第27讲 势能 重力做功 机械能守恒定律1.质量为m的物体由静止开场以2g的加速度竖直向下运动h高度.以下说法中正确的选项是( )A.物体的势能减少2mgh B.物体的机械能保持不变C.物体的动能增加2mghD.物体的机械能增加mgh解析：重力势能的减少量等于重力做的功，即ΔEp＝mgh，A错误.由题意知，物体除受重力外还受大小为mg的向下的作用力，机械能不守恒，B错误.物体的合外力F合＝2mg，故其动能的增量ΔEk＝2mgh，C正确.ΔEp＝－mgh，ΔEk＝2mgh，故ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mgh，D正确.答案：CD2.如以下图，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上.假设以地面为零势能面且不计空气阻力，那么以下说法中不正确的选项是( )A.物体到海平面时的重力势能为mghB.重力对物体做的功为mghC.物体在海平面上的动能为mv＋mghD.物体在海平面上的机械能为mv解析：以地面为参考平面，物体在海平面时的重力势能为－mgh，故A错误；抛出后的过程中机械能守恒，所以C、D正确；重力做功与路径无关，所以B正确.答案：A3.如以下图，长为L的轻杆一段固定一质量为m的小球，另一端安装有固定转动轴O，杆可在竖直平面内绕O无摩擦转动.假设在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度v0＝2，不计空气阻力，那么以下说法正确的选项是( )A.小球不可能到达圆周轨道的最高点QB.小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向上的支持力C.小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向下的拉力D.小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点恰好不受轻杆的弹力解析：设小球能到达Q点，且到达Q点时具有速度v，由机械能守恒得：mv＝mg·2L＋mv2可解得：v＝0在最高点，小球所需的向心力为零，故受轻杆向上的大小为mg的支持力.答案：B4.用平行于斜面向下的拉力F将一个物体沿斜面往下拉动后，拉力的大小等于摩擦力，那么A.物体做匀速运动B.合外力对物体做功等于零C.物体的机械能减少D.物体的机械能不变解析：物体所受的力中，重力、拉力、摩擦力对物体做功，拉力与摩擦力做的功相互抵消，重力做功不影响机械能，故物体的机械能不变.答案：D5.如以下图，一根轻杆长为2L，中点A和右端点B各固定一个小球，mB＝2mA左端O为光滑水平转轴.开场时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此过程中以下说法正确的选项是( )A.A、B两球的机械能都守恒B.A、B两球的机械能不守恒，但它们组成的系统机械能守恒C.这一过程O、A间轻杆对A球做正功D.这一过程A、B间轻杆对A球做正功7/7\n解析：两小球及轻杆组成的系统的机械能守恒，设摆到竖直时角速度为ω，有：m(Lω)2＋·2m(2Lω)2＝mgL＋2mg·2L解得：ω＝即A的动能EkA＝m(ωL)2＝mgL＜|ΔEpA|B的动能EkB＝·2m(ω·2L)2＝·2mg·2L＞|ΔEpB|应选项A错误、B正确.又因为下摆的过程O、A间轻杆的弹力沿杆方向不做功，故知A、B之间轻杆对A球做负功.答案：B6.如以下图，质量m＝2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A处(弹簧处于原长)由静止释放，小球到达O点的正下方距O点h＝0.5m处的B点时速度v＝2m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功.(取g＝10m/s2)解析：小球在运动过程中只受重力和弹力的作用，故系统机械能守恒，以B点为重力势能零势面，A点为弹性势能零势面，那么：在初状态A有：E1＝Ek1＋Ep1＝mgh在末状态B有：E2＝Ek2＋Ep2＝mv2＋Ep2式中Ep2为弹簧的弹性势能，由机械能守恒定律有：E1＝E2即mgh＝mv2＋Ep2解得：Ep2＝mgh－mv2＝2×10×0.5J－×2×22J＝6J因为弹性势能增加，弹簧的弹力做负功，故弹簧的弹力做的功为W弹＝－ΔEp＝－6J.答案：－6J7.如图甲所示，一粗细均匀的U形管内装有一定量水银竖直放置，右管口用盖板A密闭一局部气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中水银柱总长为4h.现拿去盖板，水银柱开场流动，当两侧液面第一次相平时，右侧液面下降的速度大小为多少？(水银柱与管壁之间的阻力不计)解析：如图乙所示，当右侧液面下降时，两侧液面到达同一水平，这一过程中水银柱的重力势能变化为：ΔEp＝－ρS··g·其中ρ、S分别水银的密度和水银柱的横截面积由机械能守恒定律得：－ΔEp＝ΔEk，即ρs··g·＝ρS·4h·v27/7\n可解得：v＝.答案：金典练习十二 势能 重力做功 机械能守恒定律选择题局部共10小题，每题6分.