第2讲 静电场中的能量\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、电场力做功 电势能1．电场力做功(1)特点：电场力做功与________无关，只与__________有关．(2)计算：①W＝________，适用于________电场．②WAB＝________，适用于任何电场．2．电势能(1)定义：电荷在________中具有的势能．数值上等于将电荷从该点移到________位置时电场力所做的功．(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于_____________，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.(3)电势能的相对性：电势能是相对的，电势零点选取不同，电势能的值________．通常选取________处或________电势能为零．路径初、末位置qEd匀强qUAB电场零势能电势能的减少量不同无穷远大地表面\n二、电势 等势面1．电势(1)定义：电荷在电场中某一点的________与它的________之比．(2)定义式：φ＝________．(3)矢标性：电势是________，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比________高(低)．(4)相对性：电势具有________，同一点的电势因选取________的不同而不同．电势能电荷量标量电势零点相对性电势零点\n2．等势面(1)定义：电场中________的各点构成的面．(2)四个特点①等势面一定与________垂直．②在__________上移动电荷时电场力不做功．③电场线方向总是从________的等势面指向________的等势面．④等差等势面越密的地方电场强度________，反之________．电势相同电场线同一等势面电势高电势低越大越小\n三、电势差 匀强电场中电势差与电场强度的关系1．定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差．电荷q在电场中，从A点移到B点时，___________等于电荷在A、B两点的电势能之差．2．静电力做功与电势差的关系：UAB＝________．3．电势差与电势的关系：UAB＝________，UAB＝－UBA.4．电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿________方向的距离的乘积．即U＝Ed，也可以写作E＝.静电力做的功φA－φB电场\n【生活情境】1.静电喷涂是利用高压静电电场使带负电的涂料微粒沿着与电场相反的方向定向运动，并将涂料微粒吸附在工件表面上的一种喷涂方法，其工作原理如图所示．忽略运动中涂料微粒间的相互作用和涂料微粒的重力．(1)图中A点电势高于B点电势．()(2)涂料微粒在运动过程中电势能减小．()(3)涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，在直线轨迹上电势升高最快．()×√√\n【教材拓展】2.[人教版必修第三册P34T3改编]如图所示，下列说法正确的是()A．φA>φBB．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能C．负电荷由B移动到A时静电力做正功D．UAB>0答案：B解析：沿着电场线的方向电势降低，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知，负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确．\n关键能力·分层突破\n考点一 电场力做功、电势和电势能1．判断电场力做功的正负：(1)根据电场力与速度夹角：夹角是锐角，电场力做正功．夹角是钝角，电场力做负功．(2)根据WAB＝qUAB：由q和UAB的正负，判断WAB的正负．2．判断电势能的变化：(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加．(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．3．判断电势高低：(1)根据电场线：沿电场线的方向电势降低．(2)根据UAB＝：判断UAB正负，确定φA和φB的高低．\n例1[2021·广东卷，6]如图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面．在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点．不计液滴重力．下列说法正确的是()A．a点的电势比b点的低B．a点的电场强度比b点的小C．液滴在a点的加速度比在b点的小D．液滴在a点的电势能比在b点的大答案：D\n解析：由于发射极与电源正极相连接，故发射极电势高于吸极电势，故a点电势比b点电势高，A错误；等势面的疏密反映电场线的疏密，故a点的电场强度大于b点的，液滴在a点的加速度大于b点的，B、C错误；带电液滴从发射极加速飞向吸极，从a到b电场力做正功，故电势能减小，D正确．