考点56圆中的最值问题要点阐述与圆有关的最值问题，往往知识面广、综合性强、应用性强，而且情境新颖，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素养．典型例题【例】已知两点A（–2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2–2x=0上任意一点，则△ABC的面积最小值是（）A．B．C．3–D．【答案】A小试牛刀1．若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（ ）A．2B．1C．D．【答案】B【解析】由几何意义可知最小值为14－＝1．62．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．【答案】【解析】直线y＝x＋1上点P（x0，y0）到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d＝＝＝＝≥．【易错易混】容易理解为圆上的点到直线的距离，本质是d＝．3．已知点A（8，－6）与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．【答案】5【解析】由于82＋（－6）2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为＝10－5＝5．【解题策略】利用数形结合思想解题能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为__________．【答案】（0，－1）5．已知点在圆上，点在圆上，则的最小值是_____________．【答案】【解析】两圆的圆心和半径分别为C1（4，2），r1=3,C2（–2,–1）,r2=2，6．如果实数x、y满足方程（x–3）2十（y–3）2=6．求：（1）的最大值与最小值；（2）x+y的最大值与最小值【思路分析】需考虑代数式及x+y的几何意义，运用数形结合法求解．【解析】（1）设P（x，y），且P点的轨迹是已知圆C：（x–3）2+（y–3）2=6．而的几何意义就是直线OP的斜率（O为坐标原点）．6设=k，则直线OP的方程为y=kx．由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．∵点C到直线y=kx的距离d=∴当=，即k=3时，直线OP与圆相切．∴上的最大值与最小值分别是3和3–．【解题技巧】有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解．一般地，①形如的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by的最值问题常转化为动直线截距的最值问题．考题速递1．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A．36B．18C．D．【答案】C【解析】圆的圆心为（2，2），半径为，圆心到直线的距离为6，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选C．2．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0【答案】A【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A．3．过点A（1，）的直线l将圆（x–2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________．【答案】【解析】由图形可知点A（1，）在圆（x–2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0），要使得劣孤所对的圆心角最小，只能是直线lOA，所以kl4．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0．求过两圆交点且面积最小的圆的方程．65．已知圆过点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．数学文化滑轮组6一个滑轮组中的滑轮之间是外离关系单个滑轮的内圆与外圆之间是内含关系6
