第24讲 单元小结链接高考1.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.假设不计空气阻力，那么[2022年高考·天津理综卷]( )A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定解析：垒球的运动是平抛运动，根据平抛运动规律可得垒球落地速度v1＝＝，其中h为垒球下落的高度，A错；同理，垒球落地时速度的方向与水平方向的夹角φ＝arctan＝arctan，与高度h有关，B错；水平位移x＝v0t＝v0，C错；而运动时间t＝，D正确. 答案：D2.如以下图，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向被抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足[2022年高考·全国理综卷Ⅰ]( )A.tanφ＝sinθ B.tanφ＝cosθC.tanφ＝tanθD.tanφ＝2tanθ解析：小球落在斜面上，位移与水平方向夹角为θ，那么有tanθ＝＝速度与水平方向的夹角φ满足：tanφ＝故tanφ＝2tanθ，选项D正确. 答案：D3.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2022年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01卫星”，以下说法正确的选项是[2022年高考·山东理综卷]( )A.运行速度大于7.9km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：由题意可知“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9km/s，而他的位置在赤道上空，高度一定，A错误、B正确.由ω＝可知，C正确.由a＝可知，D错误. 答案：BC4.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球外表约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球外表的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是[2022年高考·四川理综卷]( )A.0.6h B.1.6h C.4.0h D.24h解析：由开普勒行星运动定律可知，＝恒量，所以＝，r为地球的半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24h)，代入数据得：t1＝1.6h. 答案：B9/9\n5.某行星绕太阳运行可近似看做匀速圆周运动.已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G，那么该行星的线速度大小为 ；太阳的质量可表示为 .[2022年高考·上海物理卷]解析：v＝，由G＝mR解得：M＝ 答案： 6.一飞船在某行星外表附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量[2022年高考·北京理综卷]( )A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：“飞船在某行星外表附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等.飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律有：G＝m()2R，由上式可得：＝，可得行星的密度ρ＝.上式说明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确. 答案：C7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为[2022年高考·全国理综卷Ⅰ]( )A.0.2B.2C.20D.200解析：由万有引力提供向心力，得：G＝m月r地月G＝M地r日地解得：＝又由万有引力定律知：F日月＝GF地月＝G而r日地≈r日月可得：≈2. 答案：B8.图示是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭屡次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.以下说法正确的选项是[2022年高考·广东物理卷]( )A.发射嫦娥一号的速度必须到达第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比9/9\nD.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力解析：嫦娥一号变成绕月卫星后仍在太阳系内部，故A选项错误；卫星绕月球做圆周运动的动力学方程为：G＝mr，由此可知T与卫星的质量无关，B选项错误；由万有引力定律有：F＝G，C选项正确；卫星受到月球的引力总是指向月球的中心.受到地球的引力总是指向地球的中心，由图可知卫星受到地球的引力大局部时间不在其轨道的半径方向，故F月≫F地时卫星才能绕月做圆周运动，故D选项错误. 答案：C9.如以下图是一种叫“飞椅”的游乐工程的示意图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.[2022年高考·广东物理卷]解析：设转盘转动角速度为ω，夹角为θ，那么座椅到做圆周运动的半径R＝r＋Lsinθ对座椅有：F向心＝mgtanθ＝mRω2联立两式解得：ω＝. 答案：10.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，如以下图，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′.(用m1、m2表示)(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式.(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞.假设可见星A的速率v＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝6.67×10－11N·m2/kg2，ms＝2.0×1030kg)[2022年高考·天津理综卷]解析：(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有：FA＝m1ω2r1FB＝m2ω2r2FA＝FB设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式得：r＝r1由万有引力定律，有：FA＝G联立解得：FA＝G令FA＝G比较可得：m′＝. (2)由牛顿第二定律，有：9/9\nG＝m1可见星A的轨道半径r1＝将m′代入，可解得：＝.(3)将m1＝6ms代入上式，得：＝代入数据得：＝3.5ms设m2＝nms(n>0)，可得：＝ms＝3.5ms可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得：ms＝0.125ms<3.5ms故n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms.由此得出结论：暗星B有可能是黑洞. 答案：(1) (2)＝(3)有可能11.有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失.碰后B运动的轨迹为OD曲线，如以下图.(1)已知滑块质量为m，碰撞时间为Δt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小.(2)为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑(经分析，A下滑过程中不会脱离轨道).a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；b.在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°.求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度.[2022年高考·北京理综卷]解析：(1)滑块A与B正碰，有：mv0＝mvA＋mvBmv＝mv＋mv解得：vA＝0，vB＝v0，根据动量定理，滑块B满足：F·Δt＝mv0解得：F＝.(2)a.设任意点到O点竖直高度差为d.A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒.选该任意点为势能零点，有：EkA＝mgd，EkB＝mgd＋mv由于p＝，有＝＝＜1即pA<pB9/9\nA下滑到任意一点的动量总是小于B平抛经过该点的动量.b.以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，那么对B有：x＝v0ty＝gt2B的轨迹方程：y＝·x2在M点x＝y，所以y＝因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同.设B水平和竖直分速度大小分别为vBx和vBy，速率为vB；A水平和竖直分速度大小分别为vAx和vAy，速率为vA，那么：＝，＝B做平抛运动，故vBx＝v0，yBy＝，vB＝对A由机械能守恒得vA＝由以上三式解得：vAx＝，vAy＝将代y＝入得：vAx＝v0，vAy＝v0. 答案：(1) (2)a.pA＜pB b.v0，v0第24讲 单元小结链接高考1.