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以静电推进装置为素材创设学习探索问题情境必备知识考查电势、等势面、电场力及电势能等知识关键能力考查理解能力，即理解等势面的特点，掌握电场力做功与电势能变化的关系学科素养考查物理观念、科学思维．要求考生利用题目涉及各物理量间的关系解决问题\n例2[2021·全国甲卷，19](多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则()A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4eVC．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大答案：BD\n解析：b、e两点在同一等势面上，电荷运动过程中电场力不做功，故选项A错误；电场强度的方向总是与等势面垂直，且由高电势等势面指向低电势等势面，故b点的场强方向向左，选项C错误．电子从a点运动到d点电场力做的功Wad＝－eUad＝－e(φa－φd)＝4eV，故选项B正确；根据图知任意两个相邻的等势面间电势差相等，且等差等势面越密集的地方，电场强度就越大，因此结合图可以判断a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大，故选项D正确．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以等势面为素材创设学习探索问题情境必备知识考查电场的性质、电场强度与等势面间的关系、电场力做功等知识关键能力考查物理观念、推理能力．要求学生根据等势面的分布情况判断电场强度学科素养考查运动与相互作用观念、能量观念．要求考生掌握电场中等势面、电势、电势能、电场力等物理量间的关系\n【跟进训练】1.[2021·全国乙卷，15]如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷．由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等．若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则()A．FM＜FN，EpM＞EpNB．FM＞FN，EpM＞EpNC．FM＜FN，EpM＜EpND．FM＞FN，EpM＜EpN答案：A\n解析：根据等差等势面越密处电场强度越大，可知N处的电场强度EN大于M处的电场强度EM，由电场力公式F＝qE可知，试探电荷在N处所受的电场力FN大于在M处受到的电场力FM.由于越靠近负电荷电势越低，可知N点的电势φN低于M点电势φM，根据电势能公式Ep＝qφ，可知正试探电荷在N处的电势能EpN小于在M处的电势能EpM，所以选项A正确．\n2．(多选)如图，在等量异种电荷的电场中，A、B、C、D四点在正方形的四个顶点上，O点位于正方形的中心，已知A、B两点的电势差为U0，电荷量为＋q的带电粒子在电场中移动，下列说法正确的是()A．带电粒子在A、B、C、D四点所受的电场力相同B．带电粒子在A、C两点具有的电势能相等C．将带电粒子从无穷远处移到B点电场力做功D．将带电粒子从无穷远处移到C点电场力做功答案：BC\n解析：由两个等量异种点电荷所形成电场的对称性可知，A、B、C、D四点场强大小相等，方向不都相同，所以同一个带电粒子在四个点受到的电场力不都相同，故选项A错误．由等势面的对称性可知，A、C两点电势相等，故同一个带电粒子在两点的电势能相等，故选项B正确；由于等量异种点电荷连线中垂线上的电势等于无穷远处的电势(取无穷远处的电势为零)，又A、B和C、D关于该中垂线对称，它们之间的电势差为U0，故有φA＝φC＝，φB＝φD＝－，由电场力做功的公式W＝qU得，把带电粒子从无穷远处分别移到B、C两点电场力做的功为：WB＝q，WC＝－q，故C正确，D错误．\n考点二 电场线、等势面和带电粒子轨迹问题带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负．(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等．(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况．\n例3如图所示，虚线为某静电场中的等差等势线(相邻两虚线间的电势差相等)，实线为某带电粒子在该静电场中运动的轨迹，a、b、c、d为粒子的运动轨迹与等势线的交点，除静电力外，粒子受到的其他力均可不计．下列说法正确的是()A．粒子在a、c两点的加速度大小一定相等B．粒子在b、c两点的速度大小一定相等C．粒子运动过程中速度一定先减小后增大D．