考点53关于点、直线对称的圆的方程要点阐述1．设P，对称中心为（a，b），则P关于A的对称点为．2．设点P关于直线y=kx+b的对称点为则．典型例题【例】已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是( )A．－1B．2C．3D．0【答案】C【秒杀技】抓住相交弦与连心线垂直即可．小试牛刀1．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝( )A．3B．2C．5D．1【答案】A【解析】由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3．42．曲线x2+y2+2x–2y=0关于（）A．直线x=成轴对称B．直线y=–x成轴对称C．点（–2，）成中心对称D．点（–，0）成中心对称【答案】B【解析】方程可化为（x+）2+（y–）2=4表示圆，可以看出圆关于直线y=–x对称．3．圆（x+2）2+y2=5关于原点O（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+2）2=5B．x2+（y–2）2=5C．（x–2）2+y2=5D．x2+（y+2）2=5【答案】C【解析】已知圆的圆心（–2，0）关于原点的对称点为（2，0），故所求对称圆的方程为（x–2）2+y2=5．【解题技巧】关于点、直线对称的圆，半径没有发生变化，只要用对称找到圆心即可．4．方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2–4F>0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）A．D+E=0B．D+F=0C．E+F=0D．D+E+F=0【答案】A【解析】是圆心，=0，D+E=0．5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0【答案】B【解题技巧】两圆的方程相减即得公共弦所在直线方程．6．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，求圆的方程．【解析】设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，∴a＋2b＝0．①4又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2．②∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，∴()2＋2＝r2．③由①②③可得或故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244．考题速递1．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．x＋y＝0B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0D．x－y＋2＝0【答案】D【解析】由题意，知两圆的圆心分别为O(0,0)，C(－2,2)．由于直线l为线段OC的垂直平分线，故直线l过线段OC的中点(－1，1)，斜率为1，所以直线l的方程是x－y＋2＝0．2．圆x2+y2–2x–1=0关于直线2x–y+3=0对称的圆的方程是（）A．（x+3）2+（y–2）2=B．（x–3）2+（y+2）2=C．（x+3）2+（y–2）2=2D．（x–3）2+（y+2）2=2【答案】C3．已知圆C:x2+y2+2x+ay–3=0（a为实数）上任意一点关于直线l:x–y+2=0的对称点都在圆C上，则a=________．【答案】–2【解析】由题意可得圆C的圆心（）在直线x–y+2=0上，将（）代入，得–1–（）+2=0，解得a=–2．4．已知一个圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1和一条直线l：3x－4y＋5＝0，求圆关于直线l对称的圆的方程．【解析】圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝1的圆心为C(－2,6)，4数学文化一个圆的故事有一个圆缺了一角，很不快乐，于是它动身去寻找所缺的一角．它一路向前滚一路唱“我要去寻找失去的一角”，它忍受着日晒，经受着寒冷，被冰雪冰冻，又被太阳温暖．由于缺了一角，它没法滚得太快，它有时候停下来和小虫说话，或是闻闻花的芳香，最快乐的是它和蝴蝶一起嬉戏的时光．它渡过海洋，穿越沼泽和湖泊，翻越丘陵和高山．终于有一天，它遇上了最合适的一角，总算找到了，它感觉真好．它把一角装上，成了一个完美的圆．它一路高兴地唱“我找到了我失去的一角”．因为不再缺少什么，它越滚越快，快得停不下来和小虫说话，停不下来闻闻花香，停不下来和蝴蝶嬉戏，最后它再也不能唱歌了．它开始明白了什么，停了下来，卸下那一角轻轻放下，从容的走开，又开始一路的歌唱“我要去寻找失去的一角”……4
