（3）因为，（），……（12分）由题意，为的最大项，则，要使为最大值，则……（13分）即……（14分）解得或．…………（15分）所以存在或，使得对所有成立．…………（16分）23（1）由已知，可设，（），所以椭圆的方程为，……（2分）因为椭圆过点，所以有，解得，……（3分）所以椭圆的方程为．……（4分）（2），，所以直线的方程为，……（5分）由题意，，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，7\n……（8分）所以轨迹的方程是．……（10分）（3），设，，所以，，因为，所以，……（12分）因为，，化简得，……（15分）所以，当且仅当，时等号成立．……（16分）所以，点的横坐标的取值范围是．……（18分）7