粒子在b点时的电势能一定比在d点时的电势能大答案：B\n解析：因a点处的等差等势线比c点处的密集，故a点处的电场强度大于c点处的电场强度，故电荷在a点受到的静电力大于在c点受到的静电力，结合牛顿第二定律可知，粒子在a点的加速度比在c点的加速度大，故A错误；b、c两点的电势相等，则粒子在b、c两点的电势能相等，由能量守恒定律可知，粒子在b、c两点的动能相等，速度大小相等，故B正确；由粒子运动的轨迹弯曲的方向及等势线与电场线垂直可知，粒子受到的静电力指向轨迹曲线内侧且垂直于电场线，则粒子从a运动到b静电力做正功，粒子速度增大，从c运动到d静电力做负功，速度减小，故粒子在由a到d的运动过程中的速度先增大后减小，同理，粒子在由d到a的运动过程中的速度也先增大后减小，故C错误；因粒子由c到d的过程中静电力做负功，动能减小，电势能增大，即粒子在d点的电势能大于在c点的电势能，由于c点电势与b点电势相等，粒子在c点与b点电势能相等，故粒子在d点的电势能大于在b点的电势能，D错误．\n【跟进训练】3．如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是()A．vM<vN，aM<aNB．vM<vN，φM<φNC．φM<φN，EpM<EpND．aM<aN，EpM<EpN答案：D解析：由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN.N点电场线比M点的密集，故场强EM<EN，由加速度a＝知aM<aN.粒子若从N点运动到M点，电场力做正功，动能增加，故vM>vN.综上所述，选项D正确．\n4．(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是()A．带正电B．速度先变大后变小C．电势能先变大后变小D．经过b点和d点时的速度大小相同答案：CD解析：根据粒子的运动轨迹及电场线分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a到c到e的过程中电场力先做负功后做正功，速度先减小后增大，电势能先增大后减小，选项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，所以在b、d两点的电势能相同，所以经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确．\n考点三 电势差与电场强度的关系1．公式E＝的三点注意(1)只适用于匀强电场．(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．2．两个推论\n例4如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为零，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A．200V/mB．200V/mC．100V/mD．100V/m答案：A\n解析：匀强电场的电场线与等势面都是平行、等间距排列的，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降低，取OA中点C，则C点电势为φC＝＝3V，连接BC即为电场中的一条等势线，作等势线的垂线，即电场的电场线，E＝＝＝200V/m.\n【跟进训练】5．(多选)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点．已知A点的电势为φA＝30V，B点的电势为φB＝－20V，则下列说法正确的是()A．C点的电势φC＝5VB．C点的电势φC>5VC．C点的电势φC<5VD．负电荷在A点的电势能小于在B点的电势能答案：CD解析：从电场线的分布情况可以看出φA－φC>φC－φB，所以有φC<5V，C正确，A、B错误；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D正确．\n6．(多选)如图所示，匀强电场中等腰直角三角形ABC，＝＝2cm，D为AB边中点，电场方向与△ABC所在平面平行，规定B点的电势为0.将电荷量q＝－6×10－6C的点电荷从A点移到B点，电场力做了－2.4×10－5J的功，再将电荷从B点移到C点，电场力又做了1.2×10－5J的功，则()A．点电荷q在D点具有的电势能为1.0×10－5JB．A点的电势为4VC．该匀强电场的场强大小为100V/m，方向垂直于CD连线指向B点D．将△ABC绕B点顺时针旋转，无论转过多大的角度，A、C两点电势都不会相等答案：BC\n解析：根据公式U＝，则有UAB＝＝V＝4V①UBC＝＝V＝－2V②规定B点的电势为0，则φA＝UAB＝4V，在匀强电场中沿着同一方向距离相等的任何两点间电势差相等，则φD＝＝2V，故点电荷q在D点具有的电势能为EpD＝qφD＝(－6×10－6)×2J＝－1.2×10－5J，故A错误，B正确；\n因φB＝0，则φc＝－UBC＝2V，故连接CD则为一条等势面，过B做CD垂线则为一条电场线，如图所示，由几何关系得，sin∠BCD＝＝，则E＝＝V/m＝100V/m，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向为垂直于CD连线指向B点，故C正确；将△ABC绕B点顺时针旋转，当转到AC与电场线垂直时，A、C两点电势相等，故D错误．\n考点四 静电场中的图像问题——核心素养提升角度1φx图像(1)电场强度的大小等于φx图线的斜率大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零．