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.假设不计空气阻力，那么[2022年高考·天津理综卷]( )A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定解析：垒球的运动是平抛运动，根据平抛运动规律可得垒球落地速度v1＝＝，其中h为垒球下落的高度，A错；同理，垒球落地时速度的方向与水平方向的夹角φ＝arctan＝arctan，与高度h有关，B错；水平位移x＝v0t＝v0，C错；而运动时间t＝，D正确. 答案：D2.如以下图，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向被抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足[2022年高考·全国理综卷Ⅰ]( )A.tanφ＝sinθ B.tanφ＝cosθC.tanφ＝tanθD.tanφ＝2tanθ解析：小球落在斜面上，位移与水平方向夹角为θ，那么有tanθ＝＝速度与水平方向的夹角φ满足：tanφ＝故tanφ＝2tanθ，选项D正确.9/9\n 答案：D3.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2022年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01卫星”，以下说法正确的选项是[2022年高考·山东理综卷]( )A.运行速度大于7.9km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：由题意可知“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9km/s，而他的位置在赤道上空，高度一定，A错误、B正确.由ω＝可知，C正确.由a＝可知，D错误. 答案：BC4.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球外表约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球外表的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是[2022年高考·四川理综卷]( )A.0.6h B.1.6h C.4.0h D.24h解析：由开普勒行星运动定律可知，＝恒量，所以＝，r为地球的半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24h)，代入数据得：t1＝1.6h. 答案：B5.某行星绕太阳运行可近似看做匀速圆周运动.已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G，那么该行星的线速度大小为 ；太阳的质量可表示为 .[2022年高考·上海物理卷]解析：v＝，由G＝mR解得：M＝ 答案： 6.一飞船在某行星外表附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量[2022年高考·北京理综卷]( )A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量解析：“飞船在某行星外表附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等.飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律有：G＝m()2R，由上式可得：＝，可得行星的密度ρ＝.上式说明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确. 答案：C7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为[2022年高考·全国理综卷Ⅰ]( )A.0.2B.2C.20D.200解析：由万有引力提供向心力，得：9/9\nG＝m月r地月G＝M地r日地解得：＝又由万有引力定律知：F日月＝GF地月＝G而r日地≈r日月可得：≈2. 答案：B8.图示是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭屡次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.以下说法正确的选项是[2022年高考·广东物理卷]( )A.发射嫦娥一号的速度必须到达第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力解析：嫦娥一号变成绕月卫星后仍在太阳系内部，故A选项错误；卫星绕月球做圆周运动的动力学方程为：G＝mr，由此可知T与卫星的质量无关，B选项错误；由万有引力定律有：F＝G，C选项正确；卫星受到月球的引力总是指向月球的中心.受到地球的引力总是指向地球的中心，由图可知卫星受到地球的引力大局部时间不在其轨道的半径方向，故F月≫F地时卫星才能绕月做圆周运动，故D选项错误. 答案：C9.如以下图是一种叫“飞椅”的游乐工程的示意图，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.[2022年高考·广东物理卷]解析：设转盘转动角速度为ω，夹角为θ，那么座椅到做圆周运动的半径R＝r＋Lsinθ对座椅有：F向心＝mgtanθ＝mRω2联立两式解得：ω＝. 答案：10.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，如以下图，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′.(用m1、m2表示)9/9\n(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式.(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞.假设可见星A的速率v＝2.7×105m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝6.67×10－11N·m2/kg2，ms＝2.0×1030kg)[2022年高考·天津理综卷]解析：(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有：FA＝m1ω2r1FB＝m2ω2r2FA＝FB设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式得：r＝r1由万有引力定律，有：FA＝G联立解得：FA＝G令FA＝G比较可得：m′＝. (2)由牛顿第二定律，有：G＝m1可见星A的轨道半径r1＝将m′代入，可解得：＝.(3)将m1＝6ms代入上式，得：＝代入数据得：＝3.5ms设m2＝nms(n>0)，可得：＝ms＝3.5ms可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得：ms＝0.125ms<3.5ms故n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms.由此得出结论：暗星B有可能是黑洞. 答案：(1) (2)＝(3)有可能11.有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失.碰后B运动的轨迹为OD曲线，如以下图.(1)已知滑块质量为m，碰撞时间为Δt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小.(2)为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B9/9\n平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑(经分析，A下滑过程中不会脱离轨道).a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；b.在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°.求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度.[2022年高考·北京理综卷]解析：(1)滑块A与B正碰，有：mv0＝mvA＋mvBmv＝mv＋mv解得：vA＝0，vB＝v0，根据动量定理，滑块B满足：F·Δt＝mv0解得：F＝.(2)a.设任意点到O点竖直高度差为d.A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒.选该任意点为势能零点，有：EkA＝mgd，EkB＝mgd＋mv由于p＝，有＝＝＜1即pA<pBA下滑到任意一点的动量总是小于B平抛经过该点的动量.b.以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，那么对B有：x＝v0ty＝gt2B的轨迹方程：y＝·x2在M点x＝y，所以y＝因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同.设B水平和竖直分速度大小分别为vBx和vBy，速率为vB；A水平和竖直分速度大小分别为vAx和vAy，速率为vA，那么：＝，＝B做平抛运动，故vBx＝v0，yBy＝，vB＝对A由机械能守恒得vA＝由以上三式解得：vAx＝，vAy＝将代y＝入得：vAx＝v0，vAy＝v0. 答案：(1) (2)a.pA＜pB b.v0，v09/9