在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确. 1.以下说法正确的选项是( )A.如果物体所受到的合外力为零，那么其机械能一定守恒B.如果物体的合外力做的功为零，那么其机械能一定守恒C.物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒D.做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒解析：如果物体受到的合外力为零，机械能不一定守恒.如在竖直方向上物体做匀速直线运动，其机械能不守恒.所以选项A、B错误.物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒.选项C正确.做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，如自由落体运动；但有时也不守恒，如在水平面上拉着一个物体加速运动，此时就不守恒.选项D正确.答案：CD2.第29届奥林匹克运动会于2022年8月8日至8月24日在中华人民共和国首都北京举行.奥运会中的投掷的链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛工程都是把物体斜向上抛出的运动，如以下图，这些物体从被抛出到落地的过程中( )A.物体的机械能先减小后增大B.物体的机械能先增大后减小C.物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大D.物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小解析：假设不考虑空气阻力的作用，这些物体被抛出后机械能守恒；假设考虑空气阻力的作用，这些物体被抛出后机械能一直减小，而动能在上升的过程减小，下降的过程增加.选项D正确.答案：D3.如以下图，甲球由轻绳系住，乙球由橡皮条系住，都从水平位置由静止开场释放，当两球到达悬点正下方K点时，橡皮条长度恰好与绳长相等，那么在K点时两球速度大小的关系是( )A.v甲＝v乙 B.v甲<v乙C.v乙<v甲D.v甲≥v乙解析：甲球下摆的过程中机械能守恒，那么有：mv＝mgL解得：v甲＝乙球下摆的过程橡皮条对其做负功、机械能不守恒，由动能定理得：mv＝mgL－W可得：v乙<v甲.答案：C4.如以下图，细绳跨过定滑轮悬挂两质量分别为M、m的物体A和B，且M>m.不计摩擦，那么系统由静止开场运动的过程中( )A.A、B各自的机械能分别守恒B.A减少的机械能等于B增加的机械能C.A减少的重力势能等于B增加的重力势能D.A和B组成的系统机械能守恒解析：释放后A加速下降，B加速上升，两物体的机械能都不守恒，但A、7/7\nB组成的系统机械能守恒，即ΔEA＝－ΔEB.答案：BD5.如以下图，一均质杆长为r，从图示位置由静止开场沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面.那么当杆滑到BD位置时的速度大小为( )A. B. C. D.2解析：虽然杆在下滑过程有转动发生，但初始位置静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有：mv2＝ΔEp＝mg·解得：v＝.答案：B6.如以下图，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开场时OB竖直，放手后开场运动，在不计任何阻力的情况下，以下说法正确的选项是( )A.A球到达最低点时速度为零B.A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量C.B球向左摆动所能到达的最高位置应高于A球开场运动的高度D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度解析：A、B两球及支架组成的系统机械能守恒，应选项B、D正确；设A球能摆至最低点，且此时A、B两球的速度为v，由机械能守恒定律得：2mgLsinθ－mgLsinθ＝·3mv2解得：v＝应选项A错误、C正确.答案：BCD7.如以下图，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁.现让一小球自左端槽口A的正上方由静止开场下落，与半圆形槽相切从A点进入槽内，那么以下说法正确的选项是( )A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D.小球从下落至从右侧离开槽的过程机械能守恒解析：小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但是实际上没有动，整个系统只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒.而小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，由于系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒.小球到达槽最低点前，半圆形槽固定不动，只有重力做功，机械能守恒.当小球向右上方滑动时，半圆形槽也向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒.综合以上分析可知选项B、C正确.答案：BC8.如以下图，质量分别是mA和mB的A、B两物体，用劲度系数为k的弹簧相连，处于静止状态.现对A施以竖直向上的力F，并将其缓慢提起，当B对地面恰无压力时撤去F，A由静止向下运动至最大速度时，重力做的功为( )7/7\nA. B.C. D.解析：当A向下运动至平衡位置时速度最大，此时弹簧的压缩量x1＝；当B恰好对地无压力时弹簧的伸长量x2＝.故知A从撤去F至速度到达最大的过程中，重力做的功WG＝mAg(x1＋x2)＝.答案：C9.如以下图，半径为R的圆筒固定在小车上，小车以速度v向右匀速运动，有一光滑小球相对静止在圆筒的最低点.当小车遇到障碍物突然停顿时，小球在圆筒中上升的高度可能( )A.等于B.大于C.小于D.等于2R解析：当v≥时，小球上升的高度hm＝2R＜；当v≤时，小球上升的高度hm＝；当＜v＜时，小球上升的高度hm＜.答案：ACD10.如以下图，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0.不计空气阻力，那么( )A.小球运动的最大速度等于2B.小球运动的最大加速度为gC.弹簧的劲度系数为D.弹簧的最大弹性势能为3mgx0解析：当小球处于平衡位置时，弹簧的压缩量x＝，此时小球的速度最大，即vm>＝2，选项A错误.当小球从弹簧上端释放向下压弹簧时，弹簧的最大形变量为2x＝，此时加速度向上且为g，故知弹簧的压缩量为x0(x0>x)时，小球向上的加速度大于g，选项B错误.又由x0>x＝，可得k>，选项C错误.小球从A→B的过程中，由机械能守恒定律知，在B点时弹性势能E弹＝mg·3x0，选项D正确.答案：D非选择题局部共3小题，共40分.7/7\n11.(13分)如以下图，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切.在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平面上的D点，求C、D间的距离s.重力加速度g取10m/s2.[2022年高考·全国理综卷Ⅱ]解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A运动到D经历的时间为t，那么有：mv＝mv2＋2mgR2R＝gt2s＝vt联立解得：s＝1m.答案：1m12.(13分)光滑的长轨道形状如图甲所示，底部为半圆形，其半径为R，固定在竖直平面内.A、B两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上.将A、B两环从图示位置静止释放，A环距离底端为2R.不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，求：(1)A、B两环都未进入半圆形底部前，杆上的作用力.(2)当A环下滑至轨道最低点时，A、B的速度大小.解析：(1)两环都未进入半圆形轨道前都做自由落体运动，杆上的作用力为零.(2)当A环到达轨道最低点时，B环也已进入半圆轨道(如图乙所示)，由几何关系知两环的速度大小相等，设为v，由机械能守恒定律得：·2mv2＝mg·2R＋mg(2R＋Rsin30°)解得：v＝3.答案：(1)两环都未进入半圆形轨道前都做自由落体运动，杆上的作用力为零(2)A、B的速度大小均为313.(14分)如以下图，在同一竖直平面内，一轻质弹簧静止放于光滑斜面上，其一端固定，另一端恰好与水平线AB平齐；长为L轻质细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，将细线拉至水平，此时小球在位置C.现由静止释放小球，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断，D点与AB相距h；之后小球在运动过程中恰好与弹簧接触并沿斜面方向压缩弹簧，弹簧的最大压缩量为x.试求：(1)细绳所能承受的最大拉力F.(2)斜面的倾角θ.(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.解析：(1)小球由C运动到D的过程机械能守恒，那么有：mgL＝mv解得：到D点时小球的速度v1＝在D点有：F－mg＝m解得：F＝3mg由牛顿第三定律知，细绳所能承受的最大拉力为3mg.(2)小球由D运动到A的过程做平抛运动，由2gh＝v，得在A点的竖直分速度vy＝故tanθ＝＝7/7\n即斜面与水平所成的夹角θ＝arctan.(3)小球到达A点时，有：v＝v＋v＝2g(h＋L)小球在压缩弹簧的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，那么有：Ep＝mgxsinθ＋mv故Ep＝mg(x＋h＋L).答案：(1)3mg (2)arctan(3)mg(x＋h＋L)7/7
