考点58直线系方程与圆系方程要点阐述1．与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0；2．与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Bx–Ay+m=0；3．过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）；4．过直线n：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）；5．过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0；6．过和交点的圆系方程为．典型例题【例】求过两圆x2+y2－4x+2y=0和x2+y2－2y－4=0的交点，且圆心在直线2x+4y=1上的圆方程_____________，此时圆心到x轴的距离_____________．【答案】x2+y2－3x+y－1=0，5【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程．小试牛刀1．已知点是直线外一点，则方程表示（）A．过点且与垂直的直线B．过点且与平行的直线C．不过点且与垂直的直线D．不过点且与平行的直线【答案】D【解析】2．求经过点，且与直线垂直的直线的方程_____________．【答案】．【解析】设与直线垂直的直线系方程为，因为经过点，所以，故所求直线方程为．【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算．3．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_____________．【答案】【解析】54．设直线l经过2x–3y+2=0和3x–4y–2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程_____________．【答案】x–y–4=0,或x+y–24=0．【解析】设所求的直线方程为(2x–3y+2)+λ(3x–4y–2)=0,整理得(2+3λ)x–(4λ+3)y–2λ+2=0,由题意,得=±1,解得λ=–1,或λ=–．所以所求的直线方程为x–y–4=0,或x+y–24=0．【易错易混】对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．5．求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程_____________．【答案】考题速递1．已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，得，则直线在轴上的截距为,故选B．52．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选D．3．过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x－4y+1=0的交点，面积最小的圆方程_____________，圆的面积为_____________．【答案】5x2+5y2+26x－12y+37=04．已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x–y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程．【解析】由得一顶点为．因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为．设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,因为该直线过,5所以m=–16．设与3x–y+3=0平行的对边所在直线方程为3x–y+n=0,同理可知过点,得n=–13．故所求直线的方程为x+y–16=0和3x–y–13=0．数学文化平行直线系两条平行的直线永远不会有交集5