(2)在φx图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．(3)在φx图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．\n例5[2021·山东卷，6]如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为＋q的点电荷；在0≤x<a区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示．现将一电荷量为－Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零．若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是()A．Q＝q，释放后P将向右运动B．Q＝q，释放后P将向左运动C．Q＝q，释放后P将向右运动D．Q＝q，释放后P将向左运动答案：C\n解析：对O点上方的点电荷，由平衡知识可得k＋k＝k，解得Q＝q，因为0≤x＜a区间内沿x轴正向电势升高，则场强方向沿x轴负向，则将P沿x轴正向向右略微移动后释放，P受到向右的电场力而向右运动，C项正确．\n命题分析试题情境属于基础性题目，以多个电荷相互作用为素材创设学习探索问题情境必备知识考查库仑定律、电场、沿电场线方向电势降低等知识关键能力考查理解能力、信息转化能力，即由φx图像信息转化并判断空间电场的情形学科素养考查物理观念、科学思维．要求考生应用平衡条件处理电荷的平衡问题，由φx图像判断得出空间电场，进一步得出P的运动方向\n角度2Ex图像(1)Ex图像反映了电场强度随位移变化的规律．(2)Ex图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定．\n例6有一半径为R的均匀带电薄球壳，在通过球心的直线上，各点的场强E随与球心的距离x变化的关系如图所示；在球壳外空间，电场分布与电荷量全部集中在球心时相同，已知静电力常量为k，半径为R的球面面积为S＝4πR2，则下列说法正确的是()A．均匀带电球壳带电密度为B．图中r＝1.5RC．在x轴上各点中有且只有x＝R处电势最高D．球面与球心间电势差为E0R答案：A\n解析：由图线可知，距离球心R处的场强为E0，则根据点电荷场强公式可知：E0＝，解得球壳带电荷量为Q＝，则均匀带电球壳带电密度为＝，选项A正确；根据点电荷场强公式E0＝，解得r＝R，选项B错误；由题意可知在x轴上各点中，在0～R范围内各点的电势均相同，球面与球心间的电势差为零，选项C、D错误．\n角度3Epx图像(1)描述电势能随位移变化的规律．(2)根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负．(3)根据W＝Ep－Ep0＝Fx，图像Epx的斜率为电场力．\n例7一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是()A．x1处电场强度最小，但不为零B．粒子在0～x2段做匀变速运动，在x2～x3段做匀速运动C．在0、x1、x2、x3处的电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2＝φ0>φ1D．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变答案：D\n解析：根据ΔEp＝qΔφ，E＝，可得ΔEp＝qEΔx，由数学知识可知Epx图像切线的斜率表示qE，x1处切线斜率为零，则x1处电场强度为零，故A错误；由图像可看出段图像切线的斜率绝对值不断减小，则电场强度减小，粒子所受的电场力减小，加速度减小，做非匀变速运动，x1～x2段图像切线的斜率不断增大，则电场强度增大，粒子所受的电场力增大，做非匀变速运动，x2～x3段图像切线的斜率不变，则电场强度不变，即电场强度大小和方向均不变，粒子所受的电场力不变，做匀变速运动，故B错误，D正确；根据Ep＝qφ，粒子带负电，q<0，电势能越大，则粒子所在处的电势越低，所以φ1>φ2＝φ0>φ3，故C错误．\n【跟进训练】7．某静电场的电场线与x轴平行，x轴上各点的电势情况如图所示．若将一带电粒子从坐标原点O由静止释放，该粒子仅在电场力的作用下，沿着x轴正方向运动．已知电场中M、N两点的坐标分别为(5mm，0)、(15mm，0)，则下列说法正确的是()A．M、N两点间的电场方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向B．该带电粒子一定带负电荷C．在x＝10mm的位置，电场强度大小为1000V/mD．该粒子沿x轴从M点运动到N点的过程中，电势能一直增大答案：C\n解析：由题图可知，沿x轴正方向电势不断降低，所以从M点到N点的电场方向沿x轴正方向，选项A错误；根据题意可知，粒子所受电场力方向沿x轴正方向，与电场方向相同，所以粒子带正电荷，选项B错误；根据匀强电场中电场强度和电势差的关系E＝，结合φx图像为倾斜的直线可知，沿x轴正方向电场强度大小恒为E＝1000V/m，选项C正确；该粒子从M点运动到N点的过程中，电场力一直做正功，所以电势能一直减小，选项D错误．
