考点47点与圆的位置关系要点阐述点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：（1）几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内．（2）代数法：可利用圆C的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2来确定：点M（m，n）在圆C上⇔（m－a）2＋（n－b）2＝r2；点M（m，n）在圆C外⇔（m－a）2＋（n－b）2＞r2；点M（m，n）在圆C内⇔（m－a）2＋（n－b）2＜r2．典型例题【例】已知点（2，0）和（x–2）2+（y+1）2=3，则点与圆的位置关系是____．【答案】点在圆的内部【规律方法】判断点与圆的位置关系的常用方法有两种：一种是利用圆心与已知点的距离d与r的大小关系．当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内；另一种就是将已知点（x0，y0）代入圆的方程，利用其结果与r2的大小关系来判断．当（x0–a）2+（y0–b）2>r2时，点在圆外，当（x0–a）2+（y0–b）2=r2时，点在圆上，当（x0–a）2+（y0–b）2<r2时，点在圆内．小试牛刀1．点p（m，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）5a．在圆外 b="">24．2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4上，则a的值是( )A．－1B．1C．±1D．0【答案】C【解析】由题意得(1－a)2＋(1＋a)2＝4，解得a＝±1．3．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )A．－<a<b．－1<a<1c．－≤a≤d．－1≤a≤1【答案】d【解析】由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25．∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1．4．已知圆c:（x–a）2+（y–b）2=r2（r>0）过原点，则a，b，r应满足的条件是_________．【答案】a2+b2=r2【解析】过原点，a2+b2=r25．已知点A（l，2）不在圆C：（x–a）2+（y+a）2=2a2的内部，则实数a的取值范围_________．【答案】【易错易混】当圆的标准方程的右端含有字母时，不能忽略隐含条件．6．已知两点P（–5，6）和Q（5，–4），求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A（2，2），B（1，8），C（6，5）是在圆上，在圆内，还是在圆外．【解析】由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，圆心M的坐标为（0，1），半径r==5圆的标准方程为x2+（y–1）2=50．点A在圆内．点B在圆上．点C在圆外．圆的标准方程为x2+（y–1）2=50．点A在圆内，点B在圆内，点C在圆外．【解题反思】（1）求圆的方程，只需确定圆心和半径就可以写出其标准方程．（2）判定点与圆的位置关系，即判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系．考题速递1．已知圆的方程是（x–2）2+（y–3）2=4，则点P（3，2）（）A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外【答案】C【解析】圆心为（2，3），点P到圆心的距离为d=，点P在圆内．2．若点(1,0)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝5上，则圆的圆心．【答案】（2，–2）或（–1，1）【解析】由题意得(1－a)2＋a2＝5，解得a＝2或a=–1．圆心为（2，–2）或（–1，1）3．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,a)四点，若这四点共圆，则a=．【答案】a=2或a=4．54．已知两点P（–5，6）和Q（5，–4），求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A（2，2），B（1，8），C（6，5）是在圆上，在圆内，还是在圆外．数学文化石磨5鲁班是中国古代一位优秀的创造发明家．他生活在春秋末期，叫公输般，因为他是鲁国人，所以又叫鲁班．据说他发明了木工用的锯子、刨子、曲尺等．他还用他的智慧，解决了人们生活中的不少问题．在鲁班生活的时代，人们要吃米粉、麦粉，都是把米麦放在石臼里，用粗石棍来捣．用这种方法很费力，捣出来的粉有粗有细，而且一次捣得很少．鲁班想找一种用力少收效大的方法．就用两块有一定厚度的扁圆柱形的石头制成磨扇．下扇中间装有一个短的立轴，用铁制成，上扇中间有一个相应的空套，两扇相合以后，下扇固定，上扇可以绕轴转动．两扇相对的一面，留有一个空膛，叫磨膛，膛的外周制成一起一伏的磨齿．上扇有磨眼，磨面的时候，谷物通过磨眼流入磨膛，均匀地分布在四周，被磨成粉末，从夹缝中流到磨盘上，过罗筛去麸皮等就得到面粉．许多农村现在还在用石磨磨面．5</a<b．－1<a<1c．－≤a≤d．－1≤a≤1【答案】d【解析】由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25．∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1．4．已知圆c:（x–a）2+（y–b）2=r2（r></r2时，点在圆内．小试牛刀1．点p（m，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）5a．在圆外></r时，点在圆内；另一种就是将已知点（x0，y0）代入圆的方程，利用其结果与r2的大小关系来判断．当（x0–a）2+（y0–b）2